Lungimea unui segment. Mijlocul segmentului. Centrul de greutate al triunghiului

Lungimea unui segment în sistemul cartezian \displaystyle xOy

Dacă \displaystyle A\left ( x_{A},\, y_{A} \right ) şi \displaystyle B\left ( x_{B},\, y_{B} \right ) sunt două puncte în sistemul cartezian \displaystyle xOy , atunci lungimea segmentului \displaystyle \left [ AB \right ] se determină cu formula:

\displaystyle AB=\sqrt{\left ( x_{B}-x_{A} \right )^2+\left ( y_{B}-y_{A} \right )^2}

Poziţia punctului care împarte un segment într-un raport dat. Mijlocul segmentului

Dacă punctul \displaystyle P\left ( x_{P},\, y_{P} \right ) este situat pe segmentul \displaystyle \left [ AB \right ] , astfel încât \displaystyle \overrightarrow{AP}=k\cdot \overrightarrow{PB} , atunci coordonatele punctului \displaystyle P se determină cu relaţiile:

\displaystyle x_{P}=\frac{x_{A}+kx_{B}}{1+k};\; y_{P}=\frac{y_{A}+ky_{B}}{1+k}

În cazul particular în care \displaystyle M este mijlocul segmentului \displaystyle \left [ AB \right ] , \displaystyle \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB} , respectiv \displaystyle k=1 .

Coordonatele mijlocului segmentului \displaystyle \left [ AB \right ] sunt medii aritmetice ale coordonatelor punctelor \displaystyle A şi \displaystyle B .

\displaystyle x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\; y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}

Centrul de greutate al triunghiului

Centrul de greutate al triunghiului se află la intersecţia medianelor.

Pe oricare dintre mediane, centrul de greutate este situat la două treimi faţă de vârf şi la o treime faţă de bază.

Coordonatele centrului de greutate \displaystyle G al triunghiului \displaystyle \triangle ABC sunt medii aritmetice ale coordonatelor vârfurilor \displaystyle A , \displaystyle B şi \displaystyle C .

\displaystyle x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3};\; y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}

Funcţii egale. Restricţii şi prelungiri de funcţii

Două funcţii \displaystyle f şi \displaystyle g sunt egale dacă:

  • au acelaşi domeniu de definiţie
  • au acelaşi codomeniu
  • au valori egale în orice punct al domeniului de definiţie: \displaystyle f\left ( x \right )=g\left ( x \right ),\; \left ( \forall \right )x\in A

Dacă două funcţii sunt egale, graficele lor coincid.

Dacă \displaystyle f:A\rightarrow \mathbb{R} şi \displaystyle g:B\rightarrow \mathbb{R} , astfel încât \displaystyle A\subset B şi \displaystyle f\left ( x \right )=g\left ( x \right ),\; \left ( \forall \right )x\in A , atunci funcţia \displaystyle f se numeşte restricţia funcţiei \displaystyle g la mulţimea \displaystyle A , iar funcţia \displaystyle g se numeşte prelungirea funcţiei \displaystyle f de la mulţimea \displaystyle A la mulţimea \displaystyle B .

O funcţie definită pe \displaystyle A poate avea mai multe prelungiri la mulţimea \displaystyle B , unde \displaystyle A\subset B .

Imaginea şi preimaginea unei funcţii

Se consideră funcţia \displaystyle f:A\rightarrow B .

Fie \displaystyle I o submulţime a mulţimii \displaystyle A . Mulţimea tuturor valorilor pe care le poate lua funcţia \displaystyle f atunci când \displaystyle x\in I se numeşte imaginea mulţimii \displaystyle I prin funcţia \displaystyle f şi se notează \displaystyle f\left ( I \right ) .

\displaystyle f\left ( I \right )=\left \{ f\left ( x \right )\: |\: x\in I \right \}

Dacă \displaystyle I=A , atunci mulţimea tuturor valorilor pe care le poate lua funcţia \displaystyle f se numeşte imaginea funcţiei \displaystyle f şi se notează \displaystyle \textrm{Im} f .

Dacă \displaystyle E este o submulţime a mulţimii \displaystyle B , mulţimea tuturor valorilor \displaystyle x din \displaystyle A , care corespund valorilor \displaystyle y din \displaystyle E se numeşte pre-imaginea mulţimii \displaystyle E prin funcţia \displaystyle f şi se notează \displaystyle f^{-1}\left ( E \right ) .

\displaystyle f^{-1}\left ( E \right )=\left \{ x\in A\: |\: f\left ( x \right )\in E \right \}

Graficul unei funcţii

Funcţiile sunt utilizate pentru descrierea matematică a situaţiilor reale în care mărimi de natură fizică, economică, socială etc. depind de alte mărimi.

O funcţie este o regulă care asociază fiecărui element  din mulţimea , numită domeniu de definiţie, un singur element  din mulţimea , numită codomeniu.

Se notează

\displaystyle f:A\rightarrow B,\; f\left ( x \right )=y

Variabila \displaystyle x poate lua orice valoare din mulţimea \displaystyle A , prin urmare este variabila independentă. Variabila \displaystyle y=f\left ( x \right ) se numeşte variabila dependentă, deoarece valoarea ei depinde de valoarea lui \displaystyle x .

Dacă \displaystyle A şi \displaystyle B sunt submulţimi ale lui , funcţia \displaystyle f se numeşte funcţie reală de variabilă reală.

Reprezentarea grafică a funcţiei este extrem de utilă, deoarece astfel se pot obţine informaţii asupra fenomenului studiat care ar fi greu de perceput doar din expresia matematică sau dintr-un tabel de valori.

Graficul funcţiei \displaystyle f este mulţimea tuturor perechilor ordonate \displaystyle \left ( x,\, f\left ( x \right ) \right ) .

\displaystyle G_{f}=\left \{ \left ( x,y \right ) |\: x\in A\; \textrm{\c{s}i}\: y=f\left ( x \right ) \right \}

Reprezentarea mulţimii \displaystyle G_{f} într-un sistem de coordonate se numeşte reprezentarea grafică a funcţiei \displaystyle f .

O curbă reprezentată în sistemul cartezian \displaystyle xOy poate fi graficul unei funcţii dacă orice verticală intersectează curba în cel mult un punct.

Curba din figură poate reprezenta graficul unei funcţii, deoarece valorii \displaystyle x îi corespunde o singură valoare \displaystyle y
Curba NU poate reprezenta graficul unei funcţii, deoarece valorii \displaystyle x îi corespund două valori \displaystyle y_{1} şi \displaystyle y_{2}

 

Ecuaţii logaritmice

Ecuaţia în care necunoscuta este conţinută în baza sau în argumentul unui logaritm se numeşte ecuaţie logaritmică.

Prima etapă a rezolvării unei ecuaţii logaritmice constă în aflarea domeniului de existenţă. Argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv, iar baza trebuie să fie strict pozitivă şi diferită de \displaystyle 1 .

Metoda I. Pentru rezolvarea ecuaţiei exponenţiale se ţine cont de echivalenţa:

\displaystyle \log_{a}x=\log_{a}y\; \Leftrightarrow \; x=y   pentru oricare  \displaystyle a\in \left ( 0,\, +\infty \right )\setminus \left \{ 1 \right \}


Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia:

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=\log_{\sqrt{5}}\left ( x-1 \right )

Se stabileşte, mai întâi, domeniul de existenţă:

\displaystyle \left. \begin{array}{l} x^{2}-1>0\; \Rightarrow\; x\in \left ( -\infty ,\, -1 \right )\cup \left ( 1,\, +\infty \right ) \\ \\ x-1>0\; \Rightarrow \; x\in \left ( 1,\, +\infty \right ) \end{array} \right \}\; \Rightarrow \; D=\left ( 1,\, +\infty \right )

