Câteva tipuri de probleme referitoare la funcţia liniară

Problema 1: Determinarea funcţiei din condiţia ca un punct să aparţină graficului acesteia

Fie funcţia

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=2x+a

Să se determine numărul a , ştiind că punctul A\left ( a,\, 12 \right ) aparţine graficului funcţiei.


Condiţia ca punctul A\left ( a,\, 12 \right ) să aparţină graficului funcţiei este ca f\left ( a \right )=12.

Scriem:

A\left ( a,\, 12 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( a \right )=12

f\left ( a \right )=2\cdot a+a=3a

3a=12

a=4

Înlocuind valoarea lui a în expresia funcţiei, se obţine f\left ( x \right )=2x+4.

Problema 2: Determinarea funcţiei din condiţia ca graficul acesteia să treacă prin două puncte date

Să se determine funcţia liniară a cărei reprezentare grafică este dreapta AB, cu A\left ( -3,\, -1 \right ) şi B\left ( 4,\, 6 \right ).


Funcţia liniară are expresia matematică

f\left ( x \right )=ax+b

Pentru a determina funcţia trebuie să aflăm valorile coeficienţilor a şi b .

Punctele A şi B aparţin graficului funcţiei, prin urmare pot fi puse condiţiile:

A\left ( -3,\, -1 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( -3 \right )=-1

f\left ( -3 \right )=a\cdot \left ( -3 \right )+b=-3a+b

\Rightarrow \: -3a+b=-1

B\left ( 4,\, 6 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( 4 \right )=6

f\left ( 4 \right )=a\cdot 4+b=4a+b

\Rightarrow \: 4a+b=6

Am obţinut două ecuaţii cu necunoscutele a şi b .

Pentru a determina valorile necunoscutelor, rezolvăm sistemul:

\left\{\begin{matrix} -3a+b=-1\\ 4a+b=6 \end{matrix}\right.

Extragem necunoscuta b din prima relaţie şi o substituim în cea de-a doua (metoda substituţiei):

b=3a-1

4a+3a-1=6

7a=7

a=1

Prin urmare,

b=3\cdot 1-1

b=2

Funcţia liniară al cărei grafic trece prin punctele A\left ( -3,\, -1 \right ) şi B\left ( 4,\, 6 \right ) are expresia:

f\left ( x \right )=x+2

Problema 3: Punctul de intersecţie al reprezentărilor grafice a două funcţii

Se dau funcţiile

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=x+4

şi

g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; g\left ( x \right )= f\left ( 3x-2 \right )

Să se determine funcţia g şi să se afle coordonatele punctului de intersecţie al graficelor celor două funcţii.


Pentru a determina funcţia g , înlocuim, în expresia funcţiei f , argumentul x cu expresia 3x-2.

g\left ( x \right )=f\left ( 3x-2 \right )=\left ( 3x-2 \right )+4

g\left ( x \right )=3x+2

Notăm P\left ( x,\, y \right ) punctul de intersecţie al graficelor celor două funcţii.

G_{f}\cap G_{g}=P\left ( x,\, y \right )

Deoarece punctul P\left ( x,\, y \right ) este situat pe ambele grafice, coordonatele sale verifică expresiile ambelor funcţii.

Vom rezolva sistemul:

\left\{\begin{matrix} f\left ( x \right )=y\\ g\left ( x \right )=y \end{matrix}\right.\: \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+4=y\\ 3x+2=y \end{matrix}\right.

Din

x+4=3x+2

obţinem

2x=2

x=1

y=1+4

y=5

Punctul de intersecţie al graficelor celor două funcţii este punctul P\left ( 1,\, 5 \right ).

Problema 4: Stabilirea coliniarităţii a trei puncte date

Verificaţi dacă punctele M\left ( -\sqrt{2},\, 0 \right ), N\left ( \sqrt{2},\, 4 \right ), respectiv P\left ( 2\sqrt{2},\, 6 \right ) sunt coliniare.


Determinăm funcţia liniară

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=ax+b

al cărei grafic trece prin punctele M şi N .

