Poligoane regulate

Poligonul convex cu toate laturile şi toate unghiurile congruente se numeşte poligon regulat.

Oricărui poligon regulat i se poate circumscrie un cerc. Se notează raza cercului circumscris cu \displaystyle R .

În orice poligon regulat se poate înscrie un cerc. Raza cercului înscris în poligonul regulat se mai numeşte apotemă. Se notează cu \displaystyle r sau cu \displaystyle a . Prin urmare, apotema se mai poate defini ca fiind segmentul care porneşte din centrul poligonului şi este perpendicular pe o latură.

Centrul cercului înscris şi centrul cercului circumscris coincid. Punctul respectiv se numeşte centrul poligonului şi se notează, de obicei, cu \displaystyle O

Triunghiul echilateral

Măsura unghiurilor: \displaystyle u^{\circ}=60^{\circ}
Latura în funcţie de raza cercului circumscris: \displaystyle l=R\sqrt{3}
Raza cercului circumscris în funcţie de latură: \displaystyle R=\frac{2}{3}\cdot h=\frac{l\sqrt{3}}{3}
Apotema: \displaystyle a=\frac{R}{2}=\frac{1}{3}\cdot h=\frac{l\sqrt{3}}{6}
Înălţimea:

\displaystyle h=R+a

\displaystyle h=\frac{3}{2}\cdot R=\frac{l\sqrt{3}}{2}

Perimetrul: \displaystyle P=3l=3R\sqrt{3}
Aria: \displaystyle A=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3R^{2}\sqrt{3}}{4}

Pătratul

Măsura unghiurilor: \displaystyle u^{\circ}=90^{\circ}
Latura în funcţie de raza cercului circumscris: \displaystyle l=R\sqrt{2}
Raza cercului circumscris în funcţie de latură: \displaystyle R=\frac{l\sqrt{2}}{2}
Apotema: \displaystyle a=\frac{l}{2}=\frac{R\sqrt{2}}{2}
Diagonala: \displaystyle d=2R=l\sqrt{2}
Perimetrul: \displaystyle P=4l=4R\sqrt{2}
Aria: \displaystyle A=l^{2}=\frac{d^{2}}{2}=2R^{2}

Hexagonul regulat

Măsura unghiurilor: \displaystyle u^{\circ}=120^{\circ}
Latura hexagonului regulat este egală cu raza cercului circumscris: \displaystyle l=R
Apotema: \displaystyle a=\frac{l\sqrt{3}}{2}
Diagonala mică: \displaystyle d=2a=l\sqrt{3}
Diagonala mare: \displaystyle D=2R
Perimetrul: \displaystyle P=6l
Aria: \displaystyle A=6\cdot \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3R^{2}\sqrt{3}}{2}

 

Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor sau al inecuaţiilor

Pentru a rezolva o problemă prin metoda algebrică se recomandă următorii paşi:

1˚ Citeşte cu atenţie problema şi asigură-te că ai înţeles, în întregime, textul problemei. Dacă întâlneşti cuvinte pe care nu le ştii, caută înţelesul acestora în dicţionar sau pe net.

2˚ Stabileşte care este mărimea necunoscută. De obicei, găseşti necunoscuta în întrebarea problemei.

3˚ Notează necunoscuta cu o literă.

4˚ Împarte textul în propoziţii simple şi găseşte relaţiile dintre celelate mărimi cunoscute menţionate în text şi mărimea necunoscută.

5˚ Scrie aceste relaţii sub formă matematică pentru a obţine ecuaţia problemei.

6˚ Rezolvă ecuaţia şi află necunoscuta.

7˚ Verifică dacă valoarea obţinută are sens (Fă proba!).

8˚ Răspunde la întrebare printr-o propoziţie scurtă.

