Inele, corpuri, morfisme de inele şi de corpuri

Inel

Un triplet \displaystyle \left ( M,\: \circ,\: \ast \right ) , \displaystyle M\neq \varnothing se numeşte inel dacă:

\displaystyle 1^{\circ} \displaystyle \left (M,\: \circ \right ) este grup abelian.

\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \left (x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left (y \circ z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M \\\\ \left ( \exists \right )e\in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ e=e \circ x=x,\; \left ( \forall \right )x\in M \\\\ \left ( \forall \right )x\in M,\; \left ( \exists \right )x'\in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ x'=x' \circ x=e \\\\ x \circ y = y \circ x,\; \left ( \forall \right )x,y\in M \end{array} \right.

\displaystyle 2^{\circ} \displaystyle \left (M,\: \ast \right ) este monoid

\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \left (x \ast y \right ) \ast z=x \ast \left (y \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M \\\\ \left ( \exists \right ) \varepsilon \in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast \varepsilon = \varepsilon \ast x=x,\; \left ( \forall \right )x\in M \end{array} \right.

\displaystyle 3^{\circ} Legea ” \displaystyle \ast ” este distributivă faţă de legea ” \displaystyle \circ ”.

\displaystyle x \ast \left ( y \circ z \right ) = \left ( x \ast y \right ) \circ \left ( x \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M

În plus, dacă legea ” \displaystyle \ast ” este comutativă, se spune că inelul este comutativ.

Corp

Un triplet \displaystyle \left ( K,\: \circ,\: \ast \right ) , în care \displaystyle K are cel puţin două elemente, se numeşte corp dacă:

\displaystyle 1^{\circ} \displaystyle \left ( K,\: \circ,\: \ast \right ) este inel.

\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \left (x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left (y \circ z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in K \\ \\ \left ( \exists \right )e\in K\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ e=e \circ x=x,\; \left ( \forall \right )x\in K \\ \\ \left ( \forall \right )x\in K,\; \left ( \exists \right )x'\in K\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ x'=x' \circ x=e \\ \\ x \circ y = y \circ x,\; \left ( \forall \right )x,y\in K \\ \\ \left (x \ast y \right ) \ast z=x \ast \left (y \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in K \\ \\ \left ( \exists \right )\varepsilon \in K\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast \varepsilon = \varepsilon \ast x=x,\; \left ( \forall \right )x\in K \\ \\x \ast \left ( y \circ z \right ) = \left ( x \ast y \right ) \circ \left ( x \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in K \end{array} \right.

\displaystyle 2^{\circ} \displaystyle \left ( \forall \right )x\in K, \; x\neq e,\; \left ( \exists \right )x^{-1}\in K\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\;x \ast x^{-1} = x^{-1} \ast x = \varepsilon

În plus, dacă legea ” \displaystyle \ast ” este comutativă, atunci corpul \displaystyle K este corp comutativ.

Morfisme de inele şi de corpuri

Se consideră două inele (sau corpuri): \displaystyle \left (A,\: \circ,\: \ast \right ) şi \displaystyle \left (B,\: \oplus ,\: \odot \right ) .

O funcţie \displaystyle f:A\rightarrow B se numeşte morfism de inele (sau morfism de corpuri) dacă:

\displaystyle f\left ( x \circ y \right ) = f\left ( x \right ) \oplus f\left ( y \right ),\; \left ( \forall \right )x,y\in A

şi

\displaystyle f\left ( x \ast y \right ) = f\left ( x \right ) \odot f\left ( y \right ),\; \left ( \forall \right )x,y\in A

Dacă, în plus, funcţia  este bijectivă, atunci se numeşte izomorfism de inele (sau izomorfism de corpuri).

Monoizi, grupuri, morfisme şi izomorfisme de grupuri

Monoid

Un cuplu \displaystyle \left ( M,\: \circ \right ) , format din mulţimea nevidă \displaystyle M şi legea de compoziţie ” \displaystyle \circ ” se numeşte monoid dacă legea ” \displaystyle \circ ” este asociativă şi admite element neutru.

\displaystyle \left ( M,\: \circ \right )\; \textrm{monoid}\; \Leftrightarrow \; \left \{ \begin{array}{l} \left (x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left (y \circ z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M \\\\ \left ( \exists \right )e\in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ e=e \circ x=x,\; \left ( \forall \right )x\in M \end{array} \right.

Dacă, în plus, legea ” \displaystyle \circ ” este comutativă, atunci cuplul \displaystyle \left ( M,\: \circ \right ) se numeşte monoid comutativ.

\displaystyle \left ( M,\: \circ \right )\; \textrm{monoid\: comutativ}\; \Leftrightarrow \; \left \{ \begin{array}{l} \left (x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left (y \circ z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M \\\\ \left ( \exists \right )e\in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ e=e \circ x=x,\; \left ( \forall \right )x\in M \\\\ x \circ y=y \circ x,\: \left ( \forall \right )x,y\in M \end{array} \right.

Grup

Un cuplu \displaystyle \left ( G,\: \ast \right ) , format din mulţimea nevidă \displaystyle G şi legea de compoziţie ” \displaystyle \ast ” se numeşte grup dacă legea ” \displaystyle \ast ” este asociativă, admite element neutru şi orice element din \displaystyle G este simetrizabil faţă de legea ” \displaystyle \ast “.

\displaystyle \left ( G,\: \ast \right )\; \textrm{grup}\; \Leftrightarrow \; \left \{ \begin{array}{l} \left (x \ast y \right ) \ast z=x \ast \left (y \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in G \\\\ \left ( \exists \right )e\in G\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast e=e \ast x=x,\; \left ( \forall \right )x\in G \\\\ \left ( \forall \right )x\in G,\; \left ( \exists \right )x'\in G\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast x'=x' \ast x=e \end{array} \right.

Dacă, în plus, legea ” \displaystyle \ast ” este comutativă, atunci cuplul \displaystyle \left ( G,\: \ast \right ) se numeşte grup comutativ sau grup abelian.

\displaystyle \left ( G,\: \ast \right )\; \textrm{grup\; comutativ\: (abelian)}\; \Leftrightarrow \; \left \{ \begin{array}{l} \left (x \ast y \right ) \ast z=x \ast \left (y \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in G \\\\ \left ( \exists \right )e\in G\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast e=e \ast x=x,\; \left ( \forall \right )x\in G \\\\ \left ( \forall \right )x\in G,\; \left ( \exists \right )x'\in G\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast x'=x' \ast x=e \\\\ x \ast y = y \ast x,\; \left ( \forall \right )x,y\in G \end{array} \right.

Grup finit

Un grup \displaystyle \left ( G,\: \ast \right ) se numeşte grup finit dacă mulţimea \displaystyle G este finită.

Ordinul unui grup finit \displaystyle \left ( G,\: \ast \right ) este egal cu cardinalul (numărul elementelor) mulţimii \displaystyle G .

Morfisme şi izomorfisme de grupuri

Se consideră două grupuri, \displaystyle \left ( G,\: \circ \right ) şi \displaystyle \left ( H,\: \ast \right ) .

O funcţie \displaystyle f:G\rightarrow H se numeşte morfism de grupuri dacă

\displaystyle f\left ( x \circ y \right )=f\left ( x \right ) \ast f\left ( y \right ),\; \left ( \forall \right )x,y\in G

Dacă, în plus, funcţia  este bijectivă, atunci ea se numeşte izomorfism de grupuri.

Orice morfism \displaystyle f:G\rightarrow G se numeşte endomorfism de grupuri.

Orice izomorfism \displaystyle f:G\rightarrow G se numeşte automorfism de grupuri.

Două grupuri finite \displaystyle \left ( G,\: \circ \right ) şi \displaystyle \left ( H,\: \ast \right ) se numesc izomorfe dacă ordinele lor sunt egale (mulţimile \displaystyle G şi \displaystyle H au acelaşi număr de elemente), iar tablele operaţiilor celor două grupuri sunt structurate la fel.

Lege de compoziţie internă, parte stabilă, clase de resturi modulo n

Lege de compoziţie

Se numeşte lege de compoziţie (internă) sau operaţie algebrică binară o aplicaţie definită pe \displaystyle M\times M cu valori în \displaystyle M , care asociază fiecărei perechi \displaystyle \left ( x,y \right )\in M un unic element \displaystyle \left ( x\circ y \right )\in M .

Elementul \displaystyle \left ( x\circ y \right ) se numeşte compusul lui \displaystyle x cu \displaystyle y .

Pentru notaţia unei legi de compoziţie se pot utiliza diferite simboluri, de obicei altele decât cele utilizate în calculele aritmetice, de exemplu: \displaystyle \circ ,\: \ast ,\: \perp ,\: \odot ,\: \otimes , etc.

Tabla unei legi de compoziţie

Dacă \displaystyle M este o mulţime finită, de exemplu \displaystyle M=\left \{ x,y,z,t \right \} , iar ” \displaystyle \circ ” este o lege de compoziţie pe \displaystyle M  , atunci legea de compoziţie poate fi redată într-un tabel numit tabla legii de compoziţie.