M\left ( -\sqrt{2},\, 0 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( -\sqrt{2} \right )=0

f\left ( -\sqrt{2} \right )=a\cdot \left ( -\sqrt{2} \right )+b=-\sqrt{2}a+b

\Rightarrow \: -\sqrt{2}a+b=0

N\left ( \sqrt{2},\, 4 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( \sqrt{2} \right )=4

f\left ( \sqrt{2} \right )=a\cdot \sqrt{2}+b=\sqrt{2}a+b

\Rightarrow \: \sqrt{2}a+b=4

Rezolvăm sistemul:

\left\{\begin{matrix} -\sqrt{2}a+b=0\\ \sqrt{2}a+b=4 \end{matrix}\right.

Utilizând metoda reducerii, se obţine:

2b=4

b=2

Apoi determinăm şi valoarea lui a :

-\sqrt{2}a+2=0

a=\frac{-2}{-\sqrt{2}}

a=\sqrt{2}

Expresia matematică a funcţiei liniare care trece prin punctele M şi N este:

f\left ( x \right )=\sqrt{2}x+2

Pentru a verifica dacă punctul P\left ( 2\sqrt{2},\, 6 \right ) este situat şi el pe graficul funcţiei f, calculăm f\left ( 2\sqrt{2} \right ):

f\left ( 2\sqrt{2} \right )=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}+2=6

Prin urmare,

P\left ( 2\sqrt{2},\, 6 \right )\in G_{f}

deci punctele M , N şi P sunt coliniare.

Ecuaţia de gradul I cu două necunoscute

Ecuaţia de forma

\displaystyle ax+by+c=0 cu \displaystyle a,b\in \mathbb{R}^{*},\: c\in \mathbb{R}

se numeşte ecuaţie de gradul I cu două necunoscute.

\displaystyle a , \displaystyle b  şi \displaystyle c  se numesc coeficienţii ecuaţiei.

Pentru orice \displaystyle x\in \mathbb{R} , se poate obţine \displaystyle y=\frac{-ax-c}{b} .

Prin urmare, ecuaţia are o infinitate de soluţii. Mulţimea soluţiilor este:

\displaystyle S=\left \{ \left ( x,y \right )\, |\, x\in \mathbb{R},\: y=\frac{-ax-c}{b} \right \}

Considerând perechile \displaystyle \left ( x,y \right ) ca fiind coordonatele unor puncte, mulţimea soluţiilor se poate reprezenta grafic într-un sistem cartezian. Reprezentarea grafică este o dreaptă, numită dreapta soluţiilor ecuaţiei \displaystyle ax+by+c=0 .

Pentru a reprezenta grafic dreapta soluţiilor, sunt suficiente două puncte, care se pot afla alegând două valori convenabile pentru variabila \displaystyle x şi calculând valorile \displaystyle y corespunzătoare.

Rezultatele se pot pune într-un tabel:

Dreapta soluţiilor este dreapta care trece prin punctele \displaystyle A şi \displaystyle B .


Aplicaţii
1. Reprezentaţi dreapta soluţiilor ecuaţiei \displaystyle 3x-2y=1.

Rezolvare:

Din expresia ecuaţiei se obţine formula de calcul a necunoscutei \displaystyle y :

\displaystyle 3x-1=2y\: \Rightarrow \: y=\frac{3x-1}{2}

Deoarece pentru reprezentarea unei drepte sunt suficiente două puncte, se aleg două valori convenabile pentru \displaystyle x şi se calculează valorile corespunzătoare ale lui \displaystyle y .

\displaystyle x \displaystyle -1 \displaystyle 1
\displaystyle y=\frac{3x-1}{2} \displaystyle -2 \displaystyle 1
Punctul: \displaystyle A\left ( -1,-2 \right ) \displaystyle B\left ( 1,1 \right )

Dreapta soluţiilor ecuaţiei \displaystyle 3x-2y=1 trece prin punctele \displaystyle A\left ( -1,-2 \right ) şi \displaystyle B\left ( 1,1 \right ).

Sisteme liniare de două ecuaţii cu două necunoscute

Atunci când este necesar să se afle perechea de numere \displaystyle \left ( x,\, y \right ) care verifică, în acelaşi timp, două ecuaţii diferite de gradul întâi cu două necunoscute, se spune că trebuie rezolvat sistemul

\displaystyle \left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{matrix}\right.

\displaystyle x şi \displaystyle y se numesc necunoscutele sistemului, iar \displaystyle a_{1},\: b_{1},\: c_{1},\: a_{2},\: b_{2},\: c_{2} se numesc coeficienţii sistemului.

Interpretare geometrică

Mulţimile soluţiilor celor două ecuaţii care formează sistemul pot fi reprezentate grafic într-un sistem ortogonal \displaystyle xOy prin două drepte.

Rezolvarea sistemului de două ecuaţii cu două necunoscute presupune determinarea punctelor comune ale celor două drepte.

Considerând ecuaţiile celor două drepte, \displaystyle a_{1}x+b_{1}y-c_{1}=0 , respectiv \displaystyle a_{2}x+b_{2}y-c_{2}=0 , pot fi întâlnite trei situaţii, în funcţie de valorile coeficienţilor \displaystyle a_{1},\: b_{1},\: c_{1},\: a_{2},\: b_{2},\: c_{2} .

  • Dacă \displaystyle \frac{a_{1}}{a_{2}}\neq \frac{b_{1}}{b_{2}} , dreptele sunt concurente. Sistemul are o soluţie unică şi spunem că este compatibil determinat.

 

  • Dacă \displaystyle \frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}= \frac{c_{1}}{c_{2}} , dreptele sunt confundate. Sistemul are o infinitate de soluţii şi spunem că este compatibil nedeterminat.

 

  • Dacă \displaystyle \frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}} , dreptele sunt paralele. Sistemul nu are soluţii şi spunem că este incompatibil.

 

Metode de rezolvare

Metoda substituţiei („substituţie” = „înlocuire”) se recomandă atunci când, într-una dintre ecuaţii, una dintre necunoscute are coeficientul \displaystyle \pm 1 . În acest caz, se extrage necunoscuta din ecuaţia respectivă şi se înlocuieşte în cealaltă ecuaţie.

Metoda reducerii. Se prelucrează sistemul astfel încât una dintre necunoscute să aibă, în cele două ecuaţii, coeficienţi opuşi. Apoi se adună ecuaţiile membru cu membru.

Metoda grafică. Se reprezintă grafic dreptele soluţiilor celor două ecuaţii şi, tot grafic, se determină coordonatele punctului de intersecţie al celor două drepte.


Aplicaţii

1. Să se rezolve sistemul:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=5\\ -2x+y=-4 \end{matrix}\right.

Rezolvare

Se poate aplica metoda substituţiei. Extragem necunoscuta y din prima ecuaţie:

\displaystyle y=5-x

şi o înlocuim în cea de-a doua ecuaţie:

\displaystyle -2x+\left ( 5-x \right )=-4

care devine astfel o ecuaţie de gradul I cu o singură necunoscută.

Se rezolvă ecuaţia şi se obţine valoarea lui \displaystyle x :

\displaystyle -2x+\left ( 5-x \right )=-4

\displaystyle -2x+5-x=-4

\displaystyle -3x+5=-4

\displaystyle 3x=9

\displaystyle x=3

Apoi se revine, pentru a calcula valoarea lui \displaystyle y:

\displaystyle y=5-3

\displaystyle y=2

Soluţia sistemului este perechea

\displaystyle \left ( x,y \right )=\left ( 3,2 \right )

2. Să se rezolve sistemul:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+y=-2\\ -5x-3y=2 \end{matrix}\right.

Rezolvare

Înmulţim prima ecuaţie cu \displaystyle 3 , apoi adunăm ecuaţiile membru cu membru:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} \; \; \; 3x+y=-2\, |\, \cdot 3\\ -5x-3y=2 \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.

\displaystyle \left\{\begin{matrix} \; 9x+3y=-6\, \\ -5x-3y=2 \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.

