Mulţimi finite ordonate

O mulţime care are un număr finit de elemente se numeşte mulţime finită. În caz contrar, se numeşte mulţime infinită.

Numărul elementelor unei mulţimi finite \displaystyle A se numeşte cardinalul mulţimii \displaystyle A şi se notează \displaystyle card\left ( A \right ) sau \displaystyle \left | A \right | .

Dacă \displaystyle A este mulţimea vidă, atunci \displaystyle card\left ( A \right )=0 .

Dacă \displaystyle A şi \displaystyle B sunt două mulţimi nevide, atunci sunt îndeplinite relaţiile:

\displaystyle card\left ( A\cup B \right )=card\left ( A \right )+card\left ( B \right )-card\left ( A\cap B \right )

\displaystyle card\left ( A\cup B \right )=card\left ( A\cap B \right )+card\left ( A\setminus B \right )+card\left ( B\setminus A \right )

\displaystyle card\left ( A\times B \right )=card\left ( A \right )\cdot card\left ( B \right )

O mulţime împreună cu o ordine bine stabilită a elementelor sale se numeşte mulţime finită ordonată.

Pentru a stabili ordinea elementelor unei mulţimi finite cu \displaystyle n elemente, fiecărui element i se asociază un număr natural de la \displaystyle 1 la \displaystyle n , astfel încât să se poată spune care este primul element, al doilea element, ş.a.m.d.

Rezolvarea triunghiului dreptunghic

Rezolvarea triunghiului dreptunghic presupune determinarea tuturor elementelor sale (laturi şi unghiuri), atunci când se cunosc minimum două dintre ele.

Fie triunghiul dreptunghic \displaystyle ABC , având \displaystyle m\left ( \measuredangle A \right )=90^{\circ} .

Pentru unghiul notat cu \displaystyle x , se definesc funcţiile trigonometrice:

\displaystyle \sin \left ( x \right )=\frac{\textrm{cateta opus\u{a}}}{\textrm{ipotenuz\u{a}}}=\frac{c_{1}}{ip}

\displaystyle \cos \left ( x \right )=\frac{\textrm{cateta al\u{a}turat\u{a}}}{\textrm{ipotenuz\u{a}}}=\frac{c_{2}}{ip}

\displaystyle \textrm{tg} \left ( x \right )=\frac{\textrm{cateta opus\u{a}}}{\textrm{cateta al\u{a}turat\u{a}}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}

\displaystyle \textrm{ctg} \left ( x \right )=\frac{\textrm{cateta al\u{a}turat\u{a}}}{\textrm{cateta opus\u{a}}}=\frac{c_{2}}{c_{1}}

Valorile funcţiilor trigonometrice pentru unghiurile întâlnite cel mai des:

\displaystyle x

în grade şi radiani

\displaystyle 0^{\circ}=0 \displaystyle 30^{\circ}=\frac{\pi}{6} \displaystyle 45^{\circ}=\frac{\pi}{4} \displaystyle 60^{\circ}=\frac{\pi}{3} \displaystyle 90^{\circ}=\frac{\pi}{2}
\displaystyle \sin \left ( x \right ) \displaystyle 0 \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \displaystyle 1
\displaystyle \cos \left ( x \right ) \displaystyle 1 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle 0
\displaystyle \textrm{tg} \left ( x \right ) \displaystyle 0 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \displaystyle 1 \displaystyle \sqrt{3} \displaystyle -
\displaystyle \textrm{ctg} \left ( x \right ) \displaystyle - \displaystyle \sqrt{3} \displaystyle 1 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \displaystyle 0

În triunghiul dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei

\displaystyle m=\frac{ip}{2}

iar înălţimea corespunzătoare ipotenuzei este egală cu produsul lungimilor catetelor supra lungimea ipotenuzei

\displaystyle h=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ip}

Mijlocul ipotenuzei, \displaystyle M , reprezintă, în acelaşi timp, şi centrul cercului circumscris triunghiului \displaystyle ABC .

Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.

\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=ip^{2}

Reciproca teoremei lui Pitagora: Dacă într-un triunghi suma pătratelor lungimilor a două laturi este egal cu pătratul lungimii celei de-a treia laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.

Cuprins Fizică BAC

Fizica pentru Bacalaureat

Noţiuni generale

Mărimi fizice. Unităţi de măsură

Multipli şi submultipli în sistemul metric

Relaţii de conversie

Mărimi scalare. Mărimi vectoriale

Vectori în sistemul cartezian

Suma şi diferenţa vectorilor

Descompunerea unui vector după două direcţii date

Produse vectoriale

Mecanică

Elementele mişcării

Elementele mişcării sub formă vectorială

Mişcarea rectilinie uniformă a punctului material

Mişcarea rectilinie uniform variată a punctului material

Mişcarea pe verticală în câmp gravitaţional a punctului material

Forţa

Principiul inerţiei

Impulsul

Principiul fundamental al mecanicii clasice

Principiul acţiunilor reciproce

Greutatea. Legea atracţiei universale

Forţe de reacţiune

Lucrul mecanic

Puterea mecanică

Energia

Legi de conservare în mecanică

Randamentul mecanic

Ciocniri

Electricitate

Noţiuni de electrostatică

Tensiune, intensitate, rezistenţă

Legea lui Ohm

Gruparea rezistoarelor

Gruparea generatoarelor

Teoremele lui Kirchhoff

Energia şi puterea curentului electric

Măsurări electrice

Efectele curentului electric

Termodinamică

Structura discretă a substanţei

Sisteme termodinamice. Definiţie şi clasificare

Starea sistemului. Parametri de stare

Modelul gazului ideal

Transformările simple ale gazului ideal

Lucrul mecanic

Căldura. Coeficienţi calorici

Principiile Termodinamicii

Aplicarea Principiului I în transformările simple ale gazului ideal

Ciclul Carnot

Ciclul Otto

Ciclul Diesel

Cuprins Mate pentru BAC

Matematica pentru Bacalaureat

1. Mulţimi şi elemente de logică matematică

Mulţimi. Operaţii cu mulţimi

Intervale de numere reale

Propoziţie, predicat, cuantificatori

Metoda reducerii la absurd

Metoda inducţiei matematice

2. Numere reale

Operaţii cu numere reale

Modulul unui număr real

Partea întreagă şi partea fracţionară ale unui număr raţional

Puteri, radicali, logaritmi. Reguli de calcul

3. Numere complexe

Mulţimea numerelor complexe

Forma trigonometrică a unui număr complex

4. Calcul algebric

Formule de calcul prescurtat

Metode de descompunere în factori a expresiilor algebrice

Descompunerea în factori a expresiilor polinomiale de gradul doi sau trei

Descompunerea unei expresii algebrice raţionale într-o sumă de fracţii simple

5. Funcţii, lecturi grafice

Graficul unei funcţii

Imaginea şi preimaginea unei funcţii

Funcţii egale. Restricţii şi prelungiri de funcţii

Compunerea funcţiilor

6. Funcţii elementare

Funcţia de gradul întâi

Funcţia de gradul al doilea

7. Ecuaţii

Ecuaţii. Noţiuni generale

Ecuaţii polinomiale de gradul 1 sau 2. Ecuaţii bipătrate

Ecuaţii polinomiale de grad superior

Ecuaţii iraţionale

Ecuaţii exponenţiale

Ecuaţii logaritmice

Ecuaţii trigonometrice

8. Inecuaţii

9. Metode de numărare

Mulţimi finite ordonate

Permutări. Aranjamente. Combinări

Binomul lui Newton

Probleme de numărare

10. Matematici financiare
11. Permutări 12. Matrice si determinanti

Rangul unei matrice

13. Sisteme de ecuaţii liniare

Studiul compatibilităţii sistemelor de ecuaţii liniare

14. Structuri algebrice

Lege de compoziţie internă, parte stabilă, clase de resturi modulo n

