Distanţa de la un punct la o dreaptă. Aria triunghiului când se cunosc coordonatele vârfurilor

Distanţa de la punctul \displaystyle P\left ( x_{P},y_{P} \right ) la dreapta \displaystyle d:\: ax+by+c=0 se determină cu formula:

\displaystyle d\left ( P,\, d \right )=\frac{\left | ax_{P}+by_{P}+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

Pentru a determina distanţa dintre două drepte paralele, se alege un punct situat pe prima dreaptă şi se calculează distanţa de la punctul respectiv la cea de-a doua dreaptă.

Aria triunghiului determinat de punctele \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) , \displaystyle B\left ( x_{B},y_{B} \right ) şi \displaystyle C\left ( x_{C},y_{C} \right ) se poate determina cu relaţia

\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left | \Delta \right |

unde

\displaystyle \Delta =\begin{vmatrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{vmatrix}

Dacă \displaystyle \Delta =0 , atunci punctele \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) , \displaystyle B\left ( x_{B},y_{B} \right ) şi \displaystyle C\left ( x_{C},y_{C} \right ) sunt coliniare.

Drepte paralele. Drepte perpendiculare. Unghiul dintre două drepte

Se consideră dreptele \displaystyle d_{1} şi \displaystyle d_{2} , având ecuaţiile generale \displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 şi \displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 , respectiv ecuaţiile explicite \displaystyle y=m_{1}x+n_{1} şi \displaystyle y=m_{2}x+n_{2} .

Dreptele \displaystyle d_{1} şi \displaystyle d_{2} sunt paralele dacă şi numai dacă au aceeaşi pantă:

\displaystyle d_{1}\parallel d_{2}\; \Leftrightarrow \; m_{1}=m_{2}

sau

\displaystyle d_{1}\parallel d_{2}\; \Leftrightarrow \; \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}

Dacă \displaystyle \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}, atunci dreptele \displaystyle d_{1} şi \displaystyle d_{2} coincid.

Întrucât dreptele \displaystyle d_{1} şi \displaystyle d_{2} sunt coplanare, ambele fiind incluse în planul \displaystyle xOy , dacă cele două drepte nu sunt paralele, înseamnă că sunt concurente.

Punctul de concurenţă al dreptelor \displaystyle d_{1} şi \displaystyle d_{2} se poate determina rezolvând sistemul de ecuaţii:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\\ \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 \end{matrix}\right.

Dreptele \displaystyle d_{1} şi \displaystyle d_{2} sunt perpendiculare dacă şi numai dacă produsul pantelor lor este egal cu \displaystyle \left ( -1 \right ) :

\displaystyle d_{1}\perp d_{2}\; \Leftrightarrow \; m_{1}\cdot m_{2}=-1

sau

\displaystyle d_{1}\perp d_{2}\; \Leftrightarrow \; a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0

Unghiul ascuţit al dreptelor  \displaystyle d_{1} şi \displaystyle d_{2} este dat de relaţia:

\displaystyle \cos \alpha =\frac{\left | 1+m_{1}m_{2} \right |}{\sqrt{1+m_{1}^{2}}\cdot \sqrt{1+m_{2}^{2}}}

sau

\displaystyle \cos \alpha =\frac{\left | a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2} \right |}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\cdot \sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}

Ecuaţia dreptei

Ecuaţia generală a dreptei în sistemul cartezian \displaystyle xOy are forma \displaystyle ax+by+c=0 .

Ecuaţia de mai sus, pusă sub forma \displaystyle y=mx+n , se numeşte ecuaţia explicită a dreptei.

În ecuaţia explicită, \displaystyle m reprezintă panta dreptei (tangenta unghiului pe care îl face dreapta cu axa \displaystyle Ox .

Dreapta taie axa \displaystyle Oy în punctul \displaystyle P\left ( 0, n \right ) şi axa \displaystyle Ox în punctul \displaystyle Q\left ( -\frac{n}{m}, 0 \right ) .

Dreapta a cărei ecuaţie are forma \displaystyle x=a este verticala care trece prin punctul \displaystyle A\left ( a, 0 \right ) .
Dreapta a cărei ecuaţie are forma \displaystyle y=b este orizontala care trece prin punctul \displaystyle B\left ( 0, b \right ) .

Ecuaţia dreptei determinate de un punct şi de un vector

Vectorul a cărui direcţie coincide cu dreapta \displaystyle d se numeşte vectorul director al dreptei \displaystyle d .

