Lungimea unui segment. Mijlocul segmentului. Centrul de greutate al triunghiului

Lungimea unui segment în sistemul cartezian $\displaystyle xOy$

Dacă $\displaystyle A\left ( x_{A},\, y_{A} \right )$ şi $\displaystyle B\left ( x_{B},\, y_{B} \right )$ sunt două puncte în sistemul cartezian $\displaystyle xOy$ , atunci lungimea segmentului $\displaystyle \left [ AB \right ]$ se determină cu formula:

$\displaystyle AB=\sqrt{\left ( x_{B}-x_{A} \right )^2+\left ( y_{B}-y_{A} \right )^2}$

Poziţia punctului care împarte un segment într-un raport dat. Mijlocul segmentului

Dacă punctul $\displaystyle P\left ( x_{P},\, y_{P} \right )$ este situat pe segmentul $\displaystyle \left [ AB \right ]$ , astfel încât $\displaystyle \overrightarrow{AP}=k\cdot \overrightarrow{PB}$ , atunci coordonatele punctului $\displaystyle P$ se determină cu relaţiile:

$\displaystyle x_{P}=\frac{x_{A}+kx_{B}}{1+k};\; y_{P}=\frac{y_{A}+ky_{B}}{1+k}$

În cazul particular în care $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle \left [ AB \right ]$ , $\displaystyle \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ , respectiv $\displaystyle k=1$ .

Coordonatele mijlocului segmentului $\displaystyle \left [ AB \right ]$ sunt medii aritmetice ale coordonatelor punctelor $\displaystyle A$ şi $\displaystyle B$ .

$\displaystyle x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\; y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$

Centrul de greutate al triunghiului

Centrul de greutate al triunghiului se află la intersecţia medianelor.

Pe oricare dintre mediane, centrul de greutate este situat la două treimi faţă de vârf şi la o treime faţă de bază.

Coordonatele centrului de greutate $\displaystyle G$ al triunghiului $\displaystyle \triangle ABC$ sunt medii aritmetice ale coordonatelor vârfurilor $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ şi $\displaystyle C$ .

$\displaystyle x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3};\; y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}$