Monoizi, grupuri, morfisme şi izomorfisme de grupuri

Inele, corpuri, morfisme de inele şi de corpuri

15. Polinoame

Soluţiile ecuaţiilor de gradul al doilea şi al treilea. Relaţiile lui Viète

Şirul lui Rolle

16. Şiruri

Calculul sumelor

17. Limite

Limite de şiruri

Limite de funcţii

18. Derivate

Derivata unei funcţii într-un punct

Reguli de derivare

19. Reprezentarea grafică a funcţiilor

Etapele reprezentării grafice a funcţiilor

Asimptote verticale

Asimptote orizontale sau oblice

Rolul primei derivate în studiul funcţiilor

Rolul derivatei a doua în studiul funcţiilor

20. Integrale

Integrale nedefinite

Integrarea prin metoda schimbării de variabilă

Metoda de integrare prin părţi

Integrala definită

21. Vectori

Vectori. Operaţii cu vectori

Vectori în sistemul cartezian

Teorema lui Menelaus. Teorema lui Ceva

22. Noţiuni de geometrie

Lungimea unui segment. Mijlocul segmentului. Centrul de greutate al triunghiului

Ecuaţia dreptei

Drepte paralele. Drepte perpendiculare. Unghiul dintre două drepte

Distanţa de la un punct la o dreaptă. Aria triunghiului când se cunosc coordonatele vârfurilor

23. Trigonometrie

Rezolvarea triunghiului dreptunghic

Cercul trigonometric. Reducerea la primul cadran

Vizualizarea cercului trigonometric

Formule trigonometrice

24. Aplicaţii ale trigonometriei în geometria plană

Teorema sinusurilor. Teorema cosinusului

Aria triunghiului oarecare

Raza cercului înscris. Raza cercului circumscris

Cuprins Mate pentru EN

1. Mulţimi

Definiţii. Notaţii. Apartenenţa. Incluziunea

Operaţii cu mulţimi

Mulţimi de numere

Intervale de numere reale

2. Mulţimea numerelor naturale

Baze de numeraţie

Scrierea şi citirea numerelor naturale în text

Scrierea cu cifre romane

Compararea numerelor naturale. Aproximarea. Calcule estimative

Teorema împărţirii cu rest

Ultima cifră a puterii unui număr natural

Divizibilitate

Numere prime. Numere compuse

Divizori comuni. Multipli comuni

3. Mulţimea numerelor întregi

Reprezentarea numerelor întregi pe axa numerelor. Opusul unui număr întreg

Operaţii cu numere întregi

Divizorii unui număr întreg

4. Mulţimea numerelor raţionale

Fracţii ordinare

Operaţii cu fracţii ordinare

Fracţii zecimale

Mulţimea numerelor raţionale

Partea întreagă. Partea fracţionară

5. Mulţimea numerelor reale

Modulul unui număr real

Aproximări. Rotunjiri.

Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate

Reguli de calcul cu puteri

Reguli de calcul cu radicali

Raţionalizarea numitorilor

6. Medii
7. Rapoarte 8. Proporţii 

Proporţii derivate

Mărimi direct sau invers proporţionale

9. Procente 10. Calcul algebric

Operaţii cu expresii algebrice

Formule de calcul prescurtat

Descompunerea în factori

Expresii algebrice raţionale. Domeniul de definiţie

Simplificarea expresiilor algebrice

11. Ecuaţii şi sisteme de ecuaţii

Ecuaţia de gradul I cu o necunoscută

Ecuaţia de gradul I cu două necunoscute

Sisteme liniare de două ecuaţii cu două necunoscute

Ecuaţia de gradul al II-lea

12. Inecuaţii
13. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor sau al inecuaţiilor 14. Sistemul cartezian

Distanţa între două puncte

Coordonatele mijlocului unui segment

Ecuaţia dreptei care trece prin două puncte date

Intersecţia a două drepte de ecuaţii cunoscute

15. Organizarea datelor, probabilităţi şi elemente de statistică matematică 16. Funcţii

Dependenţe funcţionale. Reprezentare

Funcţia de gradul I (liniară)

