Simplificarea expresiilor algebrice

Pentru calculele cu rapoarte algebrice trebuie respectate aceleaşi reguli ca şi în cazul fracţiilor ordinare.

  • Adunarea rapoartelor algebrice se poate face numai dacă au acelaşi numitor. Dacă rapoartele algebrice au numitori diferiţi, se află numitorul comun, apoi rapoartele se aduc la acelaşi numitor prin amplificare.
  • Produsul a două rapoarte algebrice este egal cu produsul numărătorilor supra produsul numitorilor.
  • Împărţirea la un raport algebric se efectuează prin înmulţirea cu raportul inversat.
  • Pentru a ridica la putere un raport algebric, se ridică la aceeaşi putere, separat, atât numărătorul, cât şi numitorul.
  • Întotdeauna trebuie respectată ordinea efectuării operaţiilor.

 

Exemplu:

Să se aducă la forma cea mai simplă expresia

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( \frac{2x^{2}-7x-17}{x^{2}-10x+21}-\frac{x+1}{x-7} \right ):\frac{1}{x^{2}-9}

Mai întâi se descompun în factori toate elementele expresiei care se pot descompune.

\displaystyle \begin{aligned} x^{2}-10x+21 &=x^{2}-3x-7x+21 \\ &=x\left ( x-3 \right )-7\left ( x-3 \right ) \\ &=\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right ) \end{aligned}

\displaystyle x^{2}-9=\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )

Expresia devine:

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( \frac{2x^{2}-7x-17}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}-\frac{x+1}{x-7} \right ):\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

Se efectuează calculul din paranteză, aducând rapoartele la acelaşi numitor:

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( \frac{2x^{2}-7x-17}{\left ( x-3 \right ) \left ( x-7 \right )} - \begin{matrix} ^{\left . x-3 \right )}\\ { } \end{matrix} \frac{x+1}{x-7} \right ):\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{2x^{2}-7x-17-\left ( x-3 \right )\left ( x+1 \right )}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}:\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

Se efectuează calculele de la numărătorul primului raport şi se reduc termenii asemenea:

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{2x^{2}-7x-17-x^{2}+3x-x+3}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}:\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{x^{2}-5x-14}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}:\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

Se observă că numărătorul primului raport se poate descompune în factori:

\displaystyle \begin{aligned} x^{2}-5x-14 &=x^{2}-7x+2x-14 \\ &=x\left ( x-7 \right )+2\left ( x-7 \right ) \\ &=\left ( x-7 \right ) \left ( x+2 \right ) \end{aligned}

Se înlocuieşte numărătorul primului raport cu descompunerea sa în factori, iar pentru a efectua împărţirea, se înmulţeşte primul raport cu inversul celui de-al doilea:

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{\left ( x-7 \right )\left ( x+2 \right )}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}\cdot \left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )

După efectuarea tuturor simplificărilor, se obţine:

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( x+2 \right )\left ( x+3 \right )

Expresii algebrice raţionale. Domeniul de definiţie

Un raport în care termenii sunt expresii algebrice se numeşte expresie algebrică raţională sau raport algebric.

Este posibil ca pentru anumite valori ale necunoscutelor numitorul să devină egal cu zero. Se spune ca raportul nu are sens sau nu este bine definit pentru valorile respective.

Se numeşte domeniu de definiţie al expresiei algebrice mulţimea tuturor valorilor necunoscutelor pentru care expresia are sens.

Exemplu:

Fie expresia \displaystyle E\left ( x \right )=\frac{x\left ( x+5 \right )}{x^{3}+5x^{2}+6x} .

Pentru ca expresia \displaystyle E\left ( x \right ) să aibă sens, trebuie ca numitorul acesteia să fie diferit de zero.