Ecuaţia dreptei care trece prin punctul \displaystyle P\left ( x_{P},y_{P} \right ) şi al cărei vector director este \displaystyle \vec{v}\left ( v_{x},v_{y} \right ) ,

respectiv \displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j} este dată de relaţia:

\displaystyle \frac{x-x_{P}}{v_{x}}=\frac{y-y_{P}}{v_{y}}

Ecuaţia dreptei determinate de un punct şi de o direcţie dată

Ecuaţia dreptei care trece prin punctul \displaystyle P\left ( x_{P},y_{P} \right ) şi a cărei pantă este egală cu \displaystyle m este dată de relaţia:

\displaystyle y-y_{P}=m\left ( x-x_{P} \right )

Ecuaţia dreptei determinate de două puncte

Ecuaţia dreptei care trece prin punctele \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) şi \displaystyle B\left ( x_{B},y_{B} \right ) este dată de relaţia:

\displaystyle \frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}

sau

\displaystyle \left | \begin{matrix} x & y & 1 \\ x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \end{matrix} \right |=0

Panta dreptei determinate de punctele \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) şi \displaystyle B\left ( x_{B},y_{B} \right ) este

\displaystyle m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}

Ecuaţia dreptei prin tăieturi

Dacă punctele \displaystyle A\left ( a,0 \right ) şi \displaystyle B\left ( 0,b \right ) sunt punctele de intersecţie ale dreptei \displaystyle d cu axele \displaystyle Ox ,

respectiv \displaystyle Oy , atunci ecuaţia dreptei \displaystyle d este dată de relaţia

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0

 

Lungimea unui segment. Mijlocul segmentului. Centrul de greutate al triunghiului

Lungimea unui segment în sistemul cartezian \displaystyle xOy

Dacă \displaystyle A\left ( x_{A},\, y_{A} \right ) şi \displaystyle B\left ( x_{B},\, y_{B} \right ) sunt două puncte în sistemul cartezian \displaystyle xOy , atunci lungimea segmentului \displaystyle \left [ AB \right ] se determină cu formula:

\displaystyle AB=\sqrt{\left ( x_{B}-x_{A} \right )^2+\left ( y_{B}-y_{A} \right )^2}

Poziţia punctului care împarte un segment într-un raport dat. Mijlocul segmentului

Dacă punctul \displaystyle P\left ( x_{P},\, y_{P} \right ) este situat pe segmentul \displaystyle \left [ AB \right ] , astfel încât \displaystyle \overrightarrow{AP}=k\cdot \overrightarrow{PB} , atunci coordonatele punctului \displaystyle P se determină cu relaţiile:

\displaystyle x_{P}=\frac{x_{A}+kx_{B}}{1+k};\; y_{P}=\frac{y_{A}+ky_{B}}{1+k}

În cazul particular în care \displaystyle M este mijlocul segmentului \displaystyle \left [ AB \right ] , \displaystyle \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB} , respectiv \displaystyle k=1 .

Coordonatele mijlocului segmentului \displaystyle \left [ AB \right ] sunt medii aritmetice ale coordonatelor punctelor \displaystyle A şi \displaystyle B .

\displaystyle x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\; y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}

Centrul de greutate al triunghiului

Centrul de greutate al triunghiului se află la intersecţia medianelor.

Pe oricare dintre mediane, centrul de greutate este situat la două treimi faţă de vârf şi la o treime faţă de bază.

Coordonatele centrului de greutate \displaystyle G al triunghiului \displaystyle \triangle ABC sunt medii aritmetice ale coordonatelor vârfurilor \displaystyle A , \displaystyle B şi \displaystyle C .

\displaystyle x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3};\; y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}

Funcţii egale. Restricţii şi prelungiri de funcţii

Două funcţii \displaystyle f şi \displaystyle g sunt egale dacă:

  • au acelaşi domeniu de definiţie
  • au acelaşi codomeniu
  • au valori egale în orice punct al domeniului de definiţie: \displaystyle f\left ( x \right )=g\left ( x \right ),\; \left ( \forall \right )x\in A

Dacă două funcţii sunt egale, graficele lor coincid.

Dacă \displaystyle f:A\rightarrow \mathbb{R} şi \displaystyle g:B\rightarrow \mathbb{R} , astfel încât \displaystyle A\subset B şi \displaystyle f\left ( x \right )=g\left ( x \right ),\; \left ( \forall \right )x\in A , atunci funcţia \displaystyle f se numeşte restricţia funcţiei \displaystyle g la mulţimea \displaystyle A , iar funcţia \displaystyle g se numeşte prelungirea funcţiei \displaystyle f de la mulţimea \displaystyle A la mulţimea \displaystyle B .

O funcţie definită pe \displaystyle A poate avea mai multe prelungiri la mulţimea \displaystyle B , unde \displaystyle A\subset B .

Imaginea şi preimaginea unei funcţii

Se consideră funcţia \displaystyle f:A\rightarrow B .

Fie \displaystyle I o submulţime a mulţimii \displaystyle A . Mulţimea tuturor valorilor pe care le poate lua funcţia \displaystyle f atunci când \displaystyle x\in I se numeşte imaginea mulţimii \displaystyle I prin funcţia \displaystyle f şi se notează \displaystyle f\left ( I \right ) .

\displaystyle f\left ( I \right )=\left \{ f\left ( x \right )\: |\: x\in I \right \}

Dacă \displaystyle I=A , atunci mulţimea tuturor valorilor pe care le poate lua funcţia \displaystyle f se numeşte imaginea funcţiei \displaystyle f şi se notează \displaystyle \textrm{Im} f .

Dacă \displaystyle E este o submulