Divizibilitate

Divizor. Multiplu

Numărul natural d se numeşte divizor al altui număr natural, m , dacă m se împarte exact la d .

Se scrie d\, |\, m şi se citeşte „d îl divide pe m ”.

Se notează D_{m} mulţimea divizorilor naturali ai numărului m :

\displaystyle D_{m}=\left \{ \left.\begin{matrix} d\in \mathbb{N}\, \end{matrix}\right|\, \frac{m}{d}\in \mathbb{N} \right \}

Numărul m se mai numeşte multiplu al lui d .

Se scrie m\, \vdots\, d şi se citeşte „m se divide cu d ” sau „m este divizibil cu d ”.

Se notează M_{d} mulţimea multiplilor numărului d :

\displaystyle M_{d}=\left \{ m\in \mathbb{N}\, |\, m=d\cdot n,\, n\in \mathbb{N} \right \}

Proprietăţi ale divizibilităţii numerelor naturale

a\, |\, a sau a\, \vdots \, a

1\, |\, a sau a\, \vdots \, 1

a\, |\, 0 sau 0\, \vdots \, a

Dacă d\, |\, a şi a\, |\, b , atunci d\, |\, b

Dacă a\, \vdots \, b şi b\, \vdots \, a , atunci a=b

Dacă d\, |\, a , atunci, d\, |\, \left ( n\cdot a \right ),\, n\in \mathbb{N}

Dacă d\, |\, a şi d\, |\, b , atunci d\, |\, \left ( a+b \right ) şi d\, |\, \left ( a-b \right )

Dacă d\, |\, a şi d\, |\, b , atunci d\, |\, \left ( k\cdot a\pm p\cdot b \right )

Dacă m\, |\, a şi n\, |\, a , iar m şi n sunt prime între ele, respectiv \left ( m,\, n \right )=1 , atunci \left ( m\cdot n \right )\, |\, a

Criterii de divizibilitate

1°    Un număr natural se divide cu 10 , dacă şi numai dacă ultima cifră a numărului este 0 .

2°    Un număr natural se divide cu 2 , dacă şi numai dacă ultima cifră a numărului este 0 , 2 , 4 , 6 , 8 . Numerele naturale divizibile cu 2 se numesc pare.

Numerele naturale care nu sunt divizibile cu 2 se numesc impare (au ultima cifră 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ).

3°    Un număr natural se divide cu 5 , dacă şi numai dacă ultima cifră a numărului este 0 sau 5 .

4°    Un număr natural se divide cu 4 , dacă şi numai dacă ultimele două cifre ale sale sunt 00 sau formează un număr divizibil cu 4 .

5°    Un număr natural se divide cu 3 , dacă şi numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 3 .

6°    Un număr natural se divide cu 9 , dacă şi numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 9 .

 


Aplicaţii

1. Să se determine elementele mulţimii \displaystyle A=\left \{ x\in \mathbb{N}\; |\: \frac{3x+8}{2x+1}\in \mathbb{N} \right \} .

Rezolvare:

O fracţie aparţine mulţimii numerelor naturale dacă numărătorul este divizibil cu numitorul (sau numitorul divide numărătorul).

\displaystyle \frac{3x+8}{2x+1}\in \mathbb{N}\: \Rightarrow \: \left (2x+1 \right )\mid \left ( 3x+8 \right )

În plus, orice număr se divide cu el însuşi:

\displaystyle \left (2x+1 \right )\mid \left ( 2x+1 \right )

Dacă un număr divide alt număr, atunci divide şi orice multiplu al acestuia.

\displaystyle d\mid a\: \Rightarrow \: d\mid \left ( n\cdot a \right )

Înmulţim corespunzător cele două numere din dreapta, astfel încât să obţinem acelaşi coeficient în faţa necunoscutei \displaystyle x .

\displaystyle \left (2x+1 \right )\mid 2\left ( 3x+8 \right )

\displaystyle \left (2x+1 \right )\mid 3\left ( 2x+1 \right )

Dacă acelaşi număr divide două numere diferite, atunci divide şi diferenţa lor.

\displaystyle \left ( 2x+1 \right )\mid \left [ 2\left ( 3x+8 \right )-3\left ( 2x+1 \right ) \right ]\: \Rightarrow \: \left ( 2x+1 \right )\mid 13

Numitorul \displaystyle \left ( 2x+1 \right ) trebuie să aparţină mulţimii divizorilor lui \displaystyle 13 .

Efectuăm calculele succesive pentru a găsi valorile lui \displaystyle x .

\displaystyle 2x+1\in \left \{ -13;\, -1;\, 1;\, 13 \right \}\: \mid -1

\displaystyle 2x\in \left \{ -14;\, -2;\, 0;\, 12 \right \}\: \mid :2

\displaystyle x\in \left \{ -7;\, -1;\, 0;\, 6 \right \}\: \mid :2

Deoarece \displaystyle x trebuie să fie număr natural, mulţimea \displaystyle A este:

\displaystyle A= \left \{ 0;\, 6 \right \}

Baze de numeraţie

Un număr este reprezentarea simbolică, cu ajutorul cifrelor şi/sau a literelor, a unui ansamblu de unităţi.

Baza de numeraţie reprezintă numărul unităţilor sau grupurilor de acelaşi ordin de mărime care formează un grup de ordin imediat superior.

Pentru scrierea numerelor în baza zece se folosesc cifrele 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Descompunerea zecimală a unui număr natural \overline{abcd} este:

\displaystyle \overline{abcd}=1000a+100b+10c+d

\displaystyle \overline{abcd}=a\cdot 10^{3}+b\cdot 10^{2}+c\cdot 10^{1}+d\cdot 10^{0}

Sistemul binar utilizează numai cifrele 0 şi 1 .

Pentru a trece un număr din baza zece în baza doi, acesta se împarte succesiv la 2 , până când se obţine câtul egal cu zero. Resturile obţinute, aşezate în ordine, de la ultimul la primul, constituie reprezentarea binară a numărului dat.

Trecerea unui număr din baza doi în baza zece se bazează pe faptul că şi sistemul binar este un sistem poziţional, în care poziţia fiecărei cifre corespunde unei puteri a numărului 2 .

\displaystyle 101101_{\left ( 2 \right )}=1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}

\displaystyle 101101_{\left ( 2 \right )}=32+8+4+1=45

 

 

 

Teorema împărţirii cu rest

Teorema împărţirii cu rest:

d : i=c   rest   r      cu      0\leq r< i

Proba împărţirii cu rest:

d=i\cdot c+r      cu      0\leq r< i


Aplicaţii

1. Împărţind numărul natural n la 9  , la 18 şi la 27 , se obţin câturi diferite de zero şi, de fiecare dată, restul egal cu 3 . Aflaţi toate numerele n cu această proprietate, astfel încât 100< n< 250 (Variante 2007).

Rezolvare:

Din enunţul problemei, aflăm că:

n : 9=c_{1} rest 3

n : 18=c_{2} rest 3

n : 27=c_{3} rest 3

Rescriem:

n=9\cdot c_{1}+3

n=18\cdot c_{2}+3

n=27\cdot c_{3}+3

La fiecare relaţie trecem restul în stânga, cu semn schimbat:

n-3=9\cdot c_{1}

n-3=18\cdot c_{2}

n-3=27\cdot c_{3}

Se observă că numărul n-3 astfel obţinut, este multiplu atât de 9 , cât şi de 18 şi de 27.

Cel mai mic număr care îndeplineşte această condiţie este cel mai mic multiplu comun al numerelor 9 , 18 şi 27 .

n-3=\left [ 9,\: 18,\: 27 \right ]

n-3=54

Orice alt multiplu comun este multiplu al multiplului comun. Prin urmare:

n-3\in \left \{ 54,\: 108,\: 162,\: 216,\: 270,\: .. \right \}

Din condiţia suplimentară

100< n< 250

respectiv

97< n-3< 247

rezultă

n-3\in \left \{ 108,\: 162,\: 216 \right \}

deci

n\in \left \{ 111,\: 165,\: 219 \right \}


2. Aflaţi cel mai mic număr natural care, împărţit pe rând la 12 , 15 şi 18 , dă resturile  6 ,  9 , respectiv 12 , iar câturile diferite de zero (Variante 2007).

Rezolvare:

Din enunţul problemei, aflăm că:

n : 12=c_{1} rest 6

n : 15=c_{2} rest 9

n : 18=c_{3} rest 12

Rescriem:

n=12\cdot c_{1}+6

n=15\cdot c_{2}+9

n=18\cdot c_{3}+12

Se observă, pentru fiecare relaţie, că există aceeaşi diferenţă, egală cu 6 , între împărţitor şi rest.

Adăugăm 6 la fiecare relaţie:

n+6=12\cdot c_{1}+12

n+6=15\cdot c_{2}+15

n+6=18\cdot c_{3}+18

sau

n+6=12\left ( c_{1}+1 \right )

n+6=15\left ( c_{2}+1 \right )

n+6=18\left ( c_{3}+1 \right )

Se observă că numărul n+6 astfel obţinut este multiplu atât de 12 , cât şi de 15 şi de 18 .

Cel mai mic număr care îndeplineşte această condiţie este cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 , 15 şi 18 .

n+6=\left [ 12,\: 15,\: 18 \right ]

n+6=180

Se obţine, în final,

n=174


3. Numerele 123 , 87 şi 62 se împart la acelaşi număr natural x , diferit de zero. Se obţin resturile 3 , 7 şi respectiv 2 . Determinaţi cel mai mare număr natural x care îndeplineşte condiţiile problemei (Variante 2007).

Rezolvare:

Din enunţul problemei, aflăm că:

123 : x=c_{1} rest 3

87 : x=c_{2} rest 7

62 : x=c_{3} rest 2

Rescriem:

123=x\cdot c_{1}+3

87=x\cdot c_{2}+7

62=x\cdot c_{3}+2

La fiecare relaţie trecem restul în stânga cu semn schimbat şi obţinem:

120=x\cdot c_{1}

80=x\cdot c_{2}

60=x\cdot c_{3}

Se observă că numărul x este divizor atât al lui 120 , cât şi al lui 80 şi al lui 60 .