Proprietăţi ale legilor de compoziţie

\displaystyle 1^{\circ} Asociativitatea

\displaystyle ``\circ ``\: \textrm{asociativ} \breve {\textrm{a}}\; \Leftrightarrow \; \left ( x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left ( y \circ z \right ),\: \left ( \forall \right )x,y,z\in M

\displaystyle 2^{\circ} Comutativitatea

\displaystyle ``\circ ``\: \textrm{comutativ} \breve {\textrm{a}}\; \Leftrightarrow \; x \circ y=y \circ x,\: \left ( \forall \right )x,y\in M

\displaystyle 3^{\circ} Elementul neutru

\displaystyle e\in M \; \textrm{element\, neutru} \; \Leftrightarrow \; x \circ e=e \circ x=x,\: \left ( \forall \right )x\in M

\displaystyle 4^{\circ} Elementul simetric

\displaystyle x'\in M \; \textrm{simetricul\, lui}\: x\; \Leftrightarrow \; x \circ x'=x' \circ x=e,\: \left ( \forall \right )x\in M

Parte stabilă

O submulţime nevidă \displaystyle H\subseteq M se numeşte parte stabilă a mulţimii \displaystyle M în raport cu legea de compoziţie\displaystyle \circ ” dacă

\displaystyle \left ( \forall \right )x,y\in H \; \Rightarrow \; \left (x \circ y \right )\in H

Clase de resturi modulo \displaystyle n

Fie numerele \displaystyle a,b\in \mathbb{Z} şi \displaystyle n\in \mathbb{N}^{*} .

Se spune că numărul \displaystyle a este congruent cu numărul \displaystyle b modulo \displaystyle n , dacă şi numai dacă cele două numere, \displaystyle a şi \displaystyle b , dau acelaşi rest \displaystyle r prin împărţirea la \displaystyle n .

\displaystyle a\equiv b\left ( \textrm{mod}\: n \right )\; \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=n\cdot c_{1}+r \\ b=n\cdot c_{2}+r \end{array} \right.,\; c_{1},c_{2},r\in \mathbb{Z},\; 0\leq r<n

sau

\displaystyle a\equiv b\left ( \textrm{mod}\: n \right ) dacă \displaystyle \frac{a-b}{n}\in \mathbb{Z}

Se notează \displaystyle \widehat{a} mulţimea tuturor numerelor întregi care dau acelaşi rest \displaystyle r prin împărţirea la \displaystyle n .

\displaystyle \widehat{a}=\left \{ b\in \mathbb{Z}\, |\, b\equiv a\left ( \textrm{mod}\: n \right ) \right \}

\displaystyle \widehat{a} se numeşte clasa lui \displaystyle a modulo \displaystyle n .

Mulţimea \displaystyle \mathbb{Z}_n=\left \{ \widehat{1},\widehat{2}, \widehat{3},\, \ldots,\, \widehat{n-1} \right \} se numeşte mulţimea claselor de resturi modulo \displaystyle n .

Operaţii în mulţimea claselor de resturi modulo \displaystyle n :

\displaystyle \widehat{a}+\widehat{b}=\widehat{a+b}

\displaystyle \widehat{a} \cdot \widehat{b}=\widehat{a \cdot b}

Descompunerea unei expresii algebrice raţionale într-o sumă de fracţii simple

O expresie algebrică raţională are forma

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{P\left ( x \right )}{Q\left ( x \right )}

unde \displaystyle P\left ( x \right ) şi \displaystyle Q\left ( x \right ) sunt polinoame cu coeficienţi întregi, iar \displaystyle Q\left ( x \right )\neq 0 , oricare ar fi \displaystyle x aparţinând domeniului de definiţie al expresiei \displaystyle E\left ( x \right ) .

Orice expresie algebrică raţională poate fi scrisă ca o sumă finită de fracţii algebrice simple.

Pot fi întâlnite două situaţii:

\displaystyle 1^{\circ} Gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului:

\displaystyle \textrm{grad}\, P\left ( x \right )<\textrm{grad}\, Q\left ( x \right )

  • Se descompune numitorul \displaystyle Q\left ( x \right ) în factori ireductibili (polinoame de gradul unu şi/sau polinoame de gradul doi cu discriminantul negativ)

În cazul general,

\displaystyle Q\left ( x \right )=\left ( ax+b \right )\left ( cx+d \right )^{n}\left ( px^{2}+qx+r \right )\left ( ux^{2}+vx+w \right )^{m}

  • Se scrie expresia \displaystyle E\left ( x \right ) ca o sumă de fracţii simple, având ca numitori factorii polinomului \displaystyle Q\left ( x \right ) la toate puterile posibile. La numărătorul fracţiilor se scriu expresii având gradul mai mic cu o unitate decât gradul factorului de la numitor.

 

Pentru factorii având expresia: în descompunerea lui \displaystyle E\left ( x \right ) se includ termeni de forma:
\displaystyle \left ( ax+b \right ) \displaystyle \frac{A}{ax+b}
\displaystyle \left ( cx+d \right )^{n} \displaystyle \frac{B}{cx+d}+\frac{C}{\left (cx+d \right )^{2}}+\cdots +\frac{D}{\left (cx+d \right )^{n}}
\displaystyle \left ( px^{2}+qx+r \right ) \displaystyle \frac{Ex+F}{px^{2}+qx+r}
\displaystyle \left ( ux^{2}+vx+w \right )^{m} \displaystyle \frac{Gx+H}{ux^{2}+vx+w}+\frac{Sx+T}{\left (ux^{2}+vx+w \right )^{2}}+\cdots +\frac{Ux+V}{\left (ux^{2}+vx+w \right )^{m}}

Prin urmare, forma generală a expresiei \displaystyle E\left ( x \right ) va fi:

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{cx+d}+\frac{C}{\left ( cx+d \right )^{2}}+\cdots +\frac{D}{\left ( cx+d \right )^{n}}+\frac{Ex+F}{px^{2}+qx+r}+

\displaystyle +\frac{Gx+H}{ux^{2}+vx+w}+\frac{Sx+T}{\left (ux^{2}+vx+w \right )^{2}}+\cdots +\frac{Ux+V}{\left (ux^{2}+vx+w \right )^{m}}

  • Se aduc fracţiile din membrul drept al egalităţii la acelaşi numitor şi se adună. Apoi se desfac toate parantezele de la numărător şi se ordonează termenii obţinuţi după puterile lui \displaystyle x .
  • Se calculează coeficienţii \displaystyle A,B,C, \ldots ştiind că numărătorul obţinut în dreapta egalităţii trebuie să fie egal cu \displaystyle P\left ( x \right ) .

 

\displaystyle 2^{\circ} Gradul numărătorului este mai mare sau egal decât gradul numitorului:

\displaystyle \textrm{grad}\, P\left ( x \right )\geq \textrm{grad}\, Q\left ( x \right )

În acest caz, expresia algebrică se rescrie sub forma

\displaystyle E\left ( x \right )=T\left ( x \right )+\frac{R\left ( x \right )}{Q\left ( x \right )}

unde polinoamele \displaystyle T\left ( x \right ) şi \displaystyle R\left ( x \right ) se obţin fie prin artificii de calcul, fie utilizând algoritmul de împărţire a polinoamelor.

Apoi fracţia \displaystyle \frac{R\left ( x \right )}{Q\left ( x \right )} se descompune în fracţii simple cu metoda de la punctul \displaystyle 1^{\circ} .


Exemplu:

Să se descompună în fracţii simple expresia

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{x^{4}+x^{3}-5x^{2}+26x-21}{x^{2}+3x-4}

Deoarece gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, se poate utiliza algoritmul de împărţire a polinoamelor:

Conform teoremei împărţirii cu rest aplicată polinoamelor

\displaystyle x^{4}+x^{3}-5x^{2}+26x-21=\left ( x^{2}+3x-4 \right )\left ( x^{2}-2x+5 \right )+3x-1

iar expresia \displaystyle E\left ( x \right ) se poate scrie:

\displaystyle E\left ( x \right )=x^{2}-2x+5+\frac{3x-1}{x^{2}+3x-4}

În continuare, se descompune în fracţii simple doar expresia \displaystyle \frac{3x-1}{x^{2}+3x-4} .

Descompunerea în factori a numitorului este:

\displaystyle x^{2}+3x-4=\left ( x+4 \right )\left ( x-1 \right )

Se scrie

\displaystyle \frac{3x-1}{x^{2}+3x-4}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-1}

de unde

\displaystyle 3x-1=A\left ( x-1 \right )+B\left ( x+4 \right )

\displaystyle 3x-1=x\left ( A+B \right )-A+4B

Coeficienţii \displaystyle A şi \displaystyle B se determină sistemul:

\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} A+B=3 \\ -A+4B=-1 \end{array} \right .

cu soluţia

\displaystyle \left ( A,B \right )=\left ( \frac{13}{5},\frac{2}{5} \right )

Astfel

\displaystyle \frac{3x-1}{x^{2}+3x-4}=\frac{13}{5\left ( x+4 \right )}+\frac{2}{5\left ( x-1 \right )}

În final,

\displaystyle E\left ( x \right )=x^{2}-2x+5+\frac{13}{5\left ( x+4 \right )}+\frac{2}{5\left ( x-1 \right )}

Descompunerea în factori a expresiilor polinomiale de gradul doi sau trei

Factorizarea expresiei pătratice

Expresia de gradul al doilea de forma \displaystyle \left ( ax^{2}+bx+c \right ) se poate descompune într-un produs de doi factori de gradul întâi cu coeficienţi întregi dacă discriminantul \displaystyle \Delta =b^{2}-4ac este pătrat perfect.

În acest caz,

\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )

unde \displaystyle x_{1} şi \displaystyle x_{2} sunt soluţiile ecuaţiei \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 .


Exemplu:

Să se descompună în factori expresia:

\displaystyle E\left ( x \right )=2x^{2}+5x+3

Se calculează discriminantul \displaystyle \Delta =5^{2}-4\cdot 2\cdot 3=1 care este pătrat perfect.

Soluţiile ecuaţiei \displaystyle 2x^{2}+5x+3=0 sunt:

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-5\pm 1}{4}\; \Rightarrow \; \left\{\begin{matrix} x_{1}=-1\\ x_{2}=-\frac{3}{2} \end{matrix}\right.

Descompunerea în factori a expresiei va fi

\displaystyle E\left ( x \right )=2\left ( x-\left ( -1 \right ) \right )\left ( x-\left ( -\frac{3}{2} \right ) \right )=2\left ( x+1 \right )\left ( x+\frac{3}{2} \right )

Pentru o scriere mai compactă, se introduce factorul \displaystyle 2 în cea de-a doua paranteză:

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( x+1 \right )\left ( 2x+3 \right )


Descompunerea în factori a expresiilor polinomiale de gradul al treilea

Pentru a descompune în factori o expresie de gradul al treilea, de forma

\displaystyle E\left ( x \right )=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\; a\neq 0

se caută, printre divizorii termenului liber \displaystyle d , o soluţie întreagă a ecuaţiei

\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

Dacă soluţia găsită este \displaystyle x_{1} , descompunerea în factori a expresiei va fi

\displaystyle E\left ( x \right )=\left (x-x_{1} \right )\left ( mx^{2}+nx+p \right )

unde coeficienţii \displaystyle m,\: n,\: p se pot determina fie prin calcul, fie cu ajutorul Schemei lui Horner, fie utilizând algoritmul de împărţire a polinoamelor.


Exemplu:

Să se descompună în factori expresia:

\displaystyle E\left ( x \right )=x^{3}-17x^{2}+54x-8

Se caută o soluţie întreagă a ecuaţiei

\displaystyle x^{3}-17x^{2}+54x-8=0

Dacă ecuaţia are soluţii întregi, ele se află printre divizorii termenului liber, \displaystyle 8 , adică aparţine mulţimii \displaystyle \left \{ -8;-4;-2;-1;1;2;4;8 \right \} .

Prin încercări, se determină \displaystyle x_{1}=4 soluţie a ecuaţiei.

Prin urmare,

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( x-4 \right )\left ( mx^{2}+nx+p \right )

Pornind de la

\displaystyle x^{3}-17x^{2}+54x-8=\left ( x-4 \right )\left ( mx^{2}+nx+p \right )

se desfac parantezele în membrul drept al egalităţii şi se ordonează termenii după puterile lui \displaystyle x :

\displaystyle x^{3}-17x^{2}+54x-8=mx^{3}+\left ( n-4m \right )x^{2}+\left ( p-4n \right )x-4p

Coeficienţii \displaystyle m,\: n,\: p se determină din sistemul

\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} m=1 \\ n-4m=-17 \\ p-4n=54 \\ -4p=-8 \end{array} \right.

cu soluţia \displaystyle m=1,\: n=-13,\: p=2 .

Se obţine, în final

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( x-4 \right )\left ( x^{2}-13x+2 \right )

Metode de descompunere în factori a expresiilor algebrice

O expresie algebrică conţine numere, variabile şi cel puţin o operaţie aritmetică.

Un produs având ca factori numere şi litere la diferite puteri se numeşte monom.

Monoamele asemenea conţin exact aceleaşi variabile, la aceleaşi puteri. Gradul unui monom este egal cu suma tuturor exponenţilor variabilelor sale.

Pentru a putea efectua diverse calcule cu expresii algebrice, este utilă scrierea lor sub o formă cât mai simplă:

  • dacă printre termenii unei expresii există monoame asemenea, acestea se adună.
  • în cazul unei fracţii algebrice, atât numărătorul, cât şi numitorul se descompun în factori ireductibili, iar dacă există factori comuni, expresia se poate simplifica.
  • descompunerea unei expresii algebrice în factori ireductibili este recomandată în cazul rezolvării ecuaţiilor polinomiale cu grad mai mare sau egal decât trei.