Reprezentarea grafică a funcţiei liniare

Câteva tipuri de probleme referitoare la funcţia liniară

17. Măsurare şi măsuri

Lungimi

Arii

Volume

Unghiuri

Timp

Unităţi monetare

18. Noţiuni fundamentale ale geometriei

Punctul

Dreapta

Planul

Poziţiile reative ale unei drepte faţă de un plan

Poziţiile relative a două plane

19. Paralelism şi perpendicularitate

Paralelism şi perpendicularitate în plan

Paralelism şi perpendicularitate în spaţiu

20. Unghiuri
21. Proiecţii 22. Distanţe

Determinarea distanţelor. Teorema celor trei perpendiculare

23. Simetrie 24. Transformări geometrice

Translaţia

Rotaţia

Reprezentarea la scară

25. Triunghiuri

Triunghiul oarecare. Aria, perimetrul.

Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic

Noţiuni de trigonometrie

26. Patrulatere
27. Cercul 28. Poligoane regulate
29. Corpuri geometrice

Piramida

Prisma

Trunchiul de piramidă

Corpuri de rotaţie

Teorema lui Menelaus. Teorema lui Ceva

Fie triunghiul \displaystyle ABC . O dreaptă \displaystyle d , care nu trece prin vârfuri, intersectează laturile \displaystyle \left [AB \right ] , \displaystyle \left [AC \right ] şi prelungirea laturii \displaystyle \left [BC \right ] în punctele \displaystyle {C}' , \displaystyle {B}' , respectiv \displaystyle {A}' . În acest caz, are loc egalitatea

\displaystyle \frac{{A}'B}{{A}'C} \cdot \frac{{B}'C}{{B}'A} \cdot \frac{{C}'A}{{C}'B}=1

Reciproca Teoremei lui Menelaus

Pe laturile \displaystyle \left ( AB \right ) şi \displaystyle \left ( AC \right ) ale triunghiului \displaystyle ABC se iau punctele \displaystyle {C}' şi \displaystyle {B}' , iar pe dreapta \displaystyle BC se ia punctul \displaystyle {A}' , astfel încât \displaystyle C \in \left ( B{A}' \right ) . Dacă are loc egalitatea

\displaystyle \frac{{A}'B}{{A}'C} \cdot \frac{{B}'C}{{B}'A} \cdot \frac{{C}'A}{{C}'B}=1

atunci punctele \displaystyle {A}' , \displaystyle {B}' şi \displaystyle {C}' sunt coliniare.

Teorema lui Ceva

Se consideră triunghiul \displaystyle ABC şi punctele \displaystyle {A}' \in \left ( BC \right ) , \displaystyle {B}' \in \left ( AC \right ) şi \displaystyle {C}' \in \left ( AB \right ) . Dacă dreptele \displaystyle A{A}' , \displaystyle B{B}' şi \displaystyle C{C}' sunt concurente, atunci are loc egalitatea

\displaystyle \frac{{A}'B}{{A}'C} \cdot \frac{{B}'C}{{B}'A} \cdot \frac{{C}'A}{{C}'B}=1

Reciproca Teoremei lui Ceva

Fie triunghiul \displaystyle ABC şi punctele \displaystyle {A}' \in \left ( BC \right ) , \displaystyle {B}' \in \left ( AC \right ) şi \displaystyle {C}' \in \left ( AB \right ) . Dacă are loc egalitatea

\displaystyle \frac{{A}'B}{{A}'C} \cdot \frac{{B}'C}{{B}'A} \cdot \frac{{C}'A}{{C}'B}=1

atunci dreptele \displaystyle A{A}' , \displaystyle B{B}' şi \displaystyle C{C}' sunt concurente.

