Divizori comuni. Multipli comuni

Cel mai mare divizor comun (C.m.m.d.c)

Cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere naturale, nu toate nule, este cel mai mare număr natural care divide fiecare număr dat.

C.m.m.d.c. se determină astfel:

  • se descompun numerele în factori primi;
  • cel mai mare divizor comun este egal cu produsul factorilor comuni, luaţi o singură dată, cu exponenţii cei mai mici.

Cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b se notează \left ( a,b \right )

Orice alt divizor comun al numerelor a şi b este divizor al celui mai mare divizor comun.

Două numere naturale m şi n se numesc prime între ele, dacă singurul număr care le divide pe amândouă este 1 . Se scrie \left ( m,n \right )=1

Cel mai mic multiplu comun (C.m.m.m.c)

Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere naturale nenule este cel mai mic număr natural, diferit de 0 , care este divizibil cu fiecare număr dat.

C.m.m.m.c. se determină astfel:

  • se descompun numerele date în factori primi;
  • cel mai mic multiplu comun este egal cu produsul factorilor comuni şi necomuni, luaţi o singură dată, cu exponenţii cei mai mari.

Cel mai mic multiplu comun al numerelor a şi b se notează \left [ a,b \right ]

Orice alt multiplu comun al numerelor a şi b este multiplu al celui mai mic multiplu comun.

Relaţia între C.m.m.d.c şi C.m.m.d.c

\displaystyle \left ( a,b \right )\cdot \left [ a,b \right ]=a\cdot b

Compararea numerelor naturale. Aproximarea. Calcule estimative

Compararea numerelor naturale

  • Dintre două numere naturale, este mai mare cel care are mai multe cifre.
  • Dacă două numere naturale au acelaşi număr de cifre, se compară, pe rând, cifrele situate pe aceleaşi poziţii, începând de la stânga. Prima cifră mai mare găsită aparţine numărului mai mare.
  • Dintre două numere naturale diferite, m şi n , amplasate pe axa numerelor, numărul situat în dreapta este mai mare, iar numărul situat în stânga este mai mic.

\displaystyle m<n

Aproximarea numerelor naturale

Pentru a aproxima un număr natural până la zeci (sute, mii etc.) se încadrează numărul dat între cele mai apropiate două numere formate numai din zeci (sute, mii etc.)

Numărul mai mic, situat în stânga pe axa numerelor, reprezintă aproximarea prin lipsă, iar numărul mai mare,  situat în dreapta pe axa numerelor, reprezintă aproximarea prin adaos.

Rotunjirea până la zeci (sute, mii etc.) este aproximarea, prin lipsă sau prin adaos, cu valoarea cea mai apropiată de numărul dat. Dacă ambele aproximări, atât cea prin lipsă, cât şi cea prin adaos, sunt la fel de apropiate de valoarea numărului, atunci rotunjirea se consideră aproximarea prin adaos.

Se scrie:

\displaystyle 687\cong 690 (valorile sunt foarte apropiate)

\displaystyle 687\approx 700 (valorile nu sunt chiar atât de apropiate)

Regula rapidă:

Pentru a rotunji un număr la zeci (sute, mii etc.) ne uităm la cifra zecilor (sutelor, miilor etc.). Dacă după cifra considerată urmează 0 , 1 , 2 , 3 sau 4 , aproximăm prin lipsă. Dacă urmează 5 , 6 , 7 , 8 sau 9 , aproximăm prin adaos.

Reguli pentru calcule estimative

Calculul estimativ presupune găsirea unui rezultat suficient de apropiat de răspunsul corect şi poate fi folosit pentru efectuarea unor calcule rapide, dacă precizia răspunsului este mai puţin importantă.

  • Înainte de a efectua calculele, se rotunjesc numerele în mod convenabil (se aproximează, prin lipsă sau prin adaos, la zeci, sute sau mii, în funcţie de cât de precis trebuie să fie rezultatul).

Calculând exact:

\displaystyle 196+323+64+1878=2461

Calculând estimativ aceeaşi sumă:

\displaystyle 200+300+60+1900=2460

  • Dacă trebuiesc adunate mai multe numere, având cam aceeaşi valoare, se aproximează media acestora şi se înmulţeşte cu numărul de termeni.

Calculând exact:

\displaystyle 425+468+440+447+492+412=2684

Calculând estimativ aceeaşi sumă:

\displaystyle 450\cdot 6=2700

  • La înmulţire, după rotunjirea factorilor, se înmulţesc numerele formate din cifrele diferite de zero, iar la sfârşitul rezultatului se adaugă tot atâtea zerouri cât aveau cei doi factori la un loc.