\displaystyle \overline{\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\;\;\;\; \; \; \; \;\;\;\; \; }\left ( + \right )

\displaystyle 4x=-4

\displaystyle x=-1

Substituim valoarea lui \displaystyle x în prima ecuaţie şi aflăm valoarea lui \displaystyle y :

\displaystyle 3\cdot \left ( -1 \right )+y=-2

\displaystyle y=1

Soluţia sistemului este perechea

\displaystyle \left ( x,y \right )=\left ( -1,1 \right )

3. Rezolvaţi sistemul:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x-3y=16\\ 3x-y=12 \end{matrix}\right.

prin metoda grafică.

Rezolvare

Se reprezintă grafic dreptele soluţiilor celor două ecuaţii, găsind câte două puncte pentru fiecare:

\displaystyle x-3y=16\, \Rightarrow \, y=\frac{x-16}{3}\, \Rightarrow \, \left\{\begin{matrix} A\left ( 1,-5 \right )\\ B\left ( 4,-4 \right ) \end{matrix}\right.

\displaystyle 3x-y=12\, \Rightarrow \, y=3x-12 \Rightarrow \, \left\{\begin{matrix} C\left ( 3,-3 \right )\\ D\left ( 4,\, 0 \right ) \end{matrix}\right.

Măsurând pe grafic, se găsesc coordonatele punctului de intersecţie al celor două drepte: \displaystyle P \left ( \frac{5}{2},-\frac{9}{2} \right ) .

Soluţia sistemului este perechea

\displaystyle \left ( x,y \right )= \left ( \frac{5}{2},-\frac{9}{2} \right )

Ecuaţia de gradul al doilea

Ecuaţia de forma \displaystyle x^{2}=a unde \displaystyle a\in \mathbb{Q}_{+}

Ecuaţia de forma \displaystyle x^{2}=a are două soluţii: \displaystyle x=\pm \sqrt{a} , deci \displaystyle S=\left \{ -\sqrt{a},\, \sqrt{a} \right \} .

 

Ecuaţia de forma \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 , cu \displaystyle a,b,c\in \mathbb{R},\, a\neq 0

Natura soluţiilor ecuaţiei depinde de discriminantul acesteia:

\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac

1° Dacă \displaystyle \Delta >0 , ecuaţia are două soluţii reale distincte, care se determină cu formulele:

\displaystyle x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}

\displaystyle x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}

2° Dacă \displaystyle \Delta =0 , ecuaţia are două soluţii reale egale între ele:

\displaystyle x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}

3° Dacă \displaystyle \Delta <0 , ecuaţia nu are soluţii reale.

 

Factorizarea expresiei pătratice

Expresia de forma \displaystyle E\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c se poate factoriza numai dacă \displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\geq 0 .

Etape:

1. Se determină soluţiile \displaystyle x_{1} şi x_{2} ale ecuaţiei \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 .

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}

2. Descompunerea în factori a expresiei pătratice va fi:

\displaystyle E\left ( x \right )=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )


Aplicaţii:

1. Descompuneţi în factori expresia \displaystyle E\left ( x \right )=9x^{2}-4x-5 .

Rezolvare

Se obţin soluţiile ecuaţiei \displaystyle 9x^{2}-4x-5=0 .

Coeficienţii ecuaţiei sunt:

\displaystyle a=9 \displaystyle b=-4 \displaystyle c=-5

Se calculează discriminantul:

\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=16-4\cdot 9\cdot \left ( -5 \right )=196

\displaystyle \sqrt{\Delta }=14

Soluţiile ecuaţiei sunt:

\displaystyle x_{1}=\frac{4+14}{18}=1

\displaystyle x_{2}=\frac{4-14}{18}=-\frac{5}{9}

Descompunerea în factori a expresiei va fi:

\displaystyle E\left ( x \right )=9\left ( x-1 \right )\left ( x+\frac{5}{9} \right )

Introducând factorul \displaystyle 9 în cea de-a doua paranteză, se obţine:

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( x-1 \right )\left ( 9x+5.\right)