Vectori în sistemul cartezian

Exprimarea analitică a unui vector în sistemul ortogonal

În sistemul ortogonal \displaystyle xOy se consideră vectorii de lungime egală cu unitatea, \displaystyle \vec{i} şi \displaystyle \vec{j} , ale căror drepte suport sunt axele \displaystyle Ox , respectiv \displaystyle Oy .

Vectorii \displaystyle \vec{i} şi \displaystyle \vec{j} se numesc versori.

Vectorul \displaystyle \vec{v} din planul \displaystyle xOy se poate descompune după direcţiile axelor \displaystyle Ox şi \displaystyle Oy , astfel încât se poate scrie:

\displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}

Numerele \displaystyle v_{x} şi \displaystyle v_{y} se numesc coordonatele vectorului \displaystyle \vec{v} în sistemul cartezian \displaystyle xOy . Vectorul \displaystyle \vec{v} se mai poate scrie \displaystyle \vec{v}\left ( v_{x},v_{y} \right ) .

Lungimea vectorului \displaystyle \vec{v} este:

\displaystyle \left | \vec{v}\, \right |=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}

Doi vectori \displaystyle \vec{u}=u_{x}\vec{i}+u_{y}\vec{j} şi \displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j} sunt egali dacă şi numai dacă au coordonatele egale:

\displaystyle \vec{u}=\vec{v}\; \Leftrightarrow \; u_{x}=v_{x} şi \displaystyle u_{y}=v_{y}

Operaţii cu vectori în sistemul cartezian

Fie vectorii:

\displaystyle \vec{u}=u_{x}\vec{i}+u_{y}\vec{j}

\displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}

Suma, respectiv diferenţa vectorilor \displaystyle \vec{u} şi \displaystyle \vec{v} vor fi:

\displaystyle \vec{u}+\vec{v}=\left ( u_{x}+v_{x} \right )\vec{i}+\left ( u_{y}+v_{y} \right )\vec{j}

\displaystyle \vec{u}-\vec{v}=\left ( u_{x}-v_{x} \right )\vec{i}+\left ( u_{y}-v_{y} \right )\vec{j}

Înmulţirea unui vector cu un scalar:

\displaystyle k\cdot \vec{v}=\left ( kv_{x} \right )\vec{i}+\left ( kv_{y} \right )\vec{j}

Produsul scalar al vectorilor \displaystyle \vec{u} şi \displaystyle \vec{v} :

\displaystyle \vec{u}\cdot \vec{v}=u_{x}\cdot v_{x}+u_{y}\cdot v_{y}

În sistemul cartezian, unghiul format de vectorii \displaystyle \vec{u} şi \displaystyle \vec{v} se poate determina cu relaţia:

\displaystyle \cos \left ( \measuredangle \left ( \vec{u},\vec{v} \right ) \right )=\frac{u_{x}\cdot v_{x}+u_{y}\cdot v_{y}}{\sqrt{u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}\cdot \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}

Vectorul de poziţie al unui punct

Vectorul care uneşte originea sistemului cartezian, \displaystyle O\left ( 0,0 \right ) , cu punctul \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) se numeşte vectorul de poziţie al punctului \displaystyle A .

\displaystyle \overrightarrow{OA}=x_{A}\vec{i}+y_{A}\vec{j}

Dacă \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) şi \displaystyle B\left ( x_{B},y_{B} \right ) sunt două puncte în sistemul cartezian\displaystyle xOy , atunci vectorul \displaystyle \overrightarrow{AB} are coordonatele \displaystyle \left ( x_{B}-x_{A} \right ) , respectiv \displaystyle \left ( y_{B}-y_{A} \right ) :

\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}

\displaystyle \overrightarrow{AB}=\left ( x_{B}-x_{A} \right )\vec{i}+\left ( y_{B}-y_{A} \right )\vec{j}

Lungimea vectorului \displaystyle \overrightarrow{AB} este

\displaystyle \left |\overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{\left ( x_{B}-x_{A} \right )^2+\left ( y_{B}-y_{A} \right )^2}