Calculând exact:

\displaystyle 67\cdot 2978=199\, 526\approx 200\, 000

Calculând estimativ acelaşi produs:

\displaystyle 70\cdot 3000=210\, 000\approx 200\, 000

  • La împărţire, se aproximează deîmpărţitul cu un număr care să fie divizibil cu împărţitorul.

Calculând exact:

\displaystyle 792:4=198

Calculând estimativ:

\displaystyle 800:4=200

Scrierea cu cifre romane

Cifrele romane sunt:

Reguli de scriere:

  • În scrierea cu cifre romane nu există cifra 0 .
  • Scrierea se face de la stânga la dreapta.
  • Valorile semnelor consecutive se adună.

\displaystyle \textrm{VII}=5+1+1=7

\displaystyle \textrm{XXVIII}=10+10+5+1+1+1=28

  • Dacă apare un semn de valoare mai mică la stânga altuia de valoare mai mare, cele două semne se grupează, iar la rezultatul final se adună diferenţa celor două. În stânga unui semn mai mare se poate afla doar un singur semn mai mic.

\displaystyle \textrm{XLVI}=\left ( 50-10 \right )+5+1=46

\displaystyle \textrm{CMXCIX}=\left ( 1000-100 \right )+\left ( 100-10 \right )+\left ( 10-1 \right )=999

  • Semnele \textrm{I} , \textrm{X} , \textrm{C} şi \textrm{M} se pot repeta consecutiv de cel mult de trei ori.
  • Semnele \textrm{V} , \textrm{L} şi \textrm{D} nu se pot repeta consecutiv.

Echivalenţa numerelor

Scrierea şi citirea numerelor naturale în text

Cuvintele care reprezintă denumiri ale numerelor se numesc numerale cardinale.

Numeralele cardinale propriu-zise sunt:

  • simple: unu, doi, trei, patru, cinci, şase, şapte, opt, nouă, zece, sută, mie, milion, miliard etc.
  • compuse, toate celelalte.

Se scriu într-un singur cuvânt numeralele:

Restul se scriu cu ajutorul prepoziţiilor „şi” şi „de”, fără a lega cuvintele între ele.

43\, 094 se scrie „patruzeci şi trei de mii nouăzeci şi patru”

Intervale de numere reale

Dacă se consideră două numere reale x şi y , cu x<y , se numeşte interval o submulţime a mulţimii numerelor reale care conţine toate numerele cuprinse între x şi y .

Mai exact, intervalul este porţiunea din axa numerelor cuprinsă între x şi y .

Dacă din interval fac parte şi numerele x şi y , atunci intervalul se numeşte interval închis. Se poate preciza că x este cel mai mic element din interval, iar y este cel mai mare.

În caz contrar, se numeşte interval deschis. Cel mai mare, respectiv cel mai mic element al intervalului nu pot fi precizate.

Operaţii cu intervale

a) Reuniunea

b) Intersecţia

c) Diferenţa

 

Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic

  1. Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.

\triangle ABC dr. în A\, \Rightarrow \, AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}

Reciproca teoremei lui Pitagora

Dacă într-un triunghi suma pătratelor lungimilor a două laturi este egală cu pătratul lungimii celei de-a treia laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.

AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\Rightarrow \, \triangle ABC dr. în A

  1. Teorema înălţimii

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei este medie proporţională (geometrică) a lungimilor proiecţiilor catetelor pe ipotenuză.

\displaystyle \left.\begin{matrix} \triangle ABC\, \mathrm{dr.}\\ AD\perp BC,\, D\in \left ( BC \right ) \end{matrix}\right\} \Rightarrow AD^{2}=BD\cdot DC sau \displaystyle AD=\sqrt{BD\cdot DC}

Reciproca teoremei înălţimii

Dacă într-un triunghi ABC înălţimea AD,\, D\in \left ( BC \right ) , este medie geometrică între proiecţiile laturilor AB şi AC pe BC , atunci triunghiul este dreptunghic în A.

  1. Teorema catetei

Într-un triunghi dreptunghic, o catetă este medie proporţională (geometrică) între ipotenuză şi proiecţia catetei respective pe ipotenuză.