Cel mai mare număr care îndeplineşte această condiţie este cel mai mare divizor comun al numerelor 120 , 80 şi 60 .

x=\left ( 120,\: 80,\: 60 \right )

x=20

Piramida

Piramida este corpul geometric alcătuit din feţe plane, care are toate vârfurile, cu excepţia unuia singur, situate în acelaşi plan, numit planul bazei.

Punctul care nu aparţine planului bazei se numeşte vârful piramidei.

Notaţia piramidei începe, întotdeauna, cu litera de la vârf.

Piramida se numeşte regulată dacă poligonul de la bază este un poligon regulat (cu toate muchiile egale între ele).

Tetraedrul regulat

Piramida triunghiulară se mai numeşte tetraedru („patru feţe”).

Tetraedrul regulat are şase muchii congruente şi patru feţe care sunt triunghiuri echilaterale.

Considerând lungimea unei muchii egală cu \displaystyle l , atunci tetraedrul regulat are formulele:

Aria unei feţe

\displaystyle \textsl{A}_{f}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Raza cercului circumscris bazei:

\displaystyle R=\frac{2}{3}\cdot \frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{l\sqrt{3}}{3}

Apotema bazei:

\displaystyle a_{b}=\frac{1}{3}\cdot \frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{l\sqrt{3}}{6}

Apotema tetraedrului regulat este înălţimea unei feţe:

\displaystyle a_{p}=\frac{l\sqrt{3}}{2}

Aria laterală

\displaystyle \textsl{A}_{l}=3\cdot \textsl{A}_{f}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}}{4}

Aria totală

\displaystyle \textsl{A}_{t}=4\cdot \textsl{A}_{f}=\frac{4l^{2}\sqrt{3}}{4}=l^{2}\sqrt{3}

Înălţimea tetraedrului regulat:

În \displaystyle \triangle AOM dr. în \displaystyle O \displaystyle h=\sqrt{a_{p}^{2}-a_{b}^{2}}=\sqrt{\frac{3l^{2}}{4}-\frac{3l^{2}}{36}}=\frac{l\sqrt{6}}{3}

Volumul

\displaystyle \textsl{V}=\frac{\textsl{A}_{b}\cdot h}{3}

Piramida triunghiulară regulată

Baza piramidei este triunghi echilateral. Feţele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.

Formulele de calcul ale piramidei triunghiulare regulate:

Perimetrul bazei:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=3l

Înălţimea bazei:

\displaystyle h=\frac{l\sqrt{3}}{2}

Raza cercului circumscris bazei:

\displaystyle R= \frac{2}{3}\cdot h=\frac{l\sqrt{3}}{3}

Apotema bazei:

\displaystyle a_{b}= \frac{1}{3}\cdot h=\frac{l\sqrt{3}}{6}

Aria bazei:

\displaystyle \textsl{A}_{b}= \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Apotema piramidei (înălţimea unei feţe laterale):

În \displaystyle \triangle VMC dr. în \displaystyle M , \displaystyle a_{p}=\sqrt{m^{2}-\frac{l^{2}}{4}}

În \displaystyle \triangle VOM dr. în \displaystyle O , \displaystyle a_{p}=\sqrt{h^{2}+a_{b}^{2}}

Aria unei feţe laterale:

\displaystyle \textsl{A}_{f}=\frac{l\cdot a_{p}}{2}

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=3\cdot \textsl{A}_{f}=\frac{3l\cdot a_{p}}{2}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+\textsl{A}_{b}

Înălţimea piramidei:

În \displaystyle \triangle VOM dr. în \displaystyle O , \displaystyle h=\sqrt{a_{p}^{2}-a_{b}^{2}}

În \displaystyle \triangle VOA dr. în \displaystyle O , \displaystyle h=\sqrt{m^{2}-R^{2}}

Volumul piramidei:

\displaystyle \textsl{V}=\frac{\textsl{A}_{b}\cdot h}{3}

Piramida patrulateră regulată

Baza piramidei este un pătrat. Feţele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.

Formulele de calcul ale piramidei patrulatere regulate:

Perimetrul bazei:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=4l

Diagonala bazei:

\displaystyle d=l\sqrt{2}

Raza cercului circumscris bazei:

\displaystyle R=\frac{d}{2}=\frac{l\sqrt{2}}{2}

Apotema bazei:

\displaystyle a_{b}=\frac{l}{2}

Aria bazei:

\displaystyle \textsl{A}_{b}=l^{2}=\frac{d^{2}}{2}

Apotema piramidei (înălţimea unei feţe laterale):

În \displaystyle \triangle VMC dr. în \displaystyle M , \displaystyle a_{p}=\sqrt{m^{2}-\frac{l^{2}}{4}}

În \displaystyle \triangle VOM dr. în \displaystyle O , \displaystyle a_{p}=\sqrt{h^{2}+a_{b}^{2}}

Aria unei feţe laterale:

\displaystyle \textsl{A}_{f}=\frac{l\cdot a_{p}}{2}

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=4\cdot \textsl{A}_{f}=\frac{4l\cdot a_{p}}{2}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+\textsl{A}_{b}

Înălţimea piramidei:

În \displaystyle \triangle VOM dr. în \displaystyle O , \displaystyle h=\sqrt{a_{p}^{2}-a_{b}^{2}}

În \displaystyle \triangle VOA dr. în \displaystyle O , \displaystyle h=\sqrt{m^{2}-R^{2}}

Volumul piramidei:

\displaystyle \textsl{V}=\frac{\textsl{A}_{b}\cdot h}{3}

Piramida hexagonală regulată

Baza piramidei este un hexagon regulat. Feţele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.

