Drepte paralele. Drepte perpendiculare. Unghiul dintre două drepte

Se consideră dreptele \displaystyle d_{1} şi \displaystyle d_{2} , având ecuaţiile generale \displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 şi \displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 , respectiv ecuaţiile explicite \displaystyle y=m_{1}x+n_{1} şi \displaystyle y=m_{2}x+n_{2} .

Dreptele \displaystyle d_{1} şi \displaystyle d_{2} sunt paralele dacă şi numai dacă au aceeaşi pantă:

\displaystyle d_{1}\parallel d_{2}\; \Leftrightarrow \; m_{1}=m_{2}

sau

\displaystyle d_{1}\parallel d_{2}\; \Leftrightarrow \; \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}

Dacă \displaystyle \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}, atunci dreptele \displaystyle d_{1} şi \displaystyle d_{2} coincid.

Întrucât dreptele \displaystyle d_{1} şi \displaystyle d_{2} sunt coplanare, ambele fiind incluse în planul \displaystyle xOy , dacă cele două drepte nu sunt paralele, înseamnă că sunt concurente.

Punctul de concurenţă al dreptelor \displaystyle d_{1} şi \displaystyle d_{2} se poate determina rezolvând sistemul de ecuaţii:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\\ \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 \end{matrix}\right.

Dreptele \displaystyle d_{1} şi \displaystyle d_{2} sunt perpendiculare dacă şi numai dacă produsul pantelor lor este egal cu \displaystyle \left ( -1 \right ) :

\displaystyle d_{1}\perp d_{2}\; \Leftrightarrow \; m_{1}\cdot m_{2}=-1

sau

\displaystyle d_{1}\perp d_{2}\; \Leftrightarrow \; a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0

Unghiul ascuţit al dreptelor  \displaystyle d_{1} şi \displaystyle d_{2} este dat de relaţia:

\displaystyle \cos \alpha =\frac{\left | 1+m_{1}m_{2} \right |}{\sqrt{1+m_{1}^{2}}\cdot \sqrt{1+m_{2}^{2}}}

sau

\displaystyle \cos \alpha =\frac{\left | a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2} \right |}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\cdot \sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}