\displaystyle \left.\begin{matrix} \triangle ABC\, \mathrm{dr.}\\ AD\perp BC,\, D\in \left (BC \right ) \end{matrix}\right\} \Rightarrow AB^{2}=BD\cdot BC sau \displaystyle AB=\sqrt{BD\cdot BC}

\displaystyle \left.\begin{matrix} \triangle ABC\, \mathrm{dr.}\\ AD\perp BC,\, D\in \left (BC \right ) \end{matrix}\right\} \Rightarrow AC^{2}=CD\cdot CB sau \displaystyle AC=\sqrt{CD\cdot CB}

Reciproca teoremei catetei

Dacă într-un triunghi ABC proiecţia punctului A pe BC este D şi \displaystyle AB^{2}=BD\cdot BC , atunci triunghiul este dreptunghic în A .

Numere prime. Numere compuse

Un număr n\in \mathbb{N},\, n\geq 2 se numeşte număr prim dacă are ca divizori numai pe 1 şi pe el însuşi.

\displaystyle n\, \textrm{prim}\Leftrightarrow D_{n}=\left \{ 1;\, n \right \}

Numerele prime mai mici decât 100 :

\displaystyle 2,\, 3,\, 5,\, 7,\, 11,\, 13,\, 17,\, 19,\, 23,\, 29,\, 31,\, 37,\, 41,\, 43,\, 47,\, 53,\, 59,\, 61,\, 67,\, 71,\, 73,\, 79,\, 83,\, 89,\, 97

Dacă un număr natural are cel puţin trei divizori, atunci el se numeşte număr compus (neprim).

Orice număr natural neprim se poate scrie ca produs de numere prime sau ca produs de puteri de numere prime. Această scriere se numeşte descompunere în factori primi.

Pentru a afla numărul de divizori ai unui număr neprim:

  • se descompune numărul dat în factori primi.
  • presupunând că \displaystyle n=a^{m}\cdot b^{n}\cdot c^{p} , cu a,\, b,\, c factori primi, n va avea \left ( m+1 \right )\left ( n+1 \right )\left ( p+1 \right ) divizori.

Numărul „1 ” nu este nici număr prim, nici număr compus.

 

 

Mulţimi de numere

Mulţimea numerelor naturale \mathbb{N}

\mathbb{N}=\left \{ 0;\, 1;\, 2;\, 3;\, _{\cdots} \, \right \}

\mathbb{N}^{*}=\mathbb{N}\setminus \left \{ 0 \right \}=\left \{ 1;\, 2;\, 3;\, _{\cdots} \, \right \}

Mulţimea numerelor întregi \mathbb{Z}

\mathbb{Z}=\left \{ _{\cdots} \, -3;\, -2;\, -1;\, 0;\, 1;\, 2;\, 3;\, 4;\, _{\cdots} \, \right \}

\mathbb{Z}^{*}=\mathbb{Z}\setminus \left \{ 0 \right \}

\mathbb{Z}_{+}=\left \{ 1;\, 2;\, 3;\, 4;\, _{\cdots} \, \right \}=\mathbb{N}^{*}

\mathbb{Z}_{-}=\left \{ _{\cdots} \, \, -3;\, -2;\, -1 \right \}

Numărul întreg 0 nu este nici negativ, nici pozitiv.

Mulţimea numerelor raţionale \mathbb{Q}

\displaystyle \mathbb{Q}=\left \{ \left.\begin{matrix} \frac{a}{b}\, \end{matrix}\right|\, a,\, b\in \mathbb{Z} \right \}

Mulţimea numerelor iraţionale \displaystyle \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}

Numerele de forma \pm \sqrt{n} unde n nu este pătrat perfect se numesc numere iraţionale, deoarece nu pot fi scrise sub formă de fracţie.

Există şi numere iraţionale care nu se exprimă cu ajutorul radicalilor, de exemplu \pi .

Mulţimea numerelor reale \mathbb{R}

Mulţimea tuturor numerelor, de toate tipurile, naturale, întregi, raţionale, iraţionale, se numeşte mulţimea numerelor reale.

\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}

 

 

 

Operaţii cu mulţimi

Reuniunea

Mulţimea formată din elementele care aparţin cel puţin uneia dintre mulţimile A sau B se numeşte reuniunea mulţimilor A şi B şi se scrie A\cup B .

 

\displaystyle A\cup B=\left \{ x\, |\, x\in A\, \textrm{sau}\, x\in B \right \}

 

Numărul de elemente al reuniunii mulţimilor A şi B :

\displaystyle card\, \left (A\cup B \right )=card\, A+card\, B-card\left ( A\cap B \right )

Intersecţia

Mulţimea formată din elementele care aparţin şi lui A şi lui B se numeşte intersecţia mulţimilor A şi B şi se scrie A\cap B .

 

\displaystyle A\cap B=\left \{ x\, |\, x\in A\, \textrm{\c si}\, x\in B \right \}

 

Dacă A şi B sunt disjuncte, intersecţia lor este mulţimea vidă.