Coliniaritate. Concurenţă. Paralelism

Doi vectori \displaystyle \vec{u}=u_{x}\vec{i}+u_{y}\vec{j} şi \displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j} sunt coliniari sau paraleli dacă există un număr real \displaystyle \lambda , astfel încât:

\displaystyle \vec{u}=\lambda \cdot \vec{v}

Prin urmare, condiţia de coliniaritate a doi vectori este:

\displaystyle \left.\begin{matrix} u_{x}=\lambda\cdot v_{x}\\ u_{y}=\lambda\cdot v_{y} \end{matrix}\right\} \: \Leftrightarrow \; \frac{u_{x}}{v_{x}}=\frac{u_{y}}{v_{y}}

Trei puncte, \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) , \displaystyle B\left ( x_{B},y_{B} \right ) şi \displaystyle C\left ( x_{C},y_{C} \right ) din sistemul cartezian sunt coliniare dacă vectorii \displaystyle \overrightarrow{AB} şi \displaystyle \overrightarrow{AC} sunt coliniari, respectiv:

\displaystyle \frac{x_{B}-x_{A}}{x_{C}-x_{A}}=\frac{y_{B}-y_{A}}{y_{C}-y_{A}}

Două drepte, \displaystyle AB şi \displaystyle CD , sunt paralele dacă şi numai dacă vectorii \displaystyle \overrightarrow{AB} şi \displaystyle \overrightarrow{CD} sunt paraleli, respectiv dacă există \displaystyle \lambda \in \mathbb{R} , astfel încât \displaystyle \overrightarrow{AB}=\lambda \cdot \overrightarrow{CD} .

Trei drepte, \displaystyle AB , \displaystyle CD şi \displaystyle EF sunt concurente dacă punctul \displaystyle P de intersecţie al dreptelor \displaystyle AB şi \displaystyle CD este situat pe dreapta \displaystyle EF , respectiv dacă vectorii \displaystyle \overrightarrow{EP} şi \displaystyle \overrightarrow{FP} sunt coliniari.

Perpendicularitate

Dacă doi vectori \displaystyle \vec{u}=u_{x}\vec{i}+u_{y}\vec{j} şi \displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j} sunt perpendiculari, atunci produsul lor scalar este nul.

\displaystyle \vec{u}\perp \vec{v}\; \Rightarrow \; \vec{u} \cdot \vec{v}=\left | \vec{u}\, \right | \cdot \left | \vec{v}\, \right | \cdot \cos {\frac{\pi}{2}}=0

Prin urmare, condiţia ca doi vectori să fie perpendiculari esta ca produsul lor scalar să fie egal cu zero.

\displaystyle \vec{u}\perp \vec{v}\; \Leftrightarrow \; u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}=0

Vectori liniari independenţi

Vectorii \displaystyle \vec{v}_{1},\: \vec{v}_{2},\: \ldots, \: \vec{v}_{n} se numesc liniar independenţi dacă:

\displaystyle a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+ \ldots + a_{n}\vec{v}_{n}=0 \;\Leftrightarrow \; a_{1}=a_{2}= \cdots =a_{n}=0

Dacă \displaystyle a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+ \ldots + a_{n}\vec{v}_{n}=0 , iar scalarii \displaystyle a_{1}, \, a_{2}, \, \ldots , \, a_{n} nu sunt toţi nuli, atunci vectorii se numesc liniari dependenţi.

Vectori. Operaţii cu vectori

Segment orientat

Se numeşte vector sau segment orientat o pereche ordonată de puncte \displaystyle \left ( A,B \right ) , care se notează \displaystyle \overrightarrow{AB} . \displaystyle A se numeşte originea vectorului, iar \displaystyle B , extremitatea sa.

Un vector este caracterizat de:

  • mărime (lungime sau modul)
  • direcţie
  • sens

Doi vectori care au aceeaşi lungime, aceeaşi direcţie şi acelaşi sens se numesc echipolenţi sau egali.