Factorul comun

Factorul comun al unei expresii algebrice scrise sub formă de sumă de monoame poate fi constituit din:

  • un factor numeric reprezentat de cel mai mare divizor comun al coeficienţilor monoamelor;
  • variabilele care apar în toate monoamele, la puterea cea mai mică.

Odată găsit, factorul comun se scrie în faţa parantezei, iar în paranteză rămân câturile obţinute prin împărţirea fiecărui monom la factorul comun.


Exemplu:

Să se descompună în factori expresia:

\displaystyle E\left ( a,b \right )=60a^{4}b^{3}-15a^{3}b^{4}+45a^{2}b^{5}

Se poate observa că cel mai mare divizor comun al coeficienţilor este \displaystyle 15 .

Variabilele \displaystyle a şi \displaystyle b apar în toate monoamele: cea mai mică putere a lui \displaystyle a este \displaystyle a^{2} , iar cea mai mică putere al lui \displaystyle b este \displaystyle b^{3} .

În consecinţă, factorul comun este \displaystyle 15a^{2}b^{3} .

Expresia devine

\displaystyle E\left ( a,b \right )=15a^{2}b^{3}\left ( 4a^{2}-ab+3b^{2} \right )


Factorul comun obţinut prin gruparea termenilor

Dacă nu există un factor comun al tuturor termenilor, monoamele pot fi eventual rearanjate şi grupate, cu condiţia ca fiecare grupare să conţină acelaşi număr de termeni.

Metoda este posibilă atunci când, după scoaterea factorului comun pentru fiecare grupare în parte, parantezele care se obţin sunt identice.


Exemplu:

Să se descompună în factori expresia:

\displaystyle E\left ( a,b \right )=4a^{2}-21b^{3}+6ab-14ab^{2}

Se rearanjează şi se grupează termenii câte doi:

\displaystyle E\left ( a,b \right )=\underbrace{4a^{2}+6ab}\underbrace{-14ab^{2}-21b^{3}}

Se scoate factorul comun al fiecărei grupări:

\displaystyle E\left ( a,b \right )=2a\left ( 2a+3b \right )-7b^{2}\left ( 2a+3b \right )

Expresia \displaystyle \left ( 2a+3b \right ) este factor comun.

Prin urmare,

\displaystyle E\left ( a,b \right )=\left ( 2a+3b \right )\left ( 2a-7b^{2} \right )


Utilizarea formulelor de calcul prescurtat

Formulele de calcul prescurtat se pot folosi atunci când expresia se poate scrie ca diferenţă de pătrate sau sub forma unui binom la puterea a doua sau a treia.

Se pot utiliza, de asemenea, formulele sumei sau diferenţei de cuburi.


Exemple:

a) Să se descompună în factori expresia:

\displaystyle E\left ( x,y \right )=\underbrace{4x^{2}-4x+1}-y^{2}

Se poate observa că primii trei termeni constituie expresia unui binom la pătrat.

\displaystyle E\left ( x,y \right )=\left ( 2x-1 \right )^{2}-y^{2}

Apoi se utilizează formula diferenţei de pătrate şi, în fiecare dintre paranteze, se rearanjează termenii în ordinea puterilor.

\displaystyle E\left ( x,y \right )=\left ( 2x-1-y \right ) \left ( 2x-1+y \right )

\displaystyle E\left ( x,y \right )=\left ( 2x-y-1 \right ) \left ( 2x+y-1 \right )

b) Să se descompună în factori expresia:

\displaystyle F\left ( x,y \right )=x^{4}+6x^{2}y+9y^{2}

Rescriind convenabil, se observă formula binomului la pătrat:

\displaystyle F\left ( x,y \right )=\left (x^{2} \right )^{2}+2\cdot \left (x^{2} \right )\cdot \left (3y \right )+\left (3y \right )^{2}

\displaystyle F\left ( x,y \right )=\left (x^{2} +3y \right )^{2}

c) Să se descompună în factori expresia:

\displaystyle G\left ( x,y \right )=64x^{6}+27y^{3}

Expresia dată este o sumă de cuburi:

\displaystyle G\left ( x,y \right )=\left (4x^{2} \right )^{3}+\left (3y \right )^{3}

Se aplică formula sumei de cuburi, apoi se rescrie expresia într-o formă cât mai compactă:

\displaystyle G\left ( x,y \right )=\left (4x^{2}+3y \right )\left ( \left ( 4x^{2} \right )^{2}-\left ( 4x^{2} \right )\cdot \left ( 3y \right )+\left ( 3y \right )^2 \right )

\displaystyle G\left ( x,y \right )=\left (4x^{2}+3y \right )\left ( 16x^{2}-12x^{2}y+9y^{2} \right )

Forma trigonometrică a unui număr complex

Fie punctul \displaystyle P\left ( a,b \right ), imaginea geometrică a numărului complex \displaystyle z=a+bi .