Diferenţa a două mulţimi

Se numeşte diferenţa dintre A şi B mulţimea elementelor care aparţin lui A şi nu aparţin lui B . Se scrie A-B sau A\setminus B .

 

\displaystyle A\setminus B=\left \{ x\, |\, x\in A \, \textrm{\c si}\, x\notin B \right \}

\displaystyle card\, \left ( A\setminus B \right )=card\, A-card\, \left ( A\cap B \right )

 

\displaystyle B\setminus A=\left \{ x\, |\, x\in B \, \textrm{\c si}\, x\notin A \right \}

\displaystyle card\, \left ( B\setminus A \right )=card\, B-card\, \left ( A\cap B \right )

 

Complementara unei mulţimi

Dacă sunt date două mulţimi A şi E , astfel încât A\subset E , diferenţa E\setminus A se mai numeşte complementara lui A faţă de E şi se notează \complement_{E} A .

 

\displaystyle \complement_{E} A=E\setminus A=\left \{ x\, |\, x\in E,\, x\notin A \right \}

\displaystyle card \left (\complement_{E} A \right )=card\, E-card\, A

 

Pereche ordonată

Se numeşte pereche ordonată (cuplu) formată din elementele x şi y o ordine între elementele x şi y , în sensul că x este primul element, iar y este al doilea element. Se notează \left ( x, y \right ) .

Produsul cartezian

Fie A şi B două mulţimi. Mulţimea ale cărei elemente sunt toate perechile ordonate \left ( a, b \right ) , în care a\in A şi b\in B se numeşte produsul cartezian al mulţimilor A şi B (în această ordine) şi se notează A\times B .

\displaystyle A\times B=\left \{ \left ( a,b \right )\, |\, a\in A,\, b\in B \right \}

\displaystyle \left.\begin{matrix} A=\left \{ x,y,z \right \}\\ B=\left \{ a,b,c \right \} \end{matrix}\right\}\Rightarrow A\times B=\left \{ \left ( x,a \right );\left ( x,b \right );\left ( x,c \right );\left ( y,a \right );\left ( y,b \right );\left ( y,c \right );\left ( z,a \right );\left ( z,b \right );\left ( z,c \right ) \right \}

\displaystyle card\, \left ( A\times B \right )=card\, A\cdot card\, B

 

 

 

 

 

Mulţimi. Definiţii. Notaţii. Apartenenţa. Incluziunea

O mulţime este o colecţie de obiecte numite elementele mulţimii. Un element apare într-o mulţime o singură dată (nu există dubluri).

Dacă x este un element al mulţimii A se scrie x\in A .

Dacă y nu aparţine mulţimii A se scrie y\notin A .

Mulţimea care nu are nici un element se numeşte mulţimea vidă şi se notează cu \varnothing .

Mulţimea care are un număr finit de elemente se numeşte finită. În caz contrar, se numeşte infinită.

Numărul de elemente al unei mulţimi finite se numeşte cardinalul mulţimii.

A=\left \{ 0; 1; 2; 3 \right \}\Rightarrow card\, A=4

card\, \varnothing =0

Egalitatea mulţimilor

  1. Două mulţimi A şi B sunt egale dacă au aceleaşi elemente.

\displaystyle \left.\begin{matrix} A=\left \{ 1; 2; 3; 4; 5 \right \}\\ B=\left \{ x\in \mathbb{N}\, |\, 1\leq x\leq 5 \right \} \end{matrix}\right\}\Rightarrow A=B

 

  1. Două mulţimi care nu au nici un element comun se numesc disjuncte.

\displaystyle \left.\begin{matrix} A=\left \{ a; b; c \right \}\\ B=\left \{ 5; 6 \right \} \end{matrix}\right\}\Rightarrow A\cap B=\varnothing

 

Relaţia de incluziune. Submulţime

Fie mulţimile A şi B . Dacă toate elementele lui B aparţin şi lui A , se spune că B este o submulţime a lui A şi se scrie B\subset A sau A\supset B .

\displaystyle \left.\begin{matrix} A=\left \{ 1; 2; 3; 4; 5 \right \}\\ B=\left \{ 3; 4 \right \} \end{matrix}\right\}\Rightarrow B\subset A

 

Dacă există elemente ale mulţimii B care nu aparţin mulţimii A , se va scrie B\not\subset A .

\displaystyle \left.\begin{matrix} A=\left \{ 1; 2; 3; 4; 5 \right \}\\ B=\left \{ 3; 4; 7 \right \} \end{matrix}\right\}\Rightarrow B\not\subset A