\displaystyle x^{3}+5x^{2}+6x\neq 0

Se descompune numitorul în factori ireductibili:

\displaystyle \begin{aligned} x^{3}+5x^{2}+6x &= x\left ( x^{2}+5x+6 \right )\\ &=x\left ( x^{2}+2x+3x+6 \right ) \\ &=x\left [ x\left ( x+2 \right ) +3\left ( x+2 \right ) \right ] \\ &=x\left ( x+2 \right ) \left ( x+3 \right ) \end{aligned}

Pentru ca numitorul să fie diferit de zero, toţi factorii acestuia trebuie să fie diferiţi de zero. Se obţine:

\displaystyle x\neq 0

\displaystyle x+2\neq 0\: \Rightarrow \: x\neq -2

\displaystyle x+3\neq 0\: \Rightarrow \: x\neq -3

Prin urmare, expresia are sens dacă

\displaystyle x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ -3;\: -2;\: 0 \right \}

Cu alte cuvinte, domeniul de definiţie al expresiei \displaystyle E\left ( x \right ) este mulţimea

\displaystyle D= \mathbb{R}\setminus \left \{ -3;\: -2;\: 0 \right \}

Determinarea distanţelor. Teorema celor trei perpendiculare.

Distanţa de la un punct la o dreaptă este egală cu lungimea segmentului care uneşte punctul cu piciorul perpendicularei duse din punct pe dreaptă.

Distanţa de la un punct la un plan este egală cu lungimea segmentului care uneşte punctul cu piciorul perpendicularei duse din punct pe plan.

Determinarea distanţei de la un punct la o dreaptă în spaţiu

Fie dreapta \displaystyle AB inclusă în planul \displaystyle \alpha şi un punct \displaystyle P situat în exteriorul planului \displaystyle \alpha .

Pentru a găsi distanţa de la punctul \displaystyle P la dreapta \displaystyle AB :

\displaystyle 1^{\circ} Ducem perpendiculara din punctul \displaystyle P pe planul \displaystyle \alpha . Fie \displaystyle Q punctul în care prima perpendiculară înţeapă planul.

\displaystyle 2^{\circ} Din punctul \displaystyle Q ducem a doua perpendiculară, pe dreapta \displaystyle AB , în punctul \displaystyle R .

\displaystyle 3^{\circ} Unim punctul \displaystyle P cu punctul \displaystyle R .

Dreapta \displaystyle PR este perpendiculară pe dreapta \displaystyle AB , iar distanţa de la punctul \displaystyle P la dreapta \displaystyle AB este egală cu lungimea segmentului \displaystyle PR .

\displaystyle \left.\begin{matrix} AB\subset \alpha \\ PQ\perp \alpha \\ QR\perp AB \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: PR\perp AB\: \Rightarrow \: d\left ( P,\: AB \right )=PR

Determinarea distanţei de la un punct la un plan

Fie planul \displaystyle \left ( PAB \right ) şi planul \displaystyle \alpha , secante, a căror intersecţie este dreapta \displaystyle AB . Punctul \displaystyle Q este inclus în planul \displaystyle \alpha .

Pentru a găsi distanţa de la punctul \displaystyle Q la planul \displaystyle \left ( PAB \right ) :

\displaystyle 1^{\circ} Ducem perpendiculara din \displaystyle Q pe dreapta \displaystyle AB . Fie \displaystyle R piciorul acestei perpendiculare.

\displaystyle 2^{\circ} Din \displaystyle R ridicăm a doua perpendiculară pe dreapta \displaystyle AB , astfel încât aceasta să fie inclusă în planul \displaystyle \left ( PAB \right ) . Presupunem că perpendiculara ridicată este \displaystyle PR .

\displaystyle 3^{\circ} Ducem o perpendiculară din \displaystyle Q pe dreapta \displaystyle PR . Fie \displaystyle T piciorul perpendicularei duse din \displaystyle Q pe dreapta \displaystyle PR .

Dreapta \displaystyle QT este perpendiculară pe planul \displaystyle \left ( PAB \right ) , iar distanţa de la punctul \displaystyle Q la planul \displaystyle \left ( PAB \right ) este egală cu lungimea segmentului \displaystyle QT .