Doi vectori se numesc opuşi care au aceeaşi lungime şi aceeaşi direcţie, dar au sensuri opuse.

Operaţii cu vectori

Adunarea vectorilor

Regula paralelogramului Regula triunghiului
Regula poligonului Diferenţa a doi vectori

Descompunerea unui vector după două direcţii date

Pentru a descompune un vector după două direcţii date, se duc paralele la ambele direcţii, atât prin originea vectorului, cât şi prin vârful acestuia, formând astfel un paralelogram.

Compunentele vectorului după cele două direcţii sunt vectorii care au aceeaşi origine cu vectorul dat şi care se suprapun peste laturile paralelogramului.

Înmulţirea unui vector cu un scalar

Prin înmulţirea unui vector cu un scalar, \displaystyle k , se obţine un alt vector, care are aceeaşi direcţie şi acelaşi sens cu vectorul dat, dar are lungimea de \displaystyle k ori mai mare (sau mai mică).

În cazul în care \displaystyle k este negativ, sensul vectorului obţinut se schimbă.

Produsul scalar a doi vectori

Produsul scalar a doi vectori care fac între ei unghiul \displaystyle \alpha este un scalar (un număr), care se poate determina cu formula:

\displaystyle \vec{u}\cdot \vec{v}=\left | \vec{u}\, \right |\cdot \left | \vec{v}\, \right |\cdot \cos \alpha

Unghiul format de vectorii \displaystyle \vec{u} şi \displaystyle \vec{v} se poate determina cu relaţia:

\displaystyle \cos \left ( \measuredangle \left ( \vec{u},\vec{v} \right ) \right )=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left | \vec{u}\, \right |\cdot \left | \vec{v}\, \right | }

Produsul vectorial a doi vectori

Produsul vectorial a doi vectori care fac între ei unghiul \displaystyle \alpha este tot un vector, perpendicular pe planul format de vectorii consideraţi.

Sensul vectorului obţinut este dat de regula mâinii drepte, iar modulul acestuia se poate determina cu formula:

\displaystyle \left | \vec{u}\times \vec{v}\, \right |=\left | \vec{u} \, \right |\cdot \left | \vec{v}\, \right |\cdot \sin \alpha

Produsul vectorial a doi vectori Regula mâinii drepte

 

Ecuaţii polinomiale de gradul 1 sau 2. Ecuaţii bipătrate

Ecuaţiile polinomiale au forma generală

\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0,\; a_{n}\neq 0

în care \displaystyle x este variabila, \displaystyle n\in \mathbb{N}^{*} , iar \displaystyle a_{n},\: a_{n-1},\:\dots a_{2},\:a_{1},\:a_{0} se numesc coeficienţii ecuaţiei.

Dintre coeficienţi, \displaystyle a_{n} este coeficientul dominant, iar \displaystyle a_{0} se numeşte termenul liber.

Gradul ecuaţiei este egal cu exponentul cel mai mare.

O ecuaţie de gradul \displaystyle n are \displaystyle n soluţii, reale sau complexe, care pot fi distincte sau nu.

Ecuaţia de gradul întâi

Ecuaţia de gradul întâi are forma

\displaystyle ax+b=0,\; x\in D\subset \mathbb{R}, \; a,b\in \mathbb{R}

Rezolvarea ecuaţiei de gradul întâi:

  • dacă \displaystyle a\neq 0 , ecuaţia are soluţie unică \displaystyle x=-\frac{b}{a} , respectiv \displaystyle S=\left \{ -\frac{b}{a} \right \}
  • dacă \displaystyle a=0,\: b=0 , ecuaţia are o infinitate de soluţii, iar \displaystyle S=\mathbb{R}
  • dacă \displaystyle a=0,\: b\neq 0 , ecuaţia nu are soluţii, prin urmare \displaystyle S=\varnothing

Exemplu:

Determinaţi valorile parametrului \displaystyle m\in \mathbb{R} , astfel încât ecuaţia următoare să aibă o infinitate de soluţii reale.