Formulele de calcul ale piramidei hexagonale regulate:

Perimetrul bazei:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=6l

Diagonala mare a bazei:

\displaystyle D=2l

Diagonala mică a bazei:

\displaystyle d=l\sqrt{3}

Raza cercului circumscris bazei:

\displaystyle R=l

Apotema bazei:

\displaystyle a_{b}=\frac{l \sqrt{3}}{2}

Aria bazei:

\displaystyle \textsl{A}_{b}=6\cdot \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}}{2}

Apotema piramidei (înălţimea unei feţe laterale):

În \displaystyle \triangle VMD dr. în \displaystyle M , \displaystyle a_{p}=\sqrt{m^{2}-\frac{l^{2}}{4}}

În \displaystyle \triangle VOM dr. în \displaystyle O , \displaystyle a_{p}=\sqrt{h^{2}+a_{b}^{2}}

Aria unei feţe laterale:

\displaystyle \textsl{A}_{f}=\frac{l\cdot a_{p}}{2}

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=6\cdot \textsl{A}_{f}=\frac{6l\cdot a_{p}}{2}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+\textsl{A}_{b}

Înălţimea piramidei:

În \displaystyle \triangle VOM dr. în \displaystyle O , \displaystyle h=\sqrt{a_{p}^{2}-a_{b}^{2}}

În \displaystyle \triangle VOA dr. în \displaystyle O , \displaystyle h=\sqrt{m^{2}-R^{2}}

Volumul piramidei:

\displaystyle \textsl{V}=\frac{\textsl{A}_{b}\cdot h}{3}

Corpuri de rotaţie

Cilindrul circular drept

Cilindrul circular drept este corpul obţinut prin rotirea unui dreptunghi în jurul unei laturi.

Latura care rămâne în poziţie fixă reprezintă axa cilindrului.

Notaţii:

  • raza cilindrului: \displaystyle OA=OB=R
  • generatoarea cilindrului \displaystyle AA'=G
  • înălţimea cilindrului \displaystyle OO'=h

 

Formulele cilindrului circular drept:

\displaystyle h=G

Secţiunea axială a cilindrului este dreptunghiul \displaystyle ABB'A' , având aria: \displaystyle \textsl{A}_{ABB'A'}=2RG

Perimetrul bazei:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=2\pi R

Aria bazei:

\displaystyle \textsl{A}_{b}=\pi R^{2}

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=2\pi RG

Desfăşurarea ariei laterale a cilindrului circular drept este un dreptunghi.

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+2\cdot \textsl{A}_{b}

\displaystyle \textsl{A}_{t}=2\pi R\left ( G+R \right )

Volumul cilindrului:

\displaystyle \textsl{V}=\textsl{A}_{b}\cdot h

\displaystyle \textsl{V}=\pi R^{2}h

Conul circular drept

Conul circular drept se obţine prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei catete.

Cateta care rămâne în poziţie fixă reprezintă axa conului.

Notaţii:

  • raza conului: \displaystyle OA=OB=R
  • generatoarea conului \displaystyle VA=G
  • înălţimea conului \displaystyle VO=h

 

Formulele de calcul pentru conul circular drept:

\displaystyle G^{2}=R^{2}+h^{2}

Secţiunea axială a conului este triunghiul isoscel \displaystyle \triangle VAB , având aria \displaystyle \textsl{A}_{\triangle VAB}=R\cdot h .

Perimetrul bazei:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=2\pi R

Aria bazei:

\displaystyle \textsl{A}_{b}=\pi R^{2}

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=\pi RG

Desfăşurarea ariei laterale a conului este un sector de cerc a cărui rază este egală cu generatoarea.

Măsura unghiului la centru corespunzător sectorului de cerc al desfăşurării conului se poate obţine din proporţia:

\displaystyle \frac{n^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{R}{G}

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+\textsl{A}_{b}

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\pi R\left ( G+R \right )

Volumul conului:

\displaystyle \textsl{V}=\frac{\textsl{A}_{b}\cdot h}{3}

\displaystyle \textsl{V}=\frac{\pi R^{2} h}{3}

Trunchiul de con circular drept

Trunchiul de con circular drept se obţine prin secţionarea unui con circular drept cu un plan paralel cu baza.

Privit ca şi corp de rotaţie, trunchiul de con circular drept se obţine prin rotirea unui trapez dreptunghic în jurul laturii perpendiculare pe baze.

Latura menţinută în poziţie fixă reprezintă axa trunchiului de con.