Se notează cu \displaystyle r distanţa de la origine la punctul \displaystyle P şi cu \displaystyle \varphi , unghiul dintre axa \displaystyle Ox şi direcţia \displaystyle OP , măsurat în sens trigonometric.

\displaystyle r şi \displaystyle \varphi se numesc coordonatele polare ale punctului \displaystyle P .

Relaţiile între coordonatele carteziene şi coordonatele polare ale punctului \displaystyle P sunt:

\displaystyle r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

\displaystyle \sin \varphi =\frac{b}{r}\; \Leftrightarrow \; b=r\sin \varphi

\displaystyle \cos \varphi =\frac{a}{r}\; \Leftrightarrow \; a=r\cos \varphi

Prin urmare, numărul complex \displaystyle z=a+bi se poate scrie sub formă trigonometrică

\displaystyle z=r\left ( \cos \varphi +i\sin \varphi \right ),\; \varphi \in \left [ 0,\, 2\pi \right ]

Unghiul \displaystyle \varphi se numeşte argumentul redus al numărului complex \displaystyle z .

\displaystyle \varphi =\arg \left ( z \right )

Produsul şi câtul a două numere complexe sub formă trigonometrică

Se consideră numerele complexe sub formă trigonometrică \displaystyle z_{1}=r_{1}\left ( \cos \varphi _{1}+i \sin \varphi _{1} \right ) şi \displaystyle z_{2}=r_{2}\left ( \cos \varphi _{2}+i \sin \varphi _{2} \right ) .

\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}r_{2}\left [ \cos\left ( \varphi _{1}+\varphi _{2} \right )+i \sin \left ( \varphi _{1}+\varphi _{2} \right ) \right ]

\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left [ \cos\left ( \varphi _{1}-\varphi _{2} \right )+i \sin \left ( \varphi _{1}-\varphi _{2} \right ) \right ]

Ridicarea la putere a unui număr complex sub formă trigonometrică

Fie numărul \displaystyle z=r\left ( \cos \varphi +i \sin \varphi \right ) .

\displaystyle z^{n}=r^{n}\left ( \cos n\varphi +i \sin n\varphi \right )

Pentru \displaystyle r=1 se obţine formula lui Moivre:

\displaystyle \left ( \cos \varphi +i \sin \varphi \right )^{n}=\cos n\varphi +i \sin n\varphi

Rădăcinile de ordinul \displaystyle n dintr-un număr complex

Numărul complex \displaystyle z_{k}=r_{k}\left ( \cos \theta _{k}+i \sin \theta _{k} \right ),\; z_{k}\neq 0 este rădăcină de ordinul \displaystyle n,\: n\in \mathbb{N},\: n\geq 2 a numărului complex \displaystyle z=r\left ( \cos \varphi+i\sin \varphi \right ),\; z\neq 0 , dacă

\displaystyle \left ( z_{k} \right )^{n}=z

Rădăcinile de ordinul \displaystyle n ale numărului complex \displaystyle z se pot determina cu relaţia:

\displaystyle z_{k}=\sqrt[n]{r}\left ( \cos \frac{\varphi +2k\pi }{n} +i \sin \frac{\varphi +2k\pi }{n} \right ) ,   \displaystyle k=0,\: 1,\: 2,\: \ldots,\: \left ( n-1 \right )

Mulţimea numerelor complexe

Mulţimea \displaystyle \mathbb{C}=\left \{ z=a+bi\, |\, a,b\in \mathbb{R},\: i^{2}=-1 \right \} se numeşte mulţimea numerelor complexe.

Cele două numere, \displaystyle a şi \displaystyle b , pot reprezenta coordonatele unui punct \displaystyle P în sistemul cartezian \displaystyle xOy .

Punctul \displaystyle P\left ( a,b \right ) se numeşte imaginea geometrică a numărului complex \displaystyle z=a+bi .

Numărul complex \displaystyle z=a+bi se numeşte afixul punctului \displaystyle P\left ( a,b \right ) .

Numere complexe sub formă algebrică

Forma algebrică a numărului complex \displaystyle z este

\displaystyle z=a+bi,\; a,b\in \mathbb{R},\; i^{2}=-1

\displaystyle a este partea reală a numărului complex \displaystyle z , iar \displaystyle b este partea imaginară. Se notează:

\displaystyle \textrm{Im}\left ( z \right )=a,\; \textrm{Re}\left ( z \right )=b

Modulul numărului complex \displaystyle z este

\displaystyle \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

şi reprezintă distanţa de la originea sistemului de coordonate la punctul \displaystyle P\left ( a,b \right ) , imaginea geometrică a lui \displaystyle z .

