Operaţii cu expresii algebrice

O variabilă este un simbol, de obicei o literă, utilizată pentru a reprezenta un număr necunoscut.

Expresia algebrică conţine numere, variabile şi cel puţin o operaţie aritmetică.

Un produs având ca factori numere şi variabile (litere) la diferite puteri se numeşte monom. În cadrul unui monom nu se mai scrie semnul înmulţirii, deoarece se subînţelege.

Valoarea unei expresii algebrice, pentru anumite valori atribuite variabilelor, se obţine înlocuind literele cu valorile lor şi efectuând calculele matematice corespunzătoare.

Dacă

\displaystyle E\left ( x,\, y \right )=3x^{2}-2xy+5y^{3}

atunci, valoarea expresiei pentru \displaystyle x=3 şi \displaystyle y=2 este:

\displaystyle E\left ( 3,\, 2 \right )=3\cdot 3^{2}-2\cdot 3\cdot 2+5\cdot 2^{3}=27-12+40=55

Adunarea şi scăderea

Într-o expresie algebrică se pot aduna sau scădea numai termenii asemenea.

Se numesc termeni asemenea monoamele care conţin exact aceleaşi variabile, la aceleaşi puteri.

Se pot aduna

\displaystyle 5x^{2}y+7x^{2}y=12x^{2}y

Nu se pot aduna

\displaystyle 5x^{2}y+7xy

Termenii care nu conţin variabile, ci numai numere, se numesc termeni liberi sau constante şi sunt consideraţi termeni asemenea (conţin variabile la puterea \displaystyle 0 ).

Înmulţirea şi împărţirea

Pentru a înmulţi două monoame:

  • se ţine seama de regula semnelor
  • se înmulţesc sau se împart numerele între ele
  • se înmulţesc sau se împart literele de acelaşi fel, ţinând seama de regulile de calcul cu puteri (la înmulţire exponenţii se adună, la împărţire se scad)

\displaystyle \left ( 2x^{2}y \right )\cdot \left ( -3xy^{2} \right )=-6x^{3}y^{3}

\displaystyle \left ( -12x^{2}y \right ) : \left ( -3xy^{2} \right )=4xy^{-1}=\frac{4x}{y}

Înmulţirea parantezelor se realizează termen cu termen, apoi toţi termenii asemenea se adună.

\displaystyle \begin{matrix} \left ( 4x-2 \right )\left ( 6x+5 \right )=\\ \\ =4x\cdot 6x+4x\cdot 5-2\cdot 6x-2\cdot 5=\\ \\ =24x^{2}+20x-12x-10=\\ \\ =24x^{2}+8x-10 \end{matrix}

Ridicarea la putere

Se utilizează regulile de calcul cu puteri: se ridică la putere fiecare factor separat, iar exponenţii se înmulţesc.

\displaystyle \left ( 3x^{2}y \right )^{3}=3^{3}\cdot \left ( x^{2} \right )^{3}\cdot y^{3}=27x^{6}y^{3}

Scoaterea factorilor de sub radical

Se pot scoate de sub radical numai factorii la putere pară, care se scriu în faţa radicalului, la putere înjumătăţită. Ceilalţi factori rămân sub radical.

\displaystyle \sqrt{27x^{6}y^{3}}=\sqrt{3^{2}\cdot 3\cdot x^{6}\cdot y^{2}\cdot y}=3x^{3}y\sqrt{3y}

Raţionalizarea numitorilor

Pentru raţionalizarea numitorilor se utilizează formula diferenţei de pătrate:

\displaystyle \left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}

Raţionalizarea numitorului de forma \displaystyle a\sqrt{b}

Numitorul de tipul \displaystyle \sqrt{b}  sau \displaystyle a\sqrt{b}  se raţionalizează prin amplificarea cu \displaystyle \sqrt{b} .

\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{\left ( \sqrt{b} \right )^{2}}=\frac{a\sqrt{b}}{b};\; \; \; b> 0

Raţionalizarea numitorului de forma \displaystyle a\pm \sqrt{b}

Numitorul de forma \displaystyle a\pm \sqrt{b},\; b>0 se raţionalizează prin amplificarea cu conjugata numitorului.

\displaystyle \frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c\left ( a-\sqrt{b} \right )}{\left ( a+\sqrt{b} \right )\left ( a-\sqrt{b} \right )}=\frac{c\left ( a-\sqrt{b} \right )}{a^{2}-\left ( \sqrt{b} \right )^{2}}=\frac{c\left ( a-\sqrt{b} \right )}{a^{2}-b}

\displaystyle \frac{c}{a-\sqrt{b}}=\frac{c\left ( a+\sqrt{b} \right )}{\left ( a-\sqrt{b} \right )\left ( a+\sqrt{b} \right )}=\frac{c\left ( a+\sqrt{b} \right )}{a^{2}-\left ( \sqrt{b} \right )^{2}}=\frac{c\left ( a+\sqrt{b} \right )}{a^{2}-b}

Raţionalizarea numitorului de forma \displaystyle a\sqrt{b}\pm c\sqrt{d} se realizează similar, prin amplificarea cu conjugata:

\displaystyle \frac{n}{a\sqrt{b}\pm c\sqrt{d}}=\frac{n\left ( a\sqrt{b}\mp c\sqrt{d} \right )}{\left ( a\sqrt{b} \right )^{2}-\left ( c\sqrt{d} \right )^{2}}=\frac{n\left ( a\sqrt{b}\mp c\sqrt{d} \right )}{a^{2}b-c^{2}d}

Mărimi direct sau invers proporţionale

Mărimi direct proporţionale

Două mărimi se numesc direct porporţionale dacă, atunci când una dintre ele se măreşte de un număr de ori, şi cealaltă se măreşte de acelaşi număr de ori.