\displaystyle \left.\begin{matrix} AB\subset \alpha \\ QR\perp AB\\ PR\perp AB\\ QT\perp PR \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: QT\perp \left ( PAB \right )\: \Rightarrow \: d\left ( Q,\: \left ( PAB \right ) \right )=QT

Partea întreagă. Partea fracţionară

Partea întreagă a unui număr raţional este cel mai mare număr întreg, mai mic sau egal cu numărul dat.

Partea întreagă a numărului raţional \displaystyle q se notează \displaystyle \left [ q \right ] .

Situând numărul \displaystyle q între două numere întregi consecutive, \displaystyle k\leq q<k+1 , cu \displaystyle k\in \mathbb{Z} , se obţine \displaystyle \left [ q \right ]=k

Partea fracţionară a numărului \displaystyle q este diferenţa dintre numărul dat şi partea lui întreagă. Se notează \displaystyle \left \{ q \right \} .

\displaystyle \left \{ q \right \}=q-\left [ q \right ]

Exemple:

  • Partea întreagă şi partea fracţionară în cazul unui număr pozitiv

  • Partea întreagă şi partea fracţionară în cazul unui număr negativ

Mulţimea numerelor raţionale

Mulţimea tuturor numerelor care pot fi scrise sub formă de fracţie ordinară sau zecimală se numeşte mulţimea numerelor raţionale \displaystyle \mathbb{Q} („fracţie” = „raţie”).

\displaystyle \mathbb{Q}=\left \{ \left.\begin{matrix} \frac{a}{b} \: \end{matrix}\right| \: a,b\in \mathbb{Z},\: b\neq 0 \right \}

Numărul raţional \displaystyle \frac{a}{b} este număr întreg dacă şi numai dacă \displaystyle a este divizibil cu \displaystyle b .

\displaystyle \frac{a}{b}\in \mathbb{Z}\: \Leftrightarrow \: a \: \vdots \: b

Orice număr întreg este număr raţional, deoarece se poate scrie ca fracţie cu numitorul egal cu \displaystyle 1 .

Pentru efectuarea calculelor cu numere raţionale se respectă atât regulile de la calculul cu fracţii, cât şi regulile de la calculul cu numere întregi.

Inversul numărului \displaystyle a este numărul \displaystyle \frac{1}{a} sau \displaystyle a^{-1} .

Fracţii zecimale

Scrierea unei fracţii sub formă zecimală

O fracţie ordinară  \displaystyle \frac{a}{b} se poate scrie sub formă de fracţie zecimală împărţind numărătorul la numitor.

Fracţia zecimală este finită dacă numitorul conţine doar factorii \displaystyle 2 şi/sau \displaystyle 5 .

Fracţia zecimală este periodică simplă dacă numitorul conţine alţi factori decât \displaystyle 2 sau \displaystyle 5 .

Fracţia zecimală este periodică mixtă dacă numitorul conţine atât factorii \displaystyle 2 şi/sau \displaystyle 5 , cât şi alţi factori.

Transformarea fracţiilor zecimale finite

Pentru a transforma o fracţie zecimală finită, se scrie la numărător numărul dat, fără virgulă, iar la numitor \displaystyle 10 la o putere egală cu numărul de zecimale al fracţiei date (respectiv \displaystyle 1 urmat de atâtea zerouri câte zecimale are numărul dat).

Exemplu:

\displaystyle 32,\underbrace {437}_{3 \: \textrm{cifre}}=\frac{32437}{10^{3}}=\frac{32437}{\underbrace {1000}_{\substack {1\, \textrm{urmat\, de} \\ 3\, \textrm{zerouri}}}}

Transformarea fracţiilor periodice simple

Pentru a transforma o fracţie zecimală periodică simplă, se scrie la numărător diferenţa dintre numărul dat, scris fără virgulă, şi numărul format din cifrele situate în afara perioadei, iar la numitor atâtea cifre de \displaystyle 9 câte cifre are perioada.