\displaystyle mx+4=3\left ( x-1 \right )+2m+1

Se trec toţi termenii în membrul din stânga al ecuaţiei şi se ordonează expresia după puterile lui \displaystyle x :

\displaystyle mx+4-3\left ( x-1 \right )-2m-1=0

\displaystyle mx+4-3x+3-2m-1=0

\displaystyle x\left ( m-3 \right )-2m+6=0

Se observă că se poate da factor comun:

\displaystyle x\left ( m-3 \right )-2\left ( m-3 \right )=0

\displaystyle \left ( m-3 \right )\left ( x-2 \right )=0

Ecuaţia are o infinitate de soluţii reale dacă \displaystyle m-3=0 .

Se obţine \displaystyle m=3 .


Ecuaţia de gradul al doilea

Ecuaţia de gradul al doilea are forma

\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\; a\neq 0

Pentru rezolvarea ecuaţiei se calculează, mai întâi, discriminantul \displaystyle \Delta =b^{2}-4ac .

  • dacă \displaystyle \Delta >0 , ecuaţia are două soluţii reale distincte

\displaystyle x_{1},\: x_{2}\in \mathbb{R}, \; x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}

  • dacă \displaystyle \Delta =0 , ecuaţia are două soluţii reale egale între ele

\displaystyle x_{1},\: x_{2}\in \mathbb{R}, \; x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}

  • dacă \displaystyle \Delta <0 , ecuaţia nu are soluţii reale, ci are două soluţii complexe conjugate

\displaystyle z_{1},\: z_{2}\in \mathbb{C}, \; z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{\left |\Delta \right | }}{2a}


Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia

\displaystyle 2x^{2}-5x+2=0

Se identifică cei trei coeficienţi ai ecuaţiei:

\displaystyle a=2;\; b=-5;\; c=2

Se calculează discriminantul

\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=\left ( -5 \right )^{2}-4\cdot 2\cdot 2=9

\displaystyle \sqrt{\Delta} =3>0

Ecuaţia are două soluţii reale distincte:

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5\pm 3}{4}\: \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=2\\ x_{2}=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.

Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este \displaystyle S=\left \{ \frac{1}{2};\: 2 \right \}


Ecuaţii bipătrate

Se numeşte ecuaţie bipătrată ecuaţia de gradul al patrulea având forma:

\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0,\; a\neq 0

Pentru rezolvarea ecuaţiei se notează \displaystyle x^{2}=t , obţinându-se astfel ecuaţia de gradul al doilea

\displaystyle at^{2}+bt+c=0

cu soluţiile

\displaystyle t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a},\; \Delta =b^{2}-4ac

Pentru fiecare valoare a lui \displaystyle t , se rezolvă ecuaţia \displaystyle x^{2}=t şi se obţin soluţiile ecuaţiei bipătrate:

\displaystyle x_{1,2}=\pm \sqrt{t_{1}}

\displaystyle x_{3,4}=\pm \sqrt{t_{2}}


Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia:

\displaystyle x^{4}+4x^{2}-5=0

Se notează \displaystyle x^{2}=t şi se obţine ecuaţia de gradul al doilea

\displaystyle t^{2}+4t-5=0

cu soluţiile \displaystyle t_{1}=1 şi \displaystyle t_{2}=-5 .

În concluzie, ecuaţia dată are două soluţii reale \displaystyle x_{1,2}\in \mathbb{R} ,

\displaystyle x_{1,2}=\pm \sqrt{1}\: \Rightarrow \: x_{1,2}=\pm 1

şi două soluţii complexe \displaystyle x_{3,4}\in \mathbb{C} :

\displaystyle x_{3,4}=\pm \sqrt{-5}\: \Rightarrow \: x_{3,4}=\pm i\sqrt{5} , unde  \displaystyle i=\sqrt{-1}