Notaţii:

  • raza bazei mari: \displaystyle OA=OB=R
  • raza bazei mici: \displaystyle O'A'=O'B'=r
  • generatoarea trunchiului de con: \displaystyle AA'=G_{t}
  • înălţimea trunchiului de con: \displaystyle OO'=h_{t}

 

Formulele de calcul pentru trunchiul de con circular drept:

\displaystyle G_{t}^{2}=\left ( R-r \right )^{2}+h_{t}^{2}

Perimetrul bazei mari:

\displaystyle \textsl{P}_{B}=2\pi R

Perimetrul bazei mici:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=2\pi r

Aria bazei mari:

\displaystyle \textsl{A}_{B}=\pi R^{2}

Aria bazei mici:

\displaystyle \textsl{A}_{b}=\pi r^{2}

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=\pi G_{t}\left ( R+r \right )

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+\textsl{A}_{B}+\textsl{A}_{b}

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\pi G_{t}\left ( R+r \right )+\pi R^{2}+\pi r^{2}

Volumul trunchiului de con:

\displaystyle \textsl{V}=\frac{h_{t}}{3}\left ( \textsl{A}_{B}+\textsl{A}_{b}+\sqrt{\textsl{A}_{B}\cdot \textsl{A}_{b}} \right )

\displaystyle \textsl{V}=\frac{\pi h_{t}}{3}\left ( R^{2}+r^{2}+Rr \right )

Sfera

Sfera se obţine prin rotirea unui semicerc în jurul diametrului.

Se notează raza sferei \displaystyle OA=R

Aria sferei:

\displaystyle \textsl{A}_{sfera}=4\pi R^{2}

Volumul sferei:

\displaystyle \textsl{V}_{sfera}=\frac{4\pi R^{3}}{3}

Reprezentarea grafică a funcţiei liniare

Noţiuni teoretice:

Notiuni generale despre functii

Functia liniara

Exemplul 1: Trasarea graficului unei funcţii liniare atunci când domeniul de definiţie este mulţimea numerelor reale \mathbb{R}

Să se reprezinte grafic funcţia

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=x-2

Graficul funcţiei este o dreaptă.

Aflăm punctele în care graficul funcţiei intersectează axele Ox, respectiv Oy:

G_{f}\cap Ox=A\left ( x,0 \right )\: \Rightarrow \: f\left ( x \right )=0\: \Rightarrow \: x-2=0\: \Rightarrow \: x=2\: \Rightarrow \: A\left ( 2,0 \right )

G_{f}\cap Oy=B\left ( 0,y \right )\: \Rightarrow \: f\left ( 0 \right )=y\: \Rightarrow \: y=-2\: \Rightarrow \: B\left ( 0,-2 \right )

Exemplul 2: Trasarea graficului unei funcţii liniare atunci când domeniul de definiţie este un interval nemărginit

Să se reprezinte grafic funcţia

f:\left ( -\infty ,3 \right ]\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=-2x+2

Graficul funcţiei este o semidreaptă închisă.

Se stabileşte mai întâi originea semidreptei:

x=3\: \Rightarrow \: f\left ( 3 \right )=-2\cdot 3+2\: \Rightarrow \: f\left ( 3 \right )=-4\: \Rightarrow \: A\left ( 3,-4 \right )

Al doilea punct al graficului poate fi determinat, de exemplu, pentru x=0.

x=0\: \Rightarrow \: f\left ( 0 \right )=-2\cdot 0+2\: \Rightarrow \: f\left ( 0 \right )=2\: \Rightarrow \: B\left ( 0,2 \right )

Pe grafic, simbolizăm, folosind paranteza adecvată, dacă semidreapta este deschisă sau închisă.

Exemplul 3: Trasarea graficului unei funcţii liniare atunci când domeniul de definiţie este un interval mărginit

Să se reprezinte grafic funcţia

f:\left [ -1,3 \right )\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=2x-1

Graficul funcţiei este un segment de dreaptă închis la stânga, deschis la dreapta.

Se găsesc capetele segmentului:

x=-1\: \Rightarrow \: f\left ( -1 \right )=-3\: \Rightarrow \: A\left ( -1,-3 \right )

x=3\: \Rightarrow \: f\left ( 3 \right )=5\: \Rightarrow \: B\left ( 3,5 \right )

Pe grafic, simbolizăm, folosind parantezele adecvate, faptul că segmentul este închis la stânga, deschis la dreapta.

Exemplul 4: Trasarea graficului unei funcţii liniare atunci când domeniul de definiţie este o mulţime numărabilă

Să se reprezinte grafic funcţia

f:\left \{ 1;2;3;4;5 \right \}\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=x+3

Graficul funcţiei conţine cinci puncte.

x 1 2 3 4 5
y=x+3 4 5 6 7 8

 

Câteva tipuri de probleme referitoare la funcţia liniară

Problema 1: Determinarea funcţiei din condiţia ca un punct să aparţină graficului acesteia

Fie funcţia

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=2x+a

Să se determine numărul a , ştiind că punctul A\left ( a,\, 12 \right ) aparţine graficului funcţiei.


Condiţia ca punctul A\left ( a,\, 12 \right ) să aparţină graficului funcţiei este ca f\left ( a \right )=12.

Scriem:

A\left ( a,\, 12 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( a \right )=12

f\left ( a \right )=2\cdot a+a=3a

3a=12

a=4

Înlocuind valoarea lui a în expresia funcţiei, se obţine f\left ( x \right )=2x+4.