Exemplu:

\displaystyle 7,\underbrace {\left (16 \right )}_{2 \: \textrm{cifre}}=\frac{716-7}{\underbrace {99}_{\substack {2\, \textrm{cifre} \\ \textrm{de}\, 9}}}

Transformarea fracţiilor periodice mixte

Pentru a transforma o fracţie zecimală periodică mixtă, se scrie la numărător diferenţa dintre numărul dat, scris fără virgulă, şi numărul format din cifrele situate în afara perioadei, iar la numitor atâtea cifre de \displaystyle 9 câte cifre are perioada, urmate de atâtea zerouri câte cifre sunt între perioadă şi virgulă.

Exemplu:

\displaystyle 4,\underbrace {521}_{3 \, \textrm{cifre}}\underbrace {\left (16 \right )}_{2 \, \textrm{cifre}}=\frac{452116-4521}{\underbrace {99000}_{\substack {2\, \textrm{cifre de} \, 9\\ \textrm{si} \, 3 \, \textrm{zerouri}}}}

Aproximarea fracţiilor zecimale

O fracţie zecimală se poate scrie, utilizând puterile lui \displaystyle 10 , astfel:

\displaystyle \overline {abcd,efg \ldots}=1000a+100b+10c+d+\frac{e}{10}+\frac{f}{100}+\frac{g}{1000}+\cdots

respectiv

\displaystyle \overline {abcd,efg \ldots}=a\cdot 10^{3}+b\cdot 10^{2}+c\cdot 10+d+e\cdot 10^{-1}+f\cdot 10^{-2}+g\cdot 10^{-3}+\cdots

Pentru a rotunji o fracţie zecimală se observă prima cifră din dreapta celei la care se face rotunjirea:

  • dacă aceasta are valoarea \displaystyle 0,\: 1,\: 2,\: 3,\: 4 , aproximarea se face prin lipsă, iar cifra care se păstrează rămâne nemodificată;
  • dacă aceasta are valoarea \displaystyle 5,\: 6,\: 7,\: 8,\: 9 , aproximarea se face prin adaos, iar cifra care se păstrează se măreşte cu \displaystyle 1 .

 

Compararea fracţiilor zecimale

Pentru a compara două fracţii zecimale, acestea se aliniază, la virgulă, una sub alta. Apoi se parcurg cifrele, poziţie cu poziţie, de la stânga la dreapta. La prima poziţie găsită care prezintă cifre diferite, cifra mai mare aparţine numărului mai mare.

Operaţii cu fracţii ordinare

a) Adunarea şi scăderea fracţiilor ordinare

Dacă fracţiile au acelaşi numitor, acesta se păstrează, iar operaţiile de adunare şi scădere se efectuează numai între numărători:

\displaystyle \frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}

\displaystyle \frac{a}{n}-\frac{b}{n}=\frac{a-b}{n}

Dacă fracţiile nu au acelaşi numitor, atunci adunarea sau scăderea se pot efectua numai după aducerea fracţiilor la acelaşi numitor.

Numitorul comun al două sau mai multe fracţii este cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c) al numitorilor. După aflarea numitorului comun, se aduc fracţiile la acelaşi numitor prin amplificări corespunzătoare.

După efectuarea operaţiilor, se simplifică fracţia rezultată, dacă este reductibilă, astfel încât să se obţină o fracţie ireductibilă.

b) Înmulţirea şi împărţirea fracţiilor ordinare

Înmulţirea unei fracţii cu un întreg presupune înmulţirea numai a numărătorului cu întregul respectiv:

\displaystyle \frac{a}{b}\cdot n=\frac{a\cdot n}{b}

Pentru înmulţirea a două fracţii, se îmulţesc numărătorii între ei şi numitorii între ei.