Se scrie

\displaystyle \left \{ a,\, b,\, c \right \}\: \textrm{d.p.}\: \left \{ x,\, y,\, z \right \}

şi se formează fracţiile:

\displaystyle \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=k

unde \displaystyle k se numeşte coeficient de proporţionalitate.

Mărimi invers proporţionale

Două mărimi se numesc invers porporţionale dacă, atunci când una dintre ele se măreşte de un număr de ori, cealaltă se micşorează de acelaşi număr de ori.

Se scrie

\displaystyle \left \{ a,\, b,\, c \right \}\: \textrm{i.p.}\: \left \{ x,\, y,\, z \right \}

şi se formează produsele:

\displaystyle a\cdot x=b\cdot y=c\cdot z=p

În problemele practice (de exemplu în problemele de fizică), dacă două mărimi \displaystyle a şi \displaystyle b sunt proporţionale, se mai poate scrie

\displaystyle a\sim b

şi, în consecinţă, raportul lor are tot timpul aceeaşi valoare:

\displaystyle \frac{a}{b}=\textrm{const.}

Dacă două mărimi \displaystyle m şi \displaystyle n sunt invers proporţionale, înseamnă că prima mărime este proporţională cu inversul celei de-a doua mărimi:

\displaystyle m\sim \frac{1}{n}

şi, în consecinţă, produsul lor este tot timpul acelaşi:

\displaystyle m\cdot n=\textrm{const.}

Regula de trei simplă

Se scriu mărimile de aceeaşi natură pe coloane. Dacă mărimile sunt direct proporţionale, se înmulţeşte pe diagonală, dacă sunt invers proporţionale, se înmulţeşte în linie. Apoi se împarte produsul la cel de-al treilea termen cunoscut.

Proporţii derivate

Proporţia este egalitatea a două rapoarte:

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}

Termenii a şi d se numesc extremi, iar termenii b şi c se numesc mezi.

Proprietatea fundamentală a proporţiilor

În orice proporţie produsul mezilor este egal cu produsul extremilor.

\displaystyle a\cdot d=b\cdot c

Aflarea unui termen al unei proporţii

Pentru a afla un termen al unei proporţii, înmulţim termenii de pe cealaltă diagonală şi împărţim la termenul de acelaşi tip.

\displaystyle \frac{x}{b}=\frac{c}{d}\: \Rightarrow \: x=\frac{b\cdot c}{d}

\displaystyle \frac{a}{x}=\frac{c}{d}\: \Rightarrow \: x=\frac{a\cdot d}{c}

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{x}{d}\: \Rightarrow \: x=\frac{a\cdot d}{b}

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{x}\: \Rightarrow \: x=\frac{b\cdot c}{a}

Proporţii derivate

O proporţie care se obţine, printr-un procedeu oarecare, din altă proporţie, se numeşte proporţie derivată.

Pornind de la:

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}

proporţii derivate cu aceeaşi termeni se pot obţine prin:

  • schimbarea între ei a extremilor

\displaystyle \frac{d}{b}=\frac{c}{a}

  • schimbarea între ei a mezilor

\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{b}{d}

  • inversarea rapoartelor

\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{d}{c}

Proporţii derivate cu termenii schimbaţi se pot obţine prin:

  • adunarea sau scăderea numărătorilor la numitori

\displaystyle \frac{a}{a\pm b}=\frac{c}{c\pm d}

  • adunarea sau scăderea numitorilor la numărători

\displaystyle \frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}

  • suma numărătorilor pe suma numitorilor

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}

  • diferenţa numărătorilor pe diferenţa numitorilor

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a-c}{b-d}

În afara celor enumerate, există şi alte posibilităţi de a obţine proporţii derivate, dar sunt mai puţin întâlnite.

Procente

Procentele sunt rapoarte cu numitorul 100.

raportul \displaystyle \frac{p}{100} se notează \displaystyle p \% şi se citeşte „\displaystyle p la sută”

Dacă mărimea \displaystyle a este un procent \displaystyle p% din mărimea \displaystyle b , se scrie:

\displaystyle a=\frac{p}{100}\cdot b

Folosind proprietatea fundamentală a proporţiilor, \displaystyle a\cdot 100=p\cdot b , se mai pot calcula:

\displaystyle b=\frac{a\cdot 100}{p}

\displaystyle p=\frac{a\cdot 100}{b}

Procente utilizate în practică

Concentraţia soluţiei

Soluţia este un amestec omogen de două sau mai multe componente. Substanţa care se dizolvă se numeşte solvat (sau dizolvat). Substanţa care dizolvă se numeşte solvent (sau dizolvant) (de exemplu, apă).