Se aduc logaritmii la aceeaşi bază:

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=\frac{\log_{5}\left ( x-1 \right )}{\log_{5}\sqrt{5}}

Se rescrie ecuaţia, folosind regulile de calcul cu logaritmi:

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=\frac{\log_{5}\left ( x-1 \right )}{\frac{1}{2}}

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=2\cdot \log_{5}\left ( x-1 \right )

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=\log_{5}\left ( x-1 \right )^{2}

Prin urmare, se va rezolva ecuaţia:

\displaystyle \left ( x^{2}-1 \right )=\left ( x-1 \right )^{2}

\displaystyle x^{2}-1=x^{2}-2x+1

\displaystyle 2x=2

Se obţine soluţia \displaystyle x=1 care nu convine, deoarece nu aparţine domeniului de definiţie.

În final, \displaystyle S=\varnothing .


Metoda II. Dacă în ecuaţie logaritmul se află la diverse puteri, se poate utiliza substituţia \displaystyle \log_{a}x=t pentru a transforma ecuaţia logaritmică într-o ecuaţie polinomială.


Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia:

\displaystyle \log_{2}^{2}\left ( 2x \right )+3\log_{2}x=37

Se stabileşte domeniul de definiţie

\displaystyle x\in \left ( 0,\, +\infty \right )

Se rescrie ecuaţia, folosind regulile de calcul cu logaritmi, pentru a pune în evidenţă puterile lui \displaystyle \log_{2}x :

\displaystyle \left (\log_{2}2+\log_{2}x \right )^{2}+3\log_{2}x=37

\displaystyle \left (1+\log_{2}x \right )^{2}+3\log_{2}x=37

\displaystyle 1+2\log_{2}x+\log_{2}^{2}x +3\log_{2}x=37

\displaystyle \log_{2}^{2}x +5\log_{2}x-36=0

Notând \displaystyle \log_{2}x =t , se obţine ecuaţia de gradul al doilea:

\displaystyle t^{2}+5t-36=0

cu soluţiile \displaystyle t_{1}=-9 şi \displaystyle t_{2}=4

Apoi se rezolvă:

\displaystyle \begin{array}{l} \log_{2}x=-9\; \Rightarrow \; x_{1}=2^{-9}\; \Rightarrow \; x_{1}=\frac{1}{512}\\ \\ \log_{2}x=4\; \Rightarrow \; x_{2}=2^{4}\; \Rightarrow \; x_{2}=16 \end{array}

În final, mulţimea soluţilor este \displaystyle S=\left \{ \frac{1}{512};\: 16 \right \} .

Ecuaţii exponenţiale

Ecuaţia în care necunoscuta se află la exponent se numeşte ecuaţie exponenţială.

Metoda I. Pentru rezolvarea ecuaţiei exponenţiale se ţine cont de echivalenţa:

\displaystyle a^{x}=a^{y}\; \Leftrightarrow \; x=y ,   pentru oricare  \displaystyle a\in \left ( 0,\, +\infty \right )\setminus \left \{ 1 \right \}


Exemplu:

Pentru a rezolva ecuaţia

\displaystyle \sqrt[3]{\left ( \frac{3}{2} \right )^{\left | x \right |}}=\frac{27}{8}

se rescriu cei doi membri ai ecuaţiei ca puteri ale aceleiaşi baze:

\displaystyle \left ( \frac{3}{2} \right )^{\frac{\left | x \right |}{3}}=\left ( \frac{3}{2} \right )^{3}

Prin urmare,

\displaystyle \frac{\left | x \right |}{3}=3

\displaystyle \left | x \right |=9

\displaystyle x=\pm 9\; \Leftrightarrow \; S=\left \{ -9;\, 9 \right \}


Metoda II. Se poate utiliza substituţia \displaystyle a^{x}=t pentru a transforma ecuaţia exponenţială într-o ecuaţie polinomială. În acest caz, trebuie pusă condiţia de compatibilitate \displaystyle t>0 .


