Ecuaţia dreptei

Ecuaţia generală a dreptei în sistemul cartezian \displaystyle xOy are forma \displaystyle ax+by+c=0 .

Ecuaţia de mai sus, pusă sub forma \displaystyle y=mx+n , se numeşte ecuaţia explicită a dreptei.

În ecuaţia explicită, \displaystyle m reprezintă panta dreptei (tangenta unghiului pe care îl face dreapta cu axa \displaystyle Ox .

Dreapta taie axa \displaystyle Oy în punctul \displaystyle P\left ( 0, n \right ) şi axa \displaystyle Ox în punctul \displaystyle Q\left ( -\frac{n}{m}, 0 \right ) .

Dreapta a cărei ecuaţie are forma \displaystyle x=a este verticala care trece prin punctul \displaystyle A\left ( a, 0 \right ) .
Dreapta a cărei ecuaţie are forma \displaystyle y=b este orizontala care trece prin punctul \displaystyle B\left ( 0, b \right ) .

Ecuaţia dreptei determinate de un punct şi de un vector

Vectorul a cărui direcţie coincide cu dreapta \displaystyle d se numeşte vectorul director al dreptei \displaystyle d .

Ecuaţia dreptei care trece prin punctul \displaystyle P\left ( x_{P},y_{P} \right ) şi al cărei vector director este \displaystyle \vec{v}\left ( v_{x},v_{y} \right ) ,

respectiv \displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j} este dată de relaţia:

\displaystyle \frac{x-x_{P}}{v_{x}}=\frac{y-y_{P}}{v_{y}}

Ecuaţia dreptei determinate de un punct şi de o direcţie dată

Ecuaţia dreptei care trece prin punctul \displaystyle P\left ( x_{P},y_{P} \right ) şi a cărei pantă este egală cu \displaystyle m este dată de relaţia:

\displaystyle y-y_{P}=m\left ( x-x_{P} \right )

Ecuaţia dreptei determinate de două puncte

Ecuaţia dreptei care trece prin punctele \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) şi \displaystyle B\left ( x_{B},y_{B} \right ) este dată de relaţia:

\displaystyle \frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}

sau

\displaystyle \left | \begin{matrix} x & y & 1 \\ x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \end{matrix} \right |=0

Panta dreptei determinate de punctele \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) şi \displaystyle B\left ( x_{B},y_{B} \right ) este

\displaystyle m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}

Ecuaţia dreptei prin tăieturi

Dacă punctele \displaystyle A\left ( a,0 \right ) şi \displaystyle B\left ( 0,b \right ) sunt punctele de intersecţie ale dreptei \displaystyle d cu axele \displaystyle Ox ,

respectiv \displaystyle Oy , atunci ecuaţia dreptei \displaystyle d este dată de relaţia

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0