\displaystyle \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}

Înainte de a efectua înmulţirea, se recomandă simplificarea oricărui factor de la numărător cu orice factor de la numitor, atâta timp cât aceştia au divizori comuni.

Împărţirea a două fracţii înseamnă înmulţirea primei fracţii cu inversa celei de-a doua.

\displaystyle \frac{a}{b}: \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}

c) Ridicarea la putere a unei fracţii

Pentru a ridica o fracţie la o putere, se ridică la putere, separat, atât numărătorul, cât şi numitorul.

\displaystyle \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}

Puterea negativă inversează fracţia:

\displaystyle \left ( \frac{a}{b} \right )^{-1}=\frac{b}{a}

\displaystyle \left ( \frac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \frac{b}{a} \right )^{n}

d) Aflarea unei fracţii dintr-un număr

Pentru a afla o fracţie dintr-un număr, se înmulţeşte fracţia cu numărul respectiv („din” = înmulţire).

\displaystyle \frac{a}{b}   din  \displaystyle n ” se scrie matematic \displaystyle \frac{a}{b}\cdot n

Procentul se exprimă sub forma unei fracţii cu numitorul \displaystyle 100 .

\displaystyle p \%   din  \displaystyle n ” se scrie matematic \displaystyle \frac{p}{100}\cdot n

Formule utile

\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n\left ( n+1 \right )}

\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}=\frac{k}{n\left ( n+1 \right )}

Fracţii ordinare

O pereche de numere naturale \displaystyle \left ( a, b \right ),\: b\neq 0 , scrisă sub forma \displaystyle \frac{a}{b} , se numeşte fracţie. Fracţia ordinară \displaystyle \frac{a}{b}=a:b poate fi considerată un cât neefectuat.

Numitorul \displaystyle b,\: b\neq 0 , arată în câte părţi egale a fost împărţit întregul, iar numărătorul \displaystyle a , câte părţi s-au luat în considerare.

O fracţie \displaystyle \frac{a}{b} se numeşte subunitară dacă este mai mică decât un întreg. În acest caz, numărătorul este mai mic decât numitorul.

\displaystyle \frac{a}{b}< 1\: \Leftrightarrow \: a< b

O fracţie \displaystyle \frac{a}{b} se numeşte echiunitară dacă este egală cu un întreg. În acest caz, numărătorul este egal cu numitorul.

\displaystyle \frac{a}{b}= 1\: \Leftrightarrow \: a= b

O fracţie \displaystyle \frac{a}{b} se numeşte supraunitară dacă este mai mare decât un întreg. În acest caz, numărătorul este mai mare decât numitorul.

\displaystyle \frac{a}{b}> 1\: \Leftrightarrow \: a> b

Scoaterea întregilor din fracţia supraunitară

Fie fracţia supraunitară

\displaystyle \frac{a}{b}> 1

Pentru a scoate întregii din fracţie se împarte numărătorul la numitor cu rest:

\displaystyle a:b=c\: \textrm{rest}\: r

Scriind \displaystyle a=b\cdot c+r , se obţine

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{b\cdot c+r}{b}=\frac{b\cdot c}{b}+\frac{r}{b}=c+\frac{r}{b}

Prin urmare, se scrie:

\displaystyle \frac{a}{b}=c\frac{r}{b}

Introducerea întregilor în fracţie

Pentru a introduce întregii în fracţie, se înmulţesc întregii cu numitorul, apoi la rezultatul obţinut se adaugă numărătorul.

\displaystyle c\frac{r}{b}=\frac{c\cdot b+r}{b}=\frac{a}{b}

Fracţii echivalente

Două fracţii se numesc echivalente (egale) dacă reprezintă aceeaşi parte dintr-un întreg.

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}    dacă   \displaystyle a\cdot d=b\cdot c

Se pot obţine fracţii echivalente prin amplificare sau prin simplificare.

Pentru a amplifica o fracţie, se înmulţesc, atât numărătorul, cât şi numitorul, cu acelaşi număr.

\displaystyle \begin{matrix} ^{\left . n \right )}\\ { } \end{matrix}\frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b\cdot n}

Pentru a simplifica o fracţie, se împart, dacă este posibil, atât numărătorul, cât şi numitorul, la acelaşi număr.

\displaystyle \frac{a}{b} \begin{matrix} ^{\left ( n \right .}\\ { } \end{matrix}=\frac{a : n}{b : n}

Fracţia care poate fi simplificată se numeşte reductibilă. Numărătorul şi numitorul au cel puţin un divizor comun.

În caz contrar, fracţia se numeşte ireductibilă, iar numărătorul şi numitorul sunt prime între ele, \displaystyle \left ( a,b \right )=1 .

Compararea fracţiilor ordinare

Dacă două fracţii au acelaşi numitor, este mai mare cea cu numărătorul mai mare.

Dacă două fracţii au acelaşi numărător, este mai mare cea cu numitorul mai mic.

Dacă fracţiile au şi numărătorul şi numitorul diferite, se efectuează produsele pe diagonală:

\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d} dacă \displaystyle a\cdot d<b\cdot c

\displaystyle \frac{a}{b}>\frac{c}{d} dacă \displaystyle a\cdot d>b\cdot c

Prisma

Prisma este corpul geometric alcătuit din feţe plane, care are două dintre feţe, numite baze, reprezentate de două poligoane convexe, paralele şi congruente.

Muchiile laterale sunt, de asemenea, paralele şi congruente. Feţele laterale sunt paralelograme sau dreptunghiuri.

Piramida se notează începând cu baza inferioară, apoi se continuă cu baza superioară. Vârfurile de la care începe notarea trebuie să fie pe aceeaşi muchie laterală, iar sensul de parcurs trebuie să fie acelaşi la ambele baze.

Prisma se numeşte regulată dacă poligonul de la bază este un poligon regulat (cu toate muchiile egale între ele).

Prisma se numeşte regulată dreaptă, dacă muchiile laterale sunt perpendiculare pe planurile bazelor, astfel încât toate feţele laterale sunt dreptunghiuri. În caz contrar, prisma se numeşte oblică.

Cubul

Cubul are douăsprezece muchii congruente şi şase feţe care sunt pătrate congruente. Oricare dintre feţe poate fi considerată bază.

Dacă lungimea unei muchii este egală cu \displaystyle l , atunci cubul are:

Aria unei feţe:

\displaystyle \textsl{A}_{f}=l^{2}

Diagonala feţei:

\displaystyle d=l\sqrt{2}

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=4l^{2}

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=6l^{2}

Diagonala cubului:

\displaystyle d_{cub}=l\sqrt{3}

Volumul cubului:

\displaystyle \textsl{V}=l^{3}

Paralelipipedul dreptunghic

Feţele paralelipipedului dreptunghic sunt dreptunghiuri. Feţele opuse sunt congruente, două câte două. Oricare dintre feţe poate fi considerată bază.

Muchiile paralelipipedului sunt congruente patru câte patru.

Paralelipipedul are trei dimensiuni. Numim dimensiunile bazei, cea mai mare lungimea \displaystyle L , iar cea mai mică lăţimea \displaystyle l . Cea de-a treia dimensiune este înălţimea \displaystyle h .

Formulele paralelipipedului dreptunghic:

Aria bazei:

\displaystyle \textsl{A}_{b}=L\cdot l

Diagonala bazei:

\displaystyle d=\sqrt{L^{2}+l^{2}}

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=2\left ( Lh+lh \right )=2\left ( L+l \right )\cdot h=\textsl{P}_{b}\cdot h

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=2\left ( Ll+Lh+lh \right )

Diagonala paralelipipedului:

\displaystyle d_{paralelipiped}=\sqrt{L^{2}+l^{2}+h^{2}}

Volumul paralelipipedului:

\displaystyle \textsl{V}=L\cdot l\cdot h

Prisma triunghiulară regulată dreaptă

Bazele prismei sunt triunghiuri echilaterale. Feţele laterale sunt dreptunghiuri congruente.

Formulele de calcul ale prismei triunghiulare regulate:

Perimetrul bazei:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=3l

Înălţimea bazei:

\displaystyle h=\frac{l\sqrt{3}}{2}

Raza cercului circumscris bazei:

\displaystyle R= \frac{2}{3}\cdot h=\frac{l\sqrt{3}}{3}

Apotema bazei:

\displaystyle a_{b}= \frac{1}{3}\cdot h=\frac{l\sqrt{3}}{6}

Aria bazei:

\displaystyle \textsl{A}_{b}= \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Aria unei feţe laterale:

\displaystyle \textsl{A}_{f}=l\cdot h

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=3\cdot \textsl{A}_{f}=3l\cdot h=\textsl{P}_{b}\cdot h

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+2\cdot \textsl{A}_{b}

Volumul prismei:

\displaystyle \textsl{V}=\textsl{A}_{b}\cdot h

Prisma patrulateră regulată dreaptă

Baza prismei este un pătrat. Feţele laterale sunt dreptunghiuri congruente.

Formulele de calcul ale prismei patrulatere regulate:

Perimetrul bazei:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=4l

Diagonala bazei:

\displaystyle d=l\sqrt{2}

Raza cercului circumscris bazei:

\displaystyle R=\frac{d}{2}=\frac{l\sqrt{2}}{2}

Apotema bazei:

\displaystyle a_{b}=\frac{l}{2}

Aria bazei:

\displaystyle \textsl{A}_{b}=l^{2}=\frac{d^{2}}{2}

Aria unei feţe laterale:

\displaystyle \textsl{A}_{f}=l\cdot h

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=4\cdot \textsl{A}_{f}=4l\cdot h=\textsl{P}_{b}\cdot h

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+2\cdot \textsl{A}_{b}

Volumul prismei:

\displaystyle \textsl{V}=\textsl{A}_{b}\cdot h

Prisma hexagonală regulată dreaptă

Baza prismei este un hexagon regulat. Feţele laterale sunt dreptunghiuri congruente.

Formulele de calcul ale prismei hexagonale regulate:

Perimetrul bazei:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=6l

Diagonala mare a bazei:

\displaystyle D=2l

Diagonala mică a bazei:

\displaystyle d=l\sqrt{3}

Raza cercului circumscris bazei:

\displaystyle R=l

Apotema bazei:

\displaystyle a_{b}=\frac{l \sqrt{3}}{2}

Aria bazei:

\displaystyle \textsl{A}_{b}=6\cdot \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}}{2}

Aria unei feţe laterale:

\displaystyle \textsl{A}_{f}=l\cdot h

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=6\cdot \textsl{A}_{f}=6l\cdot h=\textsl{P}_{b}\cdot h

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+2\cdot \textsl{A}_{b}

Volumul prismei:

\displaystyle \textsl{V}=\textsl{A}_{b}\cdot h

Paralelism şi perpendicularitate în spaţiu

Unghiul a două drepte necoplanare

Pentru a găsi măsura unghiului dintre două drepte necoplanare, trebuie să găsim sau să construim o paralelă la una dintre drepte, care să intersecteze cealaltă dreaptă.

\displaystyle e \parallel d_{1}\: \Rightarrow \: m\left ( \measuredangle \left ( d_{1},d_{2} \right ) \right )=m\left ( \measuredangle \left ( e,d_{2} \right ) \right )

O altă posibilitate este să găsim sau să construim paralele la ambele drepte care să treacă prin acelaşi punct.