Exemplu:

Pentru a rezolva ecuaţia

\displaystyle 16^{x}+2\cdot 4^{x}-15=0

Se poate observa că

\displaystyle 16^{x}=\left ( 4^{2} \right )^{x}=\left ( 4^{x} \right )^{2}

Notând

\displaystyle 4^{x}=t,\; t>0

se obţine ecuaţia de gradul al doilea:

\displaystyle t^{2}+2t-15=0

cu soluţiile \displaystyle t_{1}=3 şi \displaystyle t_{2}=-5 care nu convine, deoarece este negativă.

Se obţine, în final

\displaystyle 4^{x}=3

din care

\displaystyle x=\log _{4} 3


Metoda III. Pentru a rezolva ecuaţiile de tipul \displaystyle a^{x}+b^{x}=n , cu \displaystyle a\neq b , se poate folosi propoziţia:

„Dacă funcţia \displaystyle f este strict monotonă şi dacă există \displaystyle x_{0}\in \mathbb{R} , astfel încât \displaystyle f\left ( x_{0} \right )=n , atunci \displaystyle x_{0} este unica soluţie a ecuaţiei \displaystyle f\left ( x \right )=n .”


Exemplu:

Pentru a rezolva ecuaţia

\displaystyle 2^{x}+4^{x}=72

se poate observa că \displaystyle x=3 este soluţie a ecuaţiei.

Expresia din stânga egalităţii, şi anume \displaystyle f\left ( x \right )=2^{x}+4^{x} , este o funcţie strict crescătoare, prin urmare, soluţia \displaystyle x=3 este unica soluţie a ecuaţiei \displaystyle 2^{x}+4^{x}=72 .

Ecuaţii polinomiale de grad superior

Ecuaţii binome şi ecuaţii trinome

Ecuaţia binomă are doi termeni, dintre care unul conţine necunoscuta la o anumită putere.

Forma generală a unei ecuaţii binome este

\displaystyle x^{n}-a=0,\; a\in \mathbb{C},\; n\in \mathbb{N}^{*}

Ecuaţia are \displaystyle n soluţii, reale şi/sau complexe şi se poate rezolva prin descompunere în factori sau prin scrierea lui \displaystyle a sub formă trigonometrică:

\displaystyle x^{n}=a

\displaystyle a=\left | a \right |\left ( \cos{\varphi}+i \sin{\varphi } \right )

unde \displaystyle \varphi \in \left [0,\, 2\pi \right ) .

Soluţiile ecuaţiei binome se pot determina cu relaţia:

\displaystyle x_{k}=\sqrt[n]{\left | a \right |}\left ( \cos{\frac{\varphi +2k\pi }{n}} +i \sin{\frac{\varphi +2k\pi }{n}}\right ),\; k=0,\, 1,\, 2,\, \ldots,\, \left (n-1 \right )

Ecuaţia trinomă are forma

\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c=0,\; a,b,c\in \mathbb{C},\; n\in \mathbb{N}^{*}

şi se rezolvă efectuând substituţia

\displaystyle x^{n}=t\; \Rightarrow \; x^{2n}=t^{2}

Se obţine ecuaţia

\displaystyle at^{2}+bt+c=0

cu soluţiile

\displaystyle t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}

În final, se rezolvă ecuaţiile binome

\displaystyle x^{n}=t_{1}   şi  \displaystyle x^{n}=t_{2}

obţinându-se, astfel, cele \displaystyle 2n soluţii ale ecuaţiei.

Ecuaţii polinomiale de gradul al 3-lea

Ecuaţia de gradul al treilea, de forma

\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\; a\neq 0

se poate rezolva prin factorizare, deoarece are, întotdeauna, cel puţin o soluţie reală.