Problema 2: Determinarea funcţiei din condiţia ca graficul acesteia să treacă prin două puncte date

Să se determine funcţia liniară a cărei reprezentare grafică este dreapta AB, cu A\left ( -3,\, -1 \right ) şi B\left ( 4,\, 6 \right ).


Funcţia liniară are expresia matematică

f\left ( x \right )=ax+b

Pentru a determina funcţia trebuie să aflăm valorile coeficienţilor a şi b .

Punctele A şi B aparţin graficului funcţiei, prin urmare pot fi puse condiţiile:

A\left ( -3,\, -1 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( -3 \right )=-1

f\left ( -3 \right )=a\cdot \left ( -3 \right )+b=-3a+b

\Rightarrow \: -3a+b=-1

B\left ( 4,\, 6 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( 4 \right )=6

f\left ( 4 \right )=a\cdot 4+b=4a+b

\Rightarrow \: 4a+b=6

Am obţinut două ecuaţii cu necunoscutele a şi b .

Pentru a determina valorile necunoscutelor, rezolvăm sistemul:

\left\{\begin{matrix} -3a+b=-1\\ 4a+b=6 \end{matrix}\right.

Extragem necunoscuta b din prima relaţie şi o substituim în cea de-a doua (metoda substituţiei):

b=3a-1

4a+3a-1=6

7a=7

a=1

Prin urmare,

b=3\cdot 1-1

b=2

Funcţia liniară al cărei grafic trece prin punctele A\left ( -3,\, -1 \right ) şi B\left ( 4,\, 6 \right ) are expresia:

f\left ( x \right )=x+2

Problema 3: Punctul de intersecţie al reprezentărilor grafice a două funcţii

Se dau funcţiile

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=x+4

şi

g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; g\left ( x \right )= f\left ( 3x-2 \right )

Să se determine funcţia g şi să se afle coordonatele punctului de intersecţie al graficelor celor două funcţii.


Pentru a determina funcţia g , înlocuim, în expresia funcţiei f , argumentul x cu expresia 3x-2.

g\left ( x \right )=f\left ( 3x-2 \right )=\left ( 3x-2 \right )+4

g\left ( x \right )=3x+2

Notăm P\left ( x,\, y \right ) punctul de intersecţie al graficelor celor două funcţii.

G_{f}\cap G_{g}=P\left ( x,\, y \right )

Deoarece punctul P\left ( x,\, y \right ) este situat pe ambele grafice, coordonatele sale verifică expresiile ambelor funcţii.

Vom rezolva sistemul:

\left\{\begin{matrix} f\left ( x \right )=y\\ g\left ( x \right )=y \end{matrix}\right.\: \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+4=y\\ 3x+2=y \end{matrix}\right.

Din

x+4=3x+2

obţinem

2x=2

x=1

y=1+4

y=5

Punctul de intersecţie al graficelor celor două funcţii este punctul P\left ( 1,\, 5 \right ).

Problema 4: Stabilirea coliniarităţii a trei puncte date

Verificaţi dacă punctele M\left ( -\sqrt{2},\, 0 \right ), N\left ( \sqrt{2},\, 4 \right ), respectiv P\left ( 2\sqrt{2},\, 6 \right ) sunt coliniare.


Determinăm funcţia liniară

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=ax+b

al cărei grafic trece prin punctele M şi N .

M\left ( -\sqrt{2},\, 0 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( -\sqrt{2} \right )=0

f\left ( -\sqrt{2} \right )=a\cdot \left ( -\sqrt{2} \right )+b=-\sqrt{2}a+b

\Rightarrow \: -\sqrt{2}a+b=0

N\left ( \sqrt{2},\, 4 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( \sqrt{2} \right )=4

f\left ( \sqrt{2} \right )=a\cdot \sqrt{2}+b=\sqrt{2}a+b

\Rightarrow \: \sqrt{2}a+b=4

Rezolvăm sistemul:

\left\{\begin{matrix} -\sqrt{2}a+b=0\\ \sqrt{2}a+b=4 \end{matrix}\right.

Utilizând metoda reducerii, se obţine:

2b=4

b=2

Apoi determinăm şi valoarea lui a :

-\sqrt{2}a+2=0

a=\frac{-2}{-\sqrt{2}}

a=\sqrt{2}

Expresia matematică a funcţiei liniare care trece prin punctele M şi N este:

f\left ( x \right )=\sqrt{2}x+2

Pentru a verifica dacă punctul P\left ( 2\sqrt{2},\, 6 \right ) este situat şi el pe graficul funcţiei f, calculăm f\left ( 2\sqrt{2} \right ):

f\left ( 2\sqrt{2} \right )=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}+2=6

Prin urmare,

P\left ( 2\sqrt{2},\, 6 \right )\in G_{f}

deci punctele M , N şi P sunt coliniare.

Ecuaţia de gradul I cu două necunoscute

Ecuaţia de forma

\displaystyle ax+by+c=0 cu \displaystyle a,b\in \mathbb{R}^{*},\: c\in \mathbb{R}

se numeşte ecuaţie de gradul I cu două necunoscute.