Prin urmare, masa unei soluţii este egală cu masa solventului, la care se adaugă masa substanţei dizolvate.

\displaystyle m_{s}=m_{d}+m_{ap\breve{a}}

Concentraţia procentuală a soluţiei este raportul dintre masa substanţei dizolvate şi masa soluţiei, exprimat în procente.

Deoarece

\displaystyle \frac{m_{d}}{m_{s}}=\frac{C}{100}

rezultă:

\displaystyle C=\frac{m_{d}}{m_{s}}\cdot 100=\frac{m_{d}}{m_{d}+m_{ap\breve{a}}}\cdot 100

Titlul aliajului

Titlul aliajului este raportul dintre masa metalului preţios şi masa aliajului, exprimat în procente sau promile.

Dacă titlul aliajului este exprimat în procente, se scrie:

\displaystyle T=\frac{m_{metal}}{m_{aliaj}}\cdot 100

Promilele sunt rapoarte cu numitorul 1000.

raportul \displaystyle \frac{p}{1000} se notează \displaystyle p \%_{0} şi se citeşte „\displaystyle p la mie”

În acest caz, titlul aliajului se calculează utilizând formula:

\displaystyle T=\frac{m_{metal}}{m_{aliaj}}\cdot 1000

Rapoarte

Expresia \displaystyle \frac{a}{b} , cu b\neq 0 , se numeşte raportul numerelor a şi b . Se mai notează \displaystyle a:b .

Numerele a şi b se numesc termenii raportului.

Numărul \displaystyle k=\frac{a}b{}=a:b se numeşte valoarea raportului.

Raportul a două mărimi se poate face dacă mărimile sunt de acelaşi fel şi au aceeaşi unitate de măsură şi indică de câte ori una dintre mărimi este mai mare sau mai mică decât cealaltă.

Determinarea unui termen necunoscut al raportului

Termenul de la numărător se află înmulţind termenul de la numitor cu valoarea raportului:

\displaystyle \frac{x}{b}=k\: \Leftrightarrow \: x=b\cdot k

Termenul de la numitor se află împărţind termenul de la numărător la valoarea raportului:

\displaystyle \frac{a}{x}=k\: \Leftrightarrow \: x=\frac{a}{k}

Şirul de rapoarte egale

Şirul de rapoarte egale este egal cu suma numătorilor pe suma numitorilor.

\displaystyle \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\cdots =\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}}

Rapoarte utilizate în practică – Scara hărţii

Scara hărţii, este raportul dintre distanţa măsurată pe hartă, d , şi distanţa măsurată pe teren, D , ambele exprimate cu aceeaşi unitate de măsură.

\displaystyle \frac{d}{D}=\frac{1}{n}

Scara este menţionată pe hartă cu notaţia \displaystyle 1:n .

Noţiuni de trigonometrie

Fie ABC un triunghi dreptunghic cu m\left ( \measuredangle A \right )=90^{\circ} .

Pentru unghiul ascuţit x , se definesc rapoartele de laturi:

\displaystyle \sin x=\frac{cateta\; opus\breve{a}}{ipotenuz\breve{a}}=\frac{AB}{BC}

\displaystyle \cos x=\frac{cateta\; al\breve{a}turat\breve{a}}{ipotenuz\breve{a}}=\frac{AC}{BC}

\displaystyle \mathrm{tg}\: x=\frac{cateta\; opus\breve{a}}{cateta\; al\breve{a}turat\breve{a}}=\frac{AB}{AC}

\displaystyle \mathrm{ctg}\: x=\frac{cateta\; al\breve{a}turat\breve{a}}{cateta\; opus\breve{a}}=\frac{AC}{AB}

Se observă că, în cazul a două unghiuri complementare,

\displaystyle \sin \left ( 90^{\circ}-x \right )=\cos x

\displaystyle \cos \left ( 90^{\circ}-x \right )=\sin x

\displaystyle \mathrm{tg} \left ( 90^{\circ}-x \right )=\mathrm{ctg}\, x

\displaystyle \mathrm{ctg} \left ( 90^{\circ}-x \right )=\mathrm{tg}\, x

Valorile funcţiilor trigonometrice pentru unghiurile utilizate cel mai des sunt redate în tabelul de mai jos:

Pentru a reţine mai uşor valorile din tabel, se pot utiliza şi figurile următoare, din care se pot obţine imediat rapoartele de laturi, dacă se cunosc relaţiile de definiţie:

Formule trigonometrice:

\displaystyle \mathrm{tg}\, x=\frac{\sin x}{\cos x}

\displaystyle \mathrm{ctg}\, x=\frac{\cos x}{\sin x}

Teorema fundamentală a trigonometriei:

\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1