Dacă ecuaţia are soluţii întregi, ele se află printre divizorii termenului liber.

Dacă ecuaţia are soluţii raţionale, de forma \displaystyle x=\frac{p}{q} , atunci \displaystyle p se află printre divizorii termenului liber \displaystyle d , iar \displaystyle q se află printre divizorii coeficientului dominant \displaystyle a .

Atunci când descompunerea în factori nu este evidentă, se poate găsi, prin încercări, o soluţie întreagă a ecuaţiei, iar factorizarea se face fie prin calcul, fie cu ajutorul Schemei lui Horner, fie utilizând algoritmul de împărţire a polinoamelor.

În cazul în care termenul liber are mulţi divizori, pentru a reduce numărul de încercări se poate utiliza Regula semnelor a lui Descartes:

  • Numărul soluţiilor pozitive, dacă există, este egal sau mai mic cu un număr par decât numărul de schimbări de semn al ecuaţiei date.
  • Numărul soluţiilor negative, dacă există, este egal sau mai mic cu un număr par decât numărul de schimbări de semn al ecuaţiei obţinute după substituirea lui \displaystyle x cu \displaystyle \left (-x \right )

 

Ecuaţii polinomiale de grad mai mare sau egal cu 4

Ecuaţiile de gradul al patrulea sau mai mare se pot rezolva prin descompunere în factori, căutând, prin încercări, o soluţie întreagă printre divizorii termenului liber.

Dacă, de exemplu, soluţia găsită este \displaystyle x_{1} , unul dintre factorii ecuaţiei date este \displaystyle \left (x-x_{1} \right ) , iar celălat factor se poate obţine fie prin calcul, fie cu ajutorul Schemei lui Horner, fie utilizând algoritmul de împărţire a polinoamelor.

Un caz particular îl reprezintă ecuaţiile reciproce.

Se numeşte ecuaţie reciprocă, o ecuaţie în care coeficienţii termenilor egal depărtaţi de extreme sunt fie egali, fie opuşi, de tipul:

\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,\; a\neq 0

sau

\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,\; a\neq 0

În cazul ecuaţiilor reciproce de grad par cu coeficienţi pozitivi, se împarte relaţia cu \displaystyle x^{2} şi se notează

\displaystyle x+\frac{1}{x}=t

Pentru ecuaţia reciprocă de gradul patru, ştiind că

\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2

se obţine ecuaţia

\displaystyle at^{2}+bt+c-2a=0

cu soluţiile \displaystyle t_{1,2} , apoi se rezolvă ecuaţiile de gradul al doilea

\displaystyle x+\frac{1}{x}=t_{1}   şi  \displaystyle x+\frac{1}{x}=t_{2}

În cazul ecuaţiilor reciproce de grad impar, se grupează termenii egal depărtaţi de „centru” şi se dă factor comun „pe perechi”. În plus, orice ecuaţie reciprocă de grad impar are una dintre soluţii \displaystyle x=-1 sau \displaystyle x=1 .

Inele, corpuri, morfisme de inele şi de corpuri

Inel

Un triplet \displaystyle \left ( M,\: \circ,\: \ast \right ) , \displaystyle M\neq \varnothing se numeşte inel dacă:

\displaystyle 1^{\circ} \displaystyle \left (M,\: \circ \right ) este grup abelian.

\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \left (x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left (y \circ z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M \\\\ \left ( \exists \right )e\in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ e=e \circ x=x,\; \left ( \forall \right )x\in M \\\\ \left ( \forall \right )x\in M,\; \left ( \exists \right )x'\in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ x'=x' \circ x=e \\\\ x \circ y = y \circ x,\; \left ( \forall \right )x,y\in M \end{array} \right.