\displaystyle \left.\begin{matrix} e\parallel d_{1}\\ f\parallel d_{2}\\ e\cap f=\left \{ O \right \} \end{matrix}\right\} \Rightarrow m\left ( \measuredangle \left ( d_{1},d_{2} \right ) \right )=m\left ( \measuredangle \left ( e,f \right ) \right )

Unghiul dintre o dreaptă şi un plan

Unghiul dintre o dreaptă şi un plan este unghiul dintre dreaptă şi proiecţia ei pe plan.

\displaystyle pr_{\alpha }AB=A'B' \Rightarrow m\left ( \measuredangle \left ( AB,\alpha \right ) \right )=m\left ( \measuredangle \left ( AB,A'B' \right ) \right )=m\left ( \measuredangle BAB' \right )

Proiecţia ortogonală a unui punct pe plan este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe plan.

Pentru a găsi proiecţia unei drepte este suficient să găsim proiecţiile pe plan a două puncte aparţinând dreptei.

Dreapta paralelă cu un plan

O dreaptă este paralelă cu un plan, dacă este paralelă cu o altă dreaptă, conţinută în acel plan.

\displaystyle \left.\begin{matrix} AB\parallel A'B'\\ A'B'\subset \alpha \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: AB\parallel \alpha

Dreapta perpendiculară pe un plan

O dreaptă este perpendiculară pe un plan, dacă este perpendiculară pe două drepte concurente conţinute în acel plan.

\displaystyle \left.\begin{matrix} d\perp e\\ d\perp f\\ e,f\subset \alpha ,\: e \nparallel f \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: d\perp \alpha

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci ea este perpendiculară pe orice dreaptă inclusă în acel plan.

Plane paralele

Două plane sunt paralele, dacă unul dintre ele conţine două drepte concurente, ambele paralele cu cel de-al doilea plan.

Se demonstrează, mai întăi, paralelismul fiecărei drepte:

\displaystyle \left.\begin{matrix} AB\subset \alpha \\ AB\parallel A'B'\\ A'B'\subset \beta \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: AB\parallel \beta

\displaystyle \left.\begin{matrix} CD\subset \alpha \\ CD\parallel C'D'\\ C'D'\subset \beta \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: CD\parallel \beta

Apoi,

\displaystyle \left.\begin{matrix} AB,CD\subset \alpha \\ AB\parallel \beta \\ CD\parallel \beta \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: \alpha \parallel \beta

Plane perpendiculare

Un plan este perpendicular pe un alt plan, dacă include o dreaptă perpendiculară pe acel plan.

\displaystyle \left.\begin{matrix} d\perp \alpha \\ d\subset \beta \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: \beta \perp \alpha

Unghiul a două plane

Unghiul a două plane (unghiul diedru) este unghiul format de două drepte, conţinute respectiv în cele două plane, care sunt perpendiculare, în acelaşi punct, pe muchia comună.

\displaystyle \left.\begin{matrix} \alpha \cap \beta =d \\ d_{1}\subset \beta;\: d_{1}\perp d\\ d_{2}\subset \alpha;\: d_{2}\perp d \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: m\left ( \measuredangle \left ( \alpha ,\beta \right ) \right )=m\left ( \measuredangle \left ( d_{1},d_{2} \right ) \right )

Teorema „fierăstrăului”

Dacă două plane paralele sunt intersectate („tăiate”) de un al treilea plan, atunci dreptele de intersecţie sunt paralele.

\displaystyle \left.\begin{matrix} \alpha \parallel \beta\\ \alpha \cap \gamma =d_{1}\\ \beta \cap \gamma =d_{2} \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: d_{1}\parallel d_{2}

Teorema „acoperişului”

Dacă două drepte sunt paralele și se află în două plane secante, atunci ele sunt paralele cu dreapta de intersecţie a celor două plane.

\displaystyle \left.\begin{matrix} d_{1}\subset \alpha\\ d_{2}\subset \beta \\ d_{1}\parallel d_{2}\\ \alpha \cap \beta =d \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: d_{1}\parallel d_{2}\parallel d