\displaystyle a , \displaystyle b  şi \displaystyle c  se numesc coeficienţii ecuaţiei.

Pentru orice \displaystyle x\in \mathbb{R} , se poate obţine \displaystyle y=\frac{-ax-c}{b} .

Prin urmare, ecuaţia are o infinitate de soluţii. Mulţimea soluţiilor este:

\displaystyle S=\left \{ \left ( x,y \right )\, |\, x\in \mathbb{R},\: y=\frac{-ax-c}{b} \right \}

Considerând perechile \displaystyle \left ( x,y \right ) ca fiind coordonatele unor puncte, mulţimea soluţiilor se poate reprezenta grafic într-un sistem cartezian. Reprezentarea grafică este o dreaptă, numită dreapta soluţiilor ecuaţiei \displaystyle ax+by+c=0 .

Pentru a reprezenta grafic dreapta soluţiilor, sunt suficiente două puncte, care se pot afla alegând două valori convenabile pentru variabila \displaystyle x şi calculând valorile \displaystyle y corespunzătoare.

Rezultatele se pot pune într-un tabel:

Dreapta soluţiilor este dreapta care trece prin punctele \displaystyle A şi \displaystyle B .


Aplicaţii
1. Reprezentaţi dreapta soluţiilor ecuaţiei \displaystyle 3x-2y=1.

Rezolvare:

Din expresia ecuaţiei se obţine formula de calcul a necunoscutei \displaystyle y :

\displaystyle 3x-1=2y\: \Rightarrow \: y=\frac{3x-1}{2}

Deoarece pentru reprezentarea unei drepte sunt suficiente două puncte, se aleg două valori convenabile pentru \displaystyle x şi se calculează valorile corespunzătoare ale lui \displaystyle y .

\displaystyle x \displaystyle -1 \displaystyle 1
\displaystyle y=\frac{3x-1}{2} \displaystyle -2 \displaystyle 1
Punctul: \displaystyle A\left ( -1,-2 \right ) \displaystyle B\left ( 1,1 \right )

Dreapta soluţiilor ecuaţiei \displaystyle 3x-2y=1 trece prin punctele \displaystyle A\left ( -1,-2 \right ) şi \displaystyle B\left ( 1,1 \right ).

Sisteme liniare de două ecuaţii cu două necunoscute

Atunci când este necesar să se afle perechea de numere \displaystyle \left ( x,\, y \right ) care verifică, în acelaşi timp, două ecuaţii diferite de gradul întâi cu două necunoscute, se spune că trebuie rezolvat sistemul

\displaystyle \left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{matrix}\right.

\displaystyle x şi \displaystyle y se numesc necunoscutele sistemului, iar \displaystyle a_{1},\: b_{1},\: c_{1},\: a_{2},\: b_{2},\: c_{2} se numesc coeficienţii sistemului.

Interpretare geometrică

Mulţimile soluţiilor celor două ecuaţii care formează sistemul pot fi reprezentate grafic într-un sistem ortogonal \displaystyle xOy prin două drepte.

Rezolvarea sistemului de două ecuaţii cu două necunoscute presupune determinarea punctelor comune ale celor două drepte.

Considerând ecuaţiile celor două drepte, \displaystyle a_{1}x+b_{1}y-c_{1}=0 , respectiv \displaystyle a_{2}x+b_{2}y-c_{2}=0 , pot fi întâlnite trei situaţii, în funcţie de valorile coeficienţilor \displaystyle a_{1},\: b_{1},\: c_{1},\: a_{2},\: b_{2},\: c_{2} .

  • Dacă \displaystyle \frac{a_{1}}{a_{2}}\neq \frac{b_{1}}{b_{2}} , dreptele sunt concurente. Sistemul are o soluţie unică şi spunem că este compatibil determinat.

 

  • Dacă \displaystyle \frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}= \frac{c_{1}}{c_{2}} , dreptele sunt confundate. Sistemul are o infinitate de soluţii şi spunem că este compatibil nedeterminat.

 

  • Dacă \displaystyle \frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}} , dreptele sunt paralele. Sistemul nu are soluţii şi spunem că este incompatibil.

 

Metode de rezolvare

Metoda substituţiei („substituţie” = „înlocuire”) se recomandă atunci când, într-una dintre ecuaţii, una dintre necunoscute are coeficientul \displaystyle \pm 1 . În acest caz, se extrage necunoscuta din ecuaţia respectivă şi se înlocuieşte în cealaltă ecuaţie.

Metoda reducerii. Se prelucrează sistemul astfel încât una dintre necunoscute să aibă, în cele două ecuaţii, coeficienţi opuşi. Apoi se adună ecuaţiile membru cu membru.

Metoda grafică. Se reprezintă grafic dreptele soluţiilor celor două ecuaţii şi, tot grafic, se determină coordonatele punctului de intersecţie al celor două drepte.


Aplicaţii

1. Să se rezolve sistemul:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=5\\ -2x+y=-4 \end{matrix}\right.

Rezolvare

Se poate aplica metoda substituţiei. Extragem necunoscuta y din prima ecuaţie:

\displaystyle y=5-x

şi o înlocuim în cea de-a doua ecuaţie:

\displaystyle -2x+\left ( 5-x \right )=-4

care devine astfel o ecuaţie de gradul I cu o singură necunoscută.

Se rezolvă ecuaţia şi se obţine valoarea lui \displaystyle x :

\displaystyle -2x+\left ( 5-x \right )=-4

\displaystyle -2x+5-x=-4

\displaystyle -3x+5=-4

\displaystyle 3x=9

\displaystyle x=3

Apoi se revine, pentru a calcula valoarea lui \displaystyle y:

\displaystyle y=5-3

\displaystyle y=2

Soluţia sistemului este perechea

\displaystyle \left ( x,y \right )=\left ( 3,2 \right )

2. Să se rezolve sistemul:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+y=-2\\ -5x-3y=2 \end{matrix}\right.

Rezolvare

Înmulţim prima ecuaţie cu \displaystyle 3 , apoi adunăm ecuaţiile membru cu membru:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} \; \; \; 3x+y=-2\, |\, \cdot 3\\ -5x-3y=2 \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.

\displaystyle \left\{\begin{matrix} \; 9x+3y=-6\, \\ -5x-3y=2 \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.

\displaystyle \overline{\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\;\;\;\; \; \; \; \;\;\;\; \; }\left ( + \right )

\displaystyle 4x=-4

\displaystyle x=-1

Substituim valoarea lui \displaystyle x în prima ecuaţie şi aflăm valoarea lui \displaystyle y :

\displaystyle 3\cdot \left ( -1 \right )+y=-2

\displaystyle y=1

Soluţia sistemului este perechea

\displaystyle \left ( x,y \right )=\left ( -1,1 \right )

3. Rezolvaţi sistemul:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x-3y=16\\ 3x-y=12 \end{matrix}\right.

prin metoda grafică.

Rezolvare

Se reprezintă grafic dreptele soluţiilor celor două ecuaţii, găsind câte două puncte pentru fiecare:

\displaystyle x-3y=16\, \Rightarrow \, y=\frac{x-16}{3}\, \Rightarrow \, \left\{\begin{matrix} A\left ( 1,-5 \right )\\ B\left ( 4,-4 \right ) \end{matrix}\right.

\displaystyle 3x-y=12\, \Rightarrow \, y=3x-12 \Rightarrow \, \left\{\begin{matrix} C\left ( 3,-3 \right )\\ D\left ( 4,\, 0 \right ) \end{matrix}\right.

Măsurând pe grafic, se găsesc coordonatele punctului de intersecţie al celor două drepte: \displaystyle P \left ( \frac{5}{2},-\frac{9}{2} \right ) .

Soluţia sistemului este perechea

\displaystyle \left ( x,y \right )= \left ( \frac{5}{2},-\frac{9}{2} \right )

Ecuaţia de gradul al doilea

Ecuaţia de forma \displaystyle x^{2}=a unde \displaystyle a\in \mathbb{Q}_{+}

Ecuaţia de forma \displaystyle x^{2}=a are două soluţii: \displaystyle x=\pm \sqrt{a} , deci \displaystyle S=\left \{ -\sqrt{a},\, \sqrt{a} \right \} .

 

Ecuaţia de forma \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 , cu \displaystyle a,b,c\in \mathbb{R},\, a\neq 0

Natura soluţiilor ecuaţiei depinde de discriminantul acesteia:

\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac

1° Dacă \displaystyle \Delta >0 , ecuaţia are două soluţii reale distincte, care se determină cu formulele:

\displaystyle x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}

\displaystyle x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}

2° Dacă \displaystyle \Delta =0 , ecuaţia are două soluţii reale egale între ele:

\displaystyle x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}

3° Dacă \displaystyle \Delta <0 , ecuaţia nu are soluţii reale.

 

Factorizarea expresiei pătratice

Expresia de forma \displaystyle E\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c se poate factoriza numai dacă \displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\geq 0 .

Etape:

1. Se determină soluţiile \displaystyle x_{1} şi x_{2} ale ecuaţiei \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 .

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}

2. Descompunerea în factori a expresiei pătratice va fi:

\displaystyle E\left ( x \right )=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )


Aplicaţii:

1. Descompuneţi în factori expresia \displaystyle E\left ( x \right )=9x^{2}-4x-5 .

Rezolvare

Se obţin soluţiile ecuaţiei \displaystyle 9x^{2}-4x-5=0 .

Coeficienţii ecuaţiei sunt:

\displaystyle a=9 \displaystyle b=-4 \displaystyle c=-5

Se calculează discriminantul:

\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=16-4\cdot 9\cdot \left ( -5 \right )=196

\displaystyle \sqrt{\Delta }=14

Soluţiile ecuaţiei sunt:

\displaystyle x_{1}=\frac{4+14}{18}=1

\displaystyle x_{2}=\frac{4-14}{18}=-\frac{5}{9}

Descompunerea în factori a expresiei va fi:

\displaystyle E\left ( x \right )=9\left ( x-1 \right )\left ( x+\frac{5}{9} \right )

Introducând factorul \displaystyle 9 în cea de-a doua paranteză, se obţine:

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( x-1 \right )\left ( 9x+5.\right)