 

În tabelul de mai jos sunt incluse cele mai des întâlnite expresii din enunţurile problemelor şi scrierea lor matematică:

 

Expresia: se scrie:

a este egal cu b

a reprezintă b

a costă b

\displaystyle a=b
a este diferit de b \displaystyle a\neq b
a este aproximativ egal cu b \displaystyle a\cong b
a este mult mai mic decât b \displaystyle a\ll b
a este mult mai mare decât b \displaystyle a\gg b

suma dintre a şi b

se adaugă (se adună) a la b

este mai mare cu a decât b

a este majorat cu b

\displaystyle a+b

diferenţa dintre a şi b

se scade b din a

este mai mic cu b decât a

a este redus cu b

\displaystyle a-b

produsul dintre a şi b

este mai mare de b ori decât a

\displaystyle a\times b    sau   \displaystyle a\cdot b    sau   \displaystyle ab

câtul dintre a şi b

raportul dintre a şi b

este mai mic de b ori decât a

\displaystyle a\, :\, b    sau   \displaystyle \frac{a}{b}
dublul lui a \displaystyle 2a
triplul lui a \displaystyle 3a
opusul lui a \displaystyle -a
inversul lui a \displaystyle \frac{1}{a}    sau   \displaystyle a^{-1}
răsturnatul numărului \overline{abc} \overline{cba}
o fracţie   \displaystyle \frac{a}{b}    din x \displaystyle \frac{a}{b}\cdot x    sau   \displaystyle \frac{ax}{b}
un procent   \displaystyle p \%    din x \displaystyle \frac{p}{100}\cdot x    sau   \displaystyle \frac{px}{100}
x mărit (sau majorat) cu \displaystyle p \% \displaystyle x+ \frac{p}{100}\cdot x
x micşorat (sau redus) cu \displaystyle p \% \displaystyle x- \frac{p}{100}\cdot x
a este (strict) mai mic decât b \displaystyle a< b
a este (strict) mai mare decât b \displaystyle a> b

a este mai mic sau egal cu b

a este cel mult egal cu b

\displaystyle a\leq b

a este mai mare sau egal cu b

a este cel puţin egal cu b

\displaystyle a\geq b
b este cuprins între a şi c , dar nu poate fi egal nici cu a , nici cu c \displaystyle a< b< c
b este cuprins între a şi c şi poate fi egal ori cu a , ori cu c \displaystyle a\leq b\leq c

 

Ecuaţia de gradul I cu o necunoscută

Noţiuni generale

Egalitatea a două expresii algebrice se numeşte ecuaţie, dacă este adevărată numai pentru anumite valori atribuite literelor, sau identitate, dacă este adevărată pentru orice valori atribuite literelor.

Variabilele (literele) dintr-o ecuaţie se numesc necunoscute. O ecuaţie poate avea una sau mai multe necunoscute.

Acele valori ale necunoscutelor pentru care egalitatea este adevărată se numesc soluţii sau rădăcini ale ecuaţiei. A rezolva o ecuaţie presupune a afla soluţia (una sau mai multe) dintr-o mulţime specificată.

De regulă, mulţimea soluţiilor unei ecuaţii se notează cu \displaystyle S .

Dacă ecuaţia nu are nici o soluţie în mulţimea specificată, scriem \displaystyle S=\varnothing .

Dacă ecuaţia are o infinitate de soluţii, \displaystyle S este chiar mulţimea specificată.

Două ecuaţii care au aceeaşi mulţime de soluţii se numesc echivalente.

Pentru a aduce o ecuaţie de la o formă complexă la o formă simplă, uşor de rezolvat, se utilizează proprietăţile relaţiei de egalitate.

Proprietăţi ale relaţiei de egalitate

Dacă la membrii unei egalităţi adunăm sau scădem acelaşi număr, obţinem tot o egalitate.

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\: \end{matrix}\right|_{+c}\: \Rightarrow \: a+c=b+c

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\: \end{matrix}\right|_{-c}\: \Rightarrow \: a-c=b-c

Dacă înmulţim sau împărţim membrii unei egalităţi cu acelaşi număr, obţinem tot o egalitate (la împărţire, numărul trebuie să fie diferit de zero).

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\: \end{matrix}\right|_{\cdot c}\: \Rightarrow \: a\cdot c=b\cdot c

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\: \end{matrix}\right|_{:\, c}\: \Rightarrow \: a: c=b: c,\: c\neq 0

Relaţii între două egalităţi

Dacă adunăm, scădem, înmulţim sau împărţim, membru cu membru, două egalităţi, obţinem tot o egalitate.

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\\ c=d \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: a+c=b+d

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\\ c=d \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: a-c=b-d

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\\ c=d \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: a\cdot c=b\cdot d

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\\ c=d\\ c,\, d\neq 0 \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: \frac{a}{c}=\frac{b}{d}

Ecuaţia de gradul I cu o necunoscută

Ecuaţia de forma \displaystyle ax+b=0,\: a,b\in \mathbb{R},\: a\neq 0 se numeşte ecuaţie de gradul I cu necunoscuta \displaystyle x .

Pentru rezolvarea ecuaţiei se utilizează proprietăţile relaţiei de egalitate:

\displaystyle \left.\begin{matrix} ax+b=0\: \end{matrix}\right|_{-b}

\displaystyle \left.\begin{matrix} ax=-b\: \end{matrix}\right|_{:\, a}

\displaystyle x=-\frac{b}{a}

Dacă ecuaţia are o formă mai complexă, se rezolvă în următoarele etape:

  • se efectuează toate calculele care pot fi efectuate, în fiecare dintre membrii ecuaţiei.
  • se separă termenii care conţin necunoscuta într-un membru şi termenii care nu conţin necunoscuta în celălalt membru.
  • se efectuează din nou toate calculele posibile în fiecare dintre membrii ecuaţiei.
  • se determină necunoscuta şi se scrie mulţimea soluţiilor \displaystyle S , ţinând seama şi de mulţimea specificată, în care trebuie să fie situate soluţiile.

Triunghiul oarecare. Aria, perimetrul.

Fie \displaystyle A , \displaystyle B , \displaystyle C trei puncte necoliniare. Se numeşte triunghi determinat de punctele \displaystyle A , \displaystyle B , \displaystyle C reuniunea segmentelor \displaystyle \left [AB \right ] , \displaystyle \left [BC \right ] şi \displaystyle \left [AC \right ] .

Se notează \displaystyle \triangle ABC .

Clasificarea triunghiurilor

  • după lungimea laturilor
    • triunghiul oarecare (scalen) are laturile de lungimi diferite
    • triunghiul isoscel are două laturi egale
    • triunghiul echilateral are toate laturile egale între ele
  • după măsurile unghiurilor
    • triunghiul ascuţitunghic are toate unghiurile ascuţite
    • triunghiul dreptunghic are un unghi drept
    • triunghiul obtuzunghic are un unghi obtuz

 

Inegalitatea triunghiului

Lungimile laturilor unui triunghi se notează cu litere mici. Litera corespunde vârfului unghiului care se opune laturii respective.

În orice triunghi, lungimea unei laturi este mai mică decat suma lungimilor celorlalte două laturi.

\displaystyle a<b+c

\displaystyle b<a+c

\displaystyle c<a+b

Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi

Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu \displaystyle 180^{\circ} .

\displaystyle m\left ( \measuredangle A \right )+m\left ( \measuredangle B \right )+m\left ( \measuredangle C \right )=180^{\circ}

Teorema unghiului exterior

Se numeşte unghi exterior unui triunghi, unghiul format de o latură cu prelungirea altei laturi.

Măsura unghiului exterior unui triunghi este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare neadiacente.

\displaystyle m\left ( \measuredangle ACD \right )=m\left ( \measuredangle A \right )+m\left ( \measuredangle B \right )

Perimetrul triunghiului

\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC

\displaystyle P_{\triangle ABC}=a+b+c

Semiperimetrul

\displaystyle p=\frac{P_{\triangle ABC}}{2}=\frac{a+b+c}{2}

Aria triunghiului oarecare

\displaystyle A_{\triangle ABC}=\frac{a\cdot h_{a}}{2}=\frac{b\cdot h_{b}}{2}=\frac{c\cdot h_{c}}{2}

Dacă lungimile laturilor sunt exprimate prin numere naturale, se poate aplica formula lui Heron:

\displaystyle A_{\triangle ABC}=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}

Formula ariei cu sinus:

\displaystyle A_{\triangle ABC}=\frac{a\cdot b\cdot \sin \left ( \measuredangle C \right )}{2}=\frac{b\cdot c\cdot \sin \left ( \measuredangle A \right )}{2}=\frac{a\cdot c\cdot \sin \left ( \measuredangle B \right )}{2}

Operaţii cu numere întregi

Adunarea

Dacă \displaystyle a şi \displaystyle b au acelaşi semn, modulele lor se adună, iar în faţa rezultatului se scrie semnul comun.

Scrierea semnului „\displaystyle + ” nu este necesară întotdeauna. Dacă un rezultat nu are semn, se consideră, implicit, că este pozitiv.

Dacă \displaystyle a şi \displaystyle b au semne diferite, se scade modulul mai mic din modulul mai mare şi se scrie în faţa rezultatului semnul numărului cu modul mai mare.

Zero este element neutru pentru adunare.

Suma a două numere opuse este egală cu zero.

Scăderea

Diferenţa a două numere întregi este egală cu suma dintre primul număr şi opusul celui de-al doilea.

\displaystyle a-b=a+\left ( -b \right )

Desfacerea parantezelor:

Dacă în faţa unei paranteze avem semnul „\displaystyle + ”, atunci putem renunţa la paranteză şi la semnul din faţa parantezei, scriind termenii din paranteză cu semnele lor, aşa cum sunt („\displaystyle + ” nu schimbă semnele din paranteză).

Dacă în faţa unei paranteze avem semnul „\displaystyle - ”, atunci putem renunţa la paranteză şi la semnul din faţa parantezei, scriind termenii din paranteză cu semnele schimbate („\displaystyle - ” schimbă toate semnele din paranteză).

Înmulţirea

Pentru a efectua înmulţirea a două numere întregi

  • înmulţim modulele
  • la rezultat punem semnul „\displaystyle + ” dacă numerele au acelaşi semn, respectiv „\displaystyle - ” dacă numerele au semne contrare.

 

Împărţirea

Pentru a efectua împărţirea a două numere întregi

  • împărţim modulele
  • la rezultat punem semnul „\displaystyle + ” dacă numerele au acelaşi semn, respectiv „\displaystyle - ” dacă numerele au semne contrare.

 

Puterea unui număr întreg negativ

„Minus” la putere impară face „minus”.

\displaystyle \left ( -a \right )^{2k}=a^{2k}

 „Minus” la putere pară face „plus”.

\displaystyle \left ( -a \right )^{2k+1}=-a^{2k+1}

Reprezentarea numerelor întregi pe axa numerelor. Opusul unui număr întreg

Mulţimea numerelor întregi este:

\displaystyle \mathbb{Z}=\left \{ \ldots \: -3;\: -2;\: -1;\: 0;\: 1;\: 2;\: 3;\: \ldots \right \}

Numărul întreg \displaystyle 0 nu este nici negativ, nici pozitiv.

Două numere întregi se numesc opuse dacă diferă doar prin semn.

Opusul numărului \displaystyle a\in \mathbb{Z}^{*} se notează \displaystyle -a .

Reprezentarea numerelor întregi pe axa numerelor:

Două numere întregi opuse sunt amplasate pe axă, de-o parte şi de alta a originii, la aceeaşi distanţă.

Modulul sau valoarea absolută a unui număr reprezintă distanţa faţă de origine la care este amplasat pe axă numărul respectiv.

\displaystyle \left | a \right |=\left\{\begin{matrix} a,\: \textrm{pentru}\: a>0\\ \\ 0,\: \textrm{pentru}\: a=0\\ \\ -a\: \textrm{pentru}\: a<0 \end{matrix}\right.

Proprietăţile modulului:

  • Modulul este întotdeauna pozitiv:

\displaystyle \left | a \right |\geq 0

  • Două numere opuse au acelaşi modul:

\displaystyle \left | a \right |=\left | -a \right |

  • Modulul unui număr este egal cu zero dacă şi numai dacă numărul este egal cu zero:

\displaystyle \left | a \right |=0\: \Leftrightarrow \: a=0

  • Modulul unei diferenţe este egal întotdeauna cu numărul mai mare minus numărul mai mic:

 

\displaystyle \left | a-b \right |=\left\{\begin{matrix} a-b\: \textrm{pentru}\: a>b\\ \\ \: \: 0\: \: \: \: \textrm{pentru}\: a=b\\ \\ b-a\: \textrm{pentru}\: a<b \end{matrix}\right.

Compararea numerelor întregi

  • Orice număr pozitiv este mai mare decât orice număr negativ.
  • Dintre două numere întregi pozitive, este mai mare cel care are modulul mai mare.
  • Dintre două numere întregi negative, este mai mare cel care are modulul mai mic.

 

Pe axa numerelor, dintre două numere, este mai mare, întotdeauna, cel situat în dreapta.

Ultima cifră a unui număr natural sau puterii unui număr natural

Pentru a preciza ultima cifră a unui număr natural se utilizează notaţia \displaystyle UC\left ( n \right ) .

\displaystyle UC\left ( 1974 \right )=4

Dacă numărul natural este ridicat la o putere mare şi, prin urmare, dificilă de calculat, se poate afla ultima cifră a puterii numărului natural printr-una dintre metodele următoare:

1. Numerele care au ultima cifră \displaystyle 0 , \displaystyle 1 , \displaystyle 5 sau \displaystyle 6 se termină întotdeauna cu aceeaşi cifră, indiferent la ce putere sunt ridicate.

\displaystyle UC\left ( 0^{n} \right )=0 pentru orice \displaystyle n\in \mathbb{N}^{*}

\displaystyle UC\left ( 1^{n} \right )=1 pentru orice \displaystyle n\in \mathbb{N}^{*}

\displaystyle UC\left ( 5^{n} \right )=5 pentru orice \displaystyle n\in \mathbb{N}^{*}

\displaystyle UC\left ( 6^{n} \right )=6 pentru orice \displaystyle n\in \mathbb{N}^{*}

2. Ultima cifră a numerelor care se termină cu \displaystyle 4 sau \displaystyle 9 poate avea doar două valori: o valoare dacă exponentul este par, respectiv altă valoare dacă exponentul este impar.

\displaystyle UC\left ( 4^{n} \right )=UC\left ( 4^{2} \right )=6 pentru \displaystyle n=2k

\displaystyle UC\left ( 4^{n} \right )=UC\left ( 4^{1} \right )=4 pentru \displaystyle n=2k+1

şi

\displaystyle UC\left ( 9^{n} \right )=UC\left ( 9^{2} \right )=1 pentru \displaystyle n=2k

\displaystyle UC\left ( 9^{n} \right )=UC\left ( 9^{1} \right )=9 pentru \displaystyle n=2k+1

3. Ultima cifră a numerelor care se termină cu \displaystyle 2 , \displaystyle 3 , \displaystyle 7 sau \displaystyle 8 poate avea patru valori. Acestea se stabilesc în funcţie de restul împărţirii exponentului la \displaystyle 4 .

\displaystyle UC\left ( 2^{n} \right )=UC\left ( 2^{4} \right )=6 pentru \displaystyle n=4k+0

\displaystyle UC\left ( 2^{n} \right )=UC\left ( 2^{1} \right )=2 pentru \displaystyle n=4k+1

\displaystyle UC\left ( 2^{n} \right )=UC\left ( 2^{2} \right )=4 pentru \displaystyle n=4k+2

\displaystyle UC\left ( 2^{n} \right )=UC\left ( 2^{3} \right )=8 pentru \displaystyle n=4k+3

Asemănător,

\displaystyle UC\left ( 3^{n} \right )=UC\left ( 3^{4} \right )=1 pentru \displaystyle n=4k+0

\displaystyle UC\left ( 3^{n} \right )=UC\left ( 3^{1} \right )=3 pentru \displaystyle n=4k+1

\displaystyle UC\left ( 3^{n} \right )=UC\left ( 3^{2} \right )=9 pentru \displaystyle n=4k+2

\displaystyle UC\left ( 3^{n} \right )=UC\left ( 3^{3} \right )=7 pentru \displaystyle n=4k+3

respectiv,

\displaystyle UC\left ( 7^{n} \right )=UC\left ( 7^{4} \right )=1 pentru \displaystyle n=4k+0

\displaystyle UC\left ( 7^{n} \right )=UC\left ( 7^{1} \right )=7 pentru \displaystyle n=4k+1

\displaystyle UC\left ( 7^{n} \right )=UC\left ( 7^{2} \right )=9 pentru \displaystyle n=4k+2

\displaystyle UC\left ( 7^{n} \right )=UC\left ( 7^{3} \right )=3 pentru \displaystyle n=4k+3

şi

\displaystyle UC\left ( 8^{n} \right )=UC\left ( 8^{4} \right )=6 pentru \displaystyle n=4k+0

\displaystyle UC\left ( 8^{n} \right )=UC\left ( 8^{1} \right )=8 pentru \displaystyle n=4k+1

\displaystyle UC\left ( 8^{n} \right )=UC\left ( 8^{2} \right )=4 pentru \displaystyle n=4k+2

\displaystyle UC\left ( 8^{n} \right )=UC\left ( 8^{3} \right )=2 pentru \displaystyle n=4k+3

Numerele care sunt pătrate perfecte pot avea ultima cifră \displaystyle 0 , \displaystyle 1 , \displaystyle 4 , \displaystyle 5 , \displaystyle 6 sau \displaystyle 9 .

Numerele care sunt pătrate perfecte nu pot avea ultima cifră \displaystyle 2 , \displaystyle 3 , \displaystyle 7 sau \displaystyle 8 .

Media aritmetică. Media aritmetică ponderată. Media geometrică. Media armonică

Media aritmetică

Media aritmetică a două numere:

\displaystyle m_{a}=\frac{a+b}{2}

Media aritmetică a \displaystyle n valori:

\displaystyle m_{a}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}

Media aritmetică ponderată

\displaystyle m_{p}=\frac{a_{1}\cdot p_{1}+a_{2}\cdot p_{2}+\cdots +a_{n}\cdot p_{n}}{p_{1}+p_{2}+\cdots p_{n}}

unde \displaystyle p_{1};\: p_{2};\: \cdots \: p_{n} reprezintă ponderile celor \displaystyle n valori (respectiv numărul de valori identice).

Media geometrică (proporţională)

Media geometrică a două numere este

\displaystyle m_{g}=\sqrt{a\cdot b}

Se mai numeşte şi medie proporţională deoarece

\displaystyle \frac{a}{m_{g}}=\frac{m_{g}}{b}

Media armonică

\displaystyle m_{h}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}

Inegalitatea mediilor

Dacă \displaystyle a<b , atunci

\displaystyle a<m_{h}<m_{g}<m_{a}<b

respectiv

\displaystyle a<\frac{2ab}{a+b}<\sqrt{a\cdot b}<\frac{a+b}{2}<b

Descompunerea în factori

Metoda factorului comun

Dacă monoamele dintr-o sumă algebrică au unul sau mai multi factori comuni, aceştia se trec în faţa parantezei. În paranteză va rămâne suma factorilor rămaşi din fiecare monom.

\displaystyle x^{2}y+xy^{2}-x^{3}y^{3}=xy\left ( x+y-x^{2}y^{2} \right )

Utilizarea formulelor de calcul prescurtat

Restrângerea binoamelor:

\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}=\left ( x+y \right )^{2}

\displaystyle x^{2}-2xy+y^{2}=\left ( x-y \right )^{2}

Diferenţa de pătrate:

\displaystyle x^{2}-y^{2}=\left ( x-y \right )\left ( x+y \right )

Gruparea termenilor

Se grupează termenii doi câte doi şi se dau factori comuni la fiecare pereche. Apoi se dă factor comun paranteza care apare identic în fiecare produs:

\displaystyle \underbrace{ax+ay}\: \underbrace{+bx+by}=a\left ( x+y \right )+b\left ( x+y \right )=\left ( x+y \right )\left ( a+b \right )

Factorizarea expresiei pătratice

Pentru a factoriza, de exemplu:

\displaystyle x^{2}-5x+6

se pot găsi două numere care înmulţite să dea \displaystyle 6 (termenul liber), iar adunate să dea \displaystyle \left ( -5 \right ) (coeficientul lui \displaystyle x ). Se observă că numerele căutate sunt \displaystyle \left ( -2 \right ) şi \displaystyle \left ( -3 \right ) .

Se înlocuieşte termenul \displaystyle \left ( -5x \right ) cu suma \displaystyle \left ( -2x-3x \right ) , apoi se grupează termenii:

\displaystyle \begin{matrix} x^{2}-5x+6= \\ \\ =\underbrace{x^{2}-2x}\: \underbrace{-3x+6}= \\ \\=x\left ( x-2 \right )-3\left ( x-2 \right )=\\ \\ =\left ( x-2 \right )\left ( x-3 \right ) \end{matrix}

În exerciţiile mai complexe se pot utiliza toate metodele enumerate mai sus.