Ecuaţii logaritmice

Ecuaţia în care necunoscuta este conţinută în baza sau în argumentul unui logaritm se numeşte ecuaţie logaritmică.

Prima etapă a rezolvării unei ecuaţii logaritmice constă în aflarea domeniului de existenţă. Argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv, iar baza trebuie să fie strict pozitivă şi diferită de \displaystyle 1 .

Metoda I. Pentru rezolvarea ecuaţiei exponenţiale se ţine cont de echivalenţa:

\displaystyle \log_{a}x=\log_{a}y\; \Leftrightarrow \; x=y   pentru oricare  \displaystyle a\in \left ( 0,\, +\infty \right )\setminus \left \{ 1 \right \}


Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia:

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=\log_{\sqrt{5}}\left ( x-1 \right )

Se stabileşte, mai întâi, domeniul de existenţă:

\displaystyle \left. \begin{array}{l} x^{2}-1>0\; \Rightarrow\; x\in \left ( -\infty ,\, -1 \right )\cup \left ( 1,\, +\infty \right ) \\ \\ x-1>0\; \Rightarrow \; x\in \left ( 1,\, +\infty \right ) \end{array} \right \}\; \Rightarrow \; D=\left ( 1,\, +\infty \right )

Se aduc logaritmii la aceeaşi bază:

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=\frac{\log_{5}\left ( x-1 \right )}{\log_{5}\sqrt{5}}

Se rescrie ecuaţia, folosind regulile de calcul cu logaritmi:

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=\frac{\log_{5}\left ( x-1 \right )}{\frac{1}{2}}

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=2\cdot \log_{5}\left ( x-1 \right )

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=\log_{5}\left ( x-1 \right )^{2}

Prin urmare, se va rezolva ecuaţia:

\displaystyle \left ( x^{2}-1 \right )=\left ( x-1 \right )^{2}

\displaystyle x^{2}-1=x^{2}-2x+1

\displaystyle 2x=2

Se obţine soluţia \displaystyle x=1 care nu convine, deoarece nu aparţine domeniului de definiţie.

În final, \displaystyle S=\varnothing .


Metoda II. Dacă în ecuaţie logaritmul se află la diverse puteri, se poate utiliza substituţia \displaystyle \log_{a}x=t pentru a transforma ecuaţia logaritmică într-o ecuaţie polinomială.


Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia:

\displaystyle \log_{2}^{2}\left ( 2x \right )+3\log_{2}x=37

Se stabileşte domeniul de definiţie

\displaystyle x\in \left ( 0,\, +\infty \right )

Se rescrie ecuaţia, folosind regulile de calcul cu logaritmi, pentru a pune în evidenţă puterile lui \displaystyle \log_{2}x :

\displaystyle \left (\log_{2}2+\log_{2}x \right )^{2}+3\log_{2}x=37

\displaystyle \left (1+\log_{2}x \right )^{2}+3\log_{2}x=37

\displaystyle 1+2\log_{2}x+\log_{2}^{2}x +3\log_{2}x=37

\displaystyle \log_{2}^{2}x +5\log_{2}x-36=0

Notând \displaystyle \log_{2}x =t , se obţine ecuaţia de gradul al doilea:

\displaystyle t^{2}+5t-36=0

cu soluţiile \displaystyle t_{1}=-9 şi \displaystyle t_{2}=4

Apoi se rezolvă:

\displaystyle \begin{array}{l} \log_{2}x=-9\; \Rightarrow \; x_{1}=2^{-9}\; \Rightarrow \; x_{1}=\frac{1}{512}\\ \\ \log_{2}x=4\; \Rightarrow \; x_{2}=2^{4}\; \Rightarrow \; x_{2}=16 \end{array}

În final, mulţimea soluţilor este \displaystyle S=\left \{ \frac{1}{512};\: 16 \right \} .