Ecuaţii exponenţiale

Ecuaţia în care necunoscuta se află la exponent se numeşte ecuaţie exponenţială.

Metoda I. Pentru rezolvarea ecuaţiei exponenţiale se ţine cont de echivalenţa:

\displaystyle a^{x}=a^{y}\; \Leftrightarrow \; x=y ,   pentru oricare  \displaystyle a\in \left ( 0,\, +\infty \right )\setminus \left \{ 1 \right \}


Exemplu:

Pentru a rezolva ecuaţia

\displaystyle \sqrt[3]{\left ( \frac{3}{2} \right )^{\left | x \right |}}=\frac{27}{8}

se rescriu cei doi membri ai ecuaţiei ca puteri ale aceleiaşi baze:

\displaystyle \left ( \frac{3}{2} \right )^{\frac{\left | x \right |}{3}}=\left ( \frac{3}{2} \right )^{3}

Prin urmare,

\displaystyle \frac{\left | x \right |}{3}=3

\displaystyle \left | x \right |=9

\displaystyle x=\pm 9\; \Leftrightarrow \; S=\left \{ -9;\, 9 \right \}


Metoda II. Se poate utiliza substituţia \displaystyle a^{x}=t pentru a transforma ecuaţia exponenţială într-o ecuaţie polinomială. În acest caz, trebuie pusă condiţia de compatibilitate \displaystyle t>0 .


Exemplu:

Pentru a rezolva ecuaţia

\displaystyle 16^{x}+2\cdot 4^{x}-15=0

Se poate observa că

\displaystyle 16^{x}=\left ( 4^{2} \right )^{x}=\left ( 4^{x} \right )^{2}

Notând

\displaystyle 4^{x}=t,\; t>0

se obţine ecuaţia de gradul al doilea:

\displaystyle t^{2}+2t-15=0

cu soluţiile \displaystyle t_{1}=3 şi \displaystyle t_{2}=-5 care nu convine, deoarece este negativă.

Se obţine, în final

\displaystyle 4^{x}=3

din care

\displaystyle x=\log _{4} 3


Metoda III. Pentru a rezolva ecuaţiile de tipul \displaystyle a^{x}+b^{x}=n , cu \displaystyle a\neq b , se poate folosi propoziţia:

„Dacă funcţia \displaystyle f este strict monotonă şi dacă există \displaystyle x_{0}\in \mathbb{R} , astfel încât \displaystyle f\left ( x_{0} \right )=n , atunci \displaystyle x_{0} este unica soluţie a ecuaţiei \displaystyle f\left ( x \right )=n .”


Exemplu:

Pentru a rezolva ecuaţia

\displaystyle 2^{x}+4^{x}=72

se poate observa că \displaystyle x=3 este soluţie a ecuaţiei.

Expresia din stânga egalităţii, şi anume \displaystyle f\left ( x \right )=2^{x}+4^{x} , este o funcţie strict crescătoare, prin urmare, soluţia \displaystyle x=3 este unica soluţie a ecuaţiei \displaystyle 2^{x}+4^{x}=72 .