\displaystyle 2^{\circ} \displaystyle \left (M,\: \ast \right ) este monoid

\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \left (x \ast y \right ) \ast z=x \ast \left (y \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M \\\\ \left ( \exists \right ) \varepsilon \in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast \varepsilon = \varepsilon \ast x=x,\; \left ( \forall \right )x\in M \end{array} \right.

\displaystyle 3^{\circ} Legea ” \displaystyle \ast ” este distributivă faţă de legea ” \displaystyle \circ ”.

\displaystyle x \ast \left ( y \circ z \right ) = \left ( x \ast y \right ) \circ \left ( x \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M

În plus, dacă legea ” \displaystyle \ast ” este comutativă, se spune că inelul este comutativ.

Corp

Un triplet \displaystyle \left ( K,\: \circ,\: \ast \right ) , în care \displaystyle K are cel puţin două elemente, se numeşte corp dacă:

\displaystyle 1^{\circ} \displaystyle \left ( K,\: \circ,\: \ast \right ) este inel.

\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \left (x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left (y \circ z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in K \\ \\ \left ( \exists \right )e\in K\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ e=e \circ x=x,\; \left ( \forall \right )x\in K \\ \\ \left ( \forall \right )x\in K,\; \left ( \exists \right )x'\in K\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ x'=x' \circ x=e \\ \\ x \circ y = y \circ x,\; \left ( \forall \right )x,y\in K \\ \\ \left (x \ast y \right ) \ast z=x \ast \left (y \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in K \\ \\ \left ( \exists \right )\varepsilon \in K\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast \varepsilon = \varepsilon \ast x=x,\; \left ( \forall \right )x\in K \\ \\x \ast \left ( y \circ z \right ) = \left ( x \ast y \right ) \circ \left ( x \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in K \end{array} \right.

\displaystyle 2^{\circ} \displaystyle \left ( \forall \right )x\in K, \; x\neq e,\; \left ( \exists \right )x^{-1}\in K\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\;x \ast x^{-1} = x^{-1} \ast x = \varepsilon

În plus, dacă legea ” \displaystyle \ast ” este comutativă, atunci corpul \displaystyle K este corp comutativ.

Morfisme de inele şi de corpuri

Se consideră două inele (sau corpuri): \displaystyle \left (A,\: \circ,\: \ast \right ) şi \displaystyle \left (B,\: \oplus ,\: \odot \right ) .

O funcţie \displaystyle f:A\rightarrow B se numeşte morfism de inele (sau morfism de corpuri) dacă:

\displaystyle f\left ( x \circ y \right ) = f\left ( x \right ) \oplus f\left ( y \right ),\; \left ( \forall \right )x,y\in A

şi

\displaystyle f\left ( x \ast y \right ) = f\left ( x \right ) \odot f\left ( y \right ),\; \left ( \forall \right )x,y\in A

Dacă, în plus, funcţia  este bijectivă, atunci se numeşte izomorfism de inele (sau izomorfism de corpuri).

Monoizi, grupuri, morfisme şi izomorfisme de grupuri

Monoid

Un cuplu \displaystyle \left ( M,\: \circ \right ) , format din mulţimea nevidă \displaystyle M şi legea de compoziţie ” \displaystyle \circ ” se numeşte monoid dacă legea ” \displaystyle \circ ” este asociativă şi admite element neutru.

\displaystyle \left ( M,\: \circ \right )\; \textrm{monoid}\; \Leftrightarrow \; \left \{ \begin{array}{l} \left (x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left (y \circ z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M \\\\ \left ( \exists \right )e\in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ e=e \circ x=x,\; \left ( \forall \right )x\in M \end{array} \right.

Dacă, în plus, legea ” \displaystyle \circ ” este comutativă, atunci cuplul \displaystyle \left ( M,\: \circ \right ) se numeşte monoid comutativ.

