Ecuaţii polinomiale de grad superior

Ecuaţii binome şi ecuaţii trinome

Ecuaţia binomă are doi termeni, dintre care unul conţine necunoscuta la o anumită putere.

Forma generală a unei ecuaţii binome este

$\displaystyle x^{n}-a=0,\; a\in \mathbb{C},\; n\in \mathbb{N}^{*}$

Ecuaţia are $\displaystyle n$ soluţii, reale şi/sau complexe şi se poate rezolva prin descompunere în factori sau prin scrierea lui $\displaystyle a$ sub formă trigonometrică:

$\displaystyle x^{n}=a$

$\displaystyle a=\left | a \right |\left ( \cos{\varphi}+i \sin{\varphi } \right )$

unde $\displaystyle \varphi \in \left [0,\, 2\pi \right )$ .

Soluţiile ecuaţiei binome se pot determina cu relaţia:

$\displaystyle x_{k}=\sqrt[n]{\left | a \right |}\left ( \cos{\frac{\varphi +2k\pi }{n}} +i \sin{\frac{\varphi +2k\pi }{n}}\right ),\; k=0,\, 1,\, 2,\, \ldots,\, \left (n-1 \right )$

Ecuaţia trinomă are forma

$\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c=0,\; a,b,c\in \mathbb{C},\; n\in \mathbb{N}^{*}$

şi se rezolvă efectuând substituţia

$\displaystyle x^{n}=t\; \Rightarrow \; x^{2n}=t^{2}$

Se obţine ecuaţia

$\displaystyle at^{2}+bt+c=0$

cu soluţiile

$\displaystyle t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$

În final, se rezolvă ecuaţiile binome

$\displaystyle x^{n}=t_{1}$ şi $\displaystyle x^{n}=t_{2}$

obţinându-se, astfel, cele $\displaystyle 2n$ soluţii ale ecuaţiei.

Ecuaţii polinomiale de gradul al 3-lea

Ecuaţia de gradul al treilea, de forma

$\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\; a\neq 0$

se poate rezolva prin factorizare, deoarece are, întotdeauna, cel puţin o soluţie reală.

Dacă ecuaţia are soluţii întregi, ele se află printre divizorii termenului liber.

Dacă ecuaţia are soluţii raţionale, de forma $\displaystyle x=\frac{p}{q}$ , atunci $\displaystyle p$ se află printre divizorii termenului liber $\displaystyle d$ , iar $\displaystyle q$ se află printre divizorii coeficientului dominant $\displaystyle a$ .

Atunci când descompunerea în factori nu este evidentă, se poate găsi, prin încercări, o soluţie întreagă a ecuaţiei, iar factorizarea se face fie prin calcul, fie cu ajutorul Schemei lui Horner, fie utilizând algoritmul de împărţire a polinoamelor.

În cazul în care termenul liber are mulţi divizori, pentru a reduce numărul de încercări se poate utiliza Regula semnelor a lui Descartes:

Numărul soluţiilor pozitive, dacă există, este egal sau mai mic cu un număr par decât numărul de schimbări de semn al ecuaţiei date.
Numărul soluţiilor negative, dacă există, este egal sau mai mic cu un număr par decât numărul de schimbări de semn al ecuaţiei obţinute după substituirea lui $\displaystyle x$ cu $\displaystyle \left (-x \right )$

Ecuaţii polinomiale de grad mai mare sau egal cu 4

Ecuaţiile de gradul al patrulea sau mai mare se pot rezolva prin descompunere în factori, căutând, prin încercări, o soluţie întreagă printre divizorii termenului liber.

Dacă, de exemplu, soluţia găsită este $\displaystyle x_{1}$ , unul dintre factorii ecuaţiei date este $\displaystyle \left (x-x_{1} \right )$ , iar celălat factor se poate obţine fie prin calcul, fie cu ajutorul Schemei lui Horner, fie utilizând algoritmul de împărţire a polinoamelor.

Un caz particular îl reprezintă ecuaţiile reciproce.

Se numeşte ecuaţie reciprocă, o ecuaţie în care coeficienţii termenilor egal depărtaţi de extreme sunt fie egali, fie opuşi, de tipul:

$\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,\; a\neq 0$

$\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,\; a\neq 0$

În cazul ecuaţiilor reciproce de grad par cu coeficienţi pozitivi, se împarte relaţia cu $\displaystyle x^{2}$ şi se notează

$\displaystyle x+\frac{1}{x}=t$

Pentru ecuaţia reciprocă de gradul patru, ştiind că

$\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$

se obţine ecuaţia

$\displaystyle at^{2}+bt+c-2a=0$

cu soluţiile $\displaystyle t_{1,2}$ , apoi se rezolvă ecuaţiile de gradul al doilea

$\displaystyle x+\frac{1}{x}=t_{1}$ şi $\displaystyle x+\frac{1}{x}=t_{2}$

În cazul ecuaţiilor reciproce de grad impar, se grupează termenii egal depărtaţi de „centru” şi se dă factor comun „pe perechi”. În plus, orice ecuaţie reciprocă de grad impar are una dintre soluţii $\displaystyle x=-1$ sau $\displaystyle x=1$ .