Egalitatea a două numere complexe

Două numere complexe, \displaystyle z_{1}=a_{1}+b_{1}i şi \displaystyle z_{2}=a_{2}+b_{2}i sunt egale dacă atât părţile lor reale, cât şi cele imaginare, coincid.

\displaystyle z_{1}=z_{2}\; \Leftrightarrow \; \left\{\begin{matrix} a_{1}=a_{2}\\ \\ b_{1}=b_{2} \end{matrix}\right.

Operaţii algebrice cu numere complexe

Considerând numerele complexe sub formă algebrică \displaystyle z_{1}=a_{1}+b_{1}i şi \displaystyle z_{2}=a_{2}+b_{2}i ,

\displaystyle z_{1}+z_{2}=a_{1}+b_{1}i+a_{2}+b_{2}i=\left ( a_{1}+ a_{2} \right )+\left ( b_{1}+ b_{2} \right )i

\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=\left ( a_{1}+b_{1}i \right ) \left ( a_{2}+b_{2}i \right )=\left ( a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2} \right )+\left ( a_{1} b_{2}+ a_{2} b_{1} \right )i

Puterile lui \displaystyle i

\displaystyle i=\sqrt{-1};\; i^{2}=-1;\; i^{3}=-i;\; i^{4}=1

Generalizând,

\displaystyle i^{4k}=1;\; i^{4k+1}=i;\; i^{4k+2}=-1;\; i^{4k+3}=-i;\; k\in \mathbb{N}

Numere complexe conjugate

Conjugatul numărului complex \displaystyle z=a+bi este numărul complex \displaystyle \overline{z}=a-bi

\displaystyle \left | z \right |=\left | \overline{z} \right |

\displaystyle z+\overline{z}=2a\in \mathbb{R}

\displaystyle z\cdot \overline{z}=a^{2}+b^{2}\in \mathbb{R}

\displaystyle \overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}},\; \left ( \forall \right )z_{1},z_{2}\in \mathbb{C}

\displaystyle \overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{z_{1}}\cdot \overline{z_{2}},\; \left ( \forall \right )z_{1},z_{2}\in \mathbb{C}

\displaystyle \overline{\left (\frac{z_{1}}{z_{2}} \right )}=\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}},\; \left ( \forall \right )z_{1},z_{2}\in \mathbb{C}

\displaystyle \overline{z^{n}}=\left (\overline{z} \right )^{n},\; \left ( \forall \right )z\in \mathbb{C}

\displaystyle z\in \mathbb{R}\; \Leftrightarrow \; z=\overline{z}

\displaystyle z\in \mathbb{R}^{*}i\; \Leftrightarrow \; z=-\overline{z}

Rădăcinile pătrate ale unui număr complex

Orice număr complex nenul admite două rădăcini pătrate opuse.

Pentru a determina rădăcinile pătrate ale numărului complex \displaystyle z=a+bi se rezolvă sistemul de ecuaţii

\displaystyle \left (x+yi \right )^{2}=z

Respectiv

\displaystyle \left (x+yi \right )^{2}=a+bi\; \Rightarrow \; \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=a\\ \\ 2xy=b \end{matrix}\right.

Intervale de numere reale

Intervalele reprezintă porţiuni din axa numerelor reale: segmente închise sau deschise, semidrepte închise sau deschise sau dreapta întreagă.

Intervalele se numesc mărginite, dacă extremităţile \displaystyle a şi \displaystyle b sunt numere finite, respectiv nemărginite, dacă cel puţin una dintre extremităţi este \displaystyle +\infty sau \displaystyle -\infty .

Intervale mărginite

\displaystyle \left [ a, b \right ]=\left \{ x\in \mathbb{R}\, |\, a\leq x\leq b \right \}
\displaystyle \left ( a, b \right )=\left \{ x\in \mathbb{R}\, |\, a< x< b \right \}
\displaystyle \left ( a, b \right ]=\left \{ x\in \mathbb{R}\, |\, a< x\leq b \right \}
\displaystyle \left [ a, b \right )=\left \{ x\in \mathbb{R}\, |\, a\leq x< b \right \}

Intervale nemărginite

\displaystyle \left ( a, +\infty \right )=\left \{ x\in \mathbb{R}\, |\, x>a \right \}
\displaystyle \left [ a, +\infty \right )=\left \{ x\in \mathbb{R}\, |\, x\geq a \right \}
\displaystyle \left (-\infty , b \right )=\left \{ x\in \mathbb{R}\, |\, x< b \right \}
\displaystyle \left (-\infty , b \right ]=\left \{ x\in \mathbb{R}\, |\, x\leq b \right \}
\displaystyle \left (-\infty , +\infty \right )=\mathbb{R}