\displaystyle \left ( M,\: \circ \right )\; \textrm{monoid\: comutativ}\; \Leftrightarrow \; \left \{ \begin{array}{l} \left (x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left (y \circ z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M \\\\ \left ( \exists \right )e\in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ e=e \circ x=x,\; \left ( \forall \right )x\in M \\\\ x \circ y=y \circ x,\: \left ( \forall \right )x,y\in M \end{array} \right.

Grup

Un cuplu \displaystyle \left ( G,\: \ast \right ) , format din mulţimea nevidă \displaystyle G şi legea de compoziţie ” \displaystyle \ast ” se numeşte grup dacă legea ” \displaystyle \ast ” este asociativă, admite element neutru şi orice element din \displaystyle G este simetrizabil faţă de legea ” \displaystyle \ast “.

\displaystyle \left ( G,\: \ast \right )\; \textrm{grup}\; \Leftrightarrow \; \left \{ \begin{array}{l} \left (x \ast y \right ) \ast z=x \ast \left (y \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in G \\\\ \left ( \exists \right )e\in G\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast e=e \ast x=x,\; \left ( \forall \right )x\in G \\\\ \left ( \forall \right )x\in G,\; \left ( \exists \right )x'\in G\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast x'=x' \ast x=e \end{array} \right.

Dacă, în plus, legea ” \displaystyle \ast ” este comutativă, atunci cuplul \displaystyle \left ( G,\: \ast \right ) se numeşte grup comutativ sau grup abelian.

\displaystyle \left ( G,\: \ast \right )\; \textrm{grup\; comutativ\: (abelian)}\; \Leftrightarrow \; \left \{ \begin{array}{l} \left (x \ast y \right ) \ast z=x \ast \left (y \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in G \\\\ \left ( \exists \right )e\in G\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast e=e \ast x=x,\; \left ( \forall \right )x\in G \\\\ \left ( \forall \right )x\in G,\; \left ( \exists \right )x'\in G\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast x'=x' \ast x=e \\\\ x \ast y = y \ast x,\; \left ( \forall \right )x,y\in G \end{array} \right.

Grup finit

Un grup \displaystyle \left ( G,\: \ast \right ) se numeşte grup finit dacă mulţimea \displaystyle G este finită.

Ordinul unui grup finit \displaystyle \left ( G,\: \ast \right ) este egal cu cardinalul (numărul elementelor) mulţimii \displaystyle G .

Morfisme şi izomorfisme de grupuri

Se consideră două grupuri, \displaystyle \left ( G,\: \circ \right ) şi \displaystyle \left ( H,\: \ast \right ) .

O funcţie \displaystyle f:G\rightarrow H se numeşte morfism de grupuri dacă

\displaystyle f\left ( x \circ y \right )=f\left ( x \right ) \ast f\left ( y \right ),\; \left ( \forall \right )x,y\in G

Dacă, în plus, funcţia  este bijectivă, atunci ea se numeşte izomorfism de grupuri.

Orice morfism \displaystyle f:G\rightarrow G se numeşte endomorfism de grupuri.

Orice izomorfism \displaystyle f:G\rightarrow G se numeşte automorfism de grupuri.

Două grupuri finite \displaystyle \left ( G,\: \circ \right ) şi \displaystyle \left ( H,\: \ast \right ) se numesc izomorfe dacă ordinele lor sunt egale (mulţimile \displaystyle G şi \displaystyle H au acelaşi număr de elemente), iar tablele operaţiilor celor două grupuri sunt structurate la fel.

Lege de compoziţie internă, parte stabilă, clase de resturi modulo n

Lege de compoziţie

Se numeşte lege de compoziţie (internă) sau operaţie algebrică binară o aplicaţie definită pe \displaystyle M\times M cu valori în \displaystyle M , care asociază fiecărei perechi \displaystyle \left ( x,y \right )\in M un unic element \displaystyle \left ( x\circ y \right )\in M .

Elementul \displaystyle \left ( x\circ y \right ) se numeşte compusul lui \displaystyle x cu \displaystyle y .

Pentru notaţia unei legi de compoziţie se pot utiliza diferite simboluri, de obicei altele decât cele utilizate în calculele aritmetice, de exemplu: \displaystyle \circ ,\: \ast ,\: \perp ,\: \odot ,\: \otimes , etc.

Tabla unei legi de compoziţie

Dacă \displaystyle M este o mulţime finită, de exemplu \displaystyle M=\left \{ x,y,z,t \right \} , iar ” \displaystyle \circ ” este o lege de compoziţie pe \displaystyle M  , atunci legea de compoziţie poate fi redată într-un tabel numit tabla legii de compoziţie.

Proprietăţi ale legilor de compoziţie

\displaystyle 1^{\circ} Asociativitatea

\displaystyle ``\circ ``\: \textrm{asociativ} \breve {\textrm{a}}\; \Leftrightarrow \; \left ( x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left ( y \circ z \right ),\: \left ( \forall \right )x,y,z\in M

\displaystyle 2^{\circ} Comutativitatea

\displaystyle ``\circ ``\: \textrm{comutativ} \breve {\textrm{a}}\; \Leftrightarrow \; x \circ y=y \circ x,\: \left ( \forall \right )x,y\in M

\displaystyle 3^{\circ} Elementul neutru

\displaystyle e\in M \; \textrm{element\, neutru} \; \Leftrightarrow \; x \circ e=e \circ x=x,\: \left ( \forall \right )x\in M

\displaystyle 4^{\circ} Elementul simetric

\displaystyle x'\in M \; \textrm{simetricul\, lui}\: x\; \Leftrightarrow \; x \circ x'=x' \circ x=e,\: \left ( \forall \right )x\in M

Parte stabilă

O submulţime nevidă \displaystyle H\subseteq M se numeşte parte stabilă a mulţimii \displaystyle M în raport cu legea de compoziţie\displaystyle \circ ” dacă

\displaystyle \left ( \forall \right )x,y\in H \; \Rightarrow \; \left (x \circ y \right )\in H

Clase de resturi modulo \displaystyle n

Fie numerele \displaystyle a,b\in \mathbb{Z} şi \displaystyle n\in \mathbb{N}^{*} .

Se spune că numărul \displaystyle a este congruent cu numărul \displaystyle b modulo \displaystyle n , dacă şi numai dacă cele două numere, \displaystyle a şi \displaystyle b , dau acelaşi rest \displaystyle r prin împărţirea la \displaystyle n .

\displaystyle a\equiv b\left ( \textrm{mod}\: n \right )\; \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=n\cdot c_{1}+r \\ b=n\cdot c_{2}+r \end{array} \right.,\; c_{1},c_{2},r\in \mathbb{Z},\; 0\leq r<n

sau

\displaystyle a\equiv b\left ( \textrm{mod}\: n \right ) dacă \displaystyle \frac{a-b}{n}\in \mathbb{Z}

Se notează \displaystyle \widehat{a} mulţimea tuturor numerelor întregi care dau acelaşi rest \displaystyle r prin împărţirea la \displaystyle n .

\displaystyle \widehat{a}=\left \{ b\in \mathbb{Z}\, |\, b\equiv a\left ( \textrm{mod}\: n \right ) \right \}

\displaystyle \widehat{a} se numeşte clasa lui \displaystyle a modulo \displaystyle n .

Mulţimea \displaystyle \mathbb{Z}_n=\left \{ \widehat{1},\widehat{2}, \widehat{3},\, \ldots,\, \widehat{n-1} \right \} se numeşte mulţimea claselor de resturi modulo \displaystyle n .

Operaţii în mulţimea claselor de resturi modulo \displaystyle n :

\displaystyle \widehat{a}+\widehat{b}=\widehat{a+b}

\displaystyle \widehat{a} \cdot \widehat{b}=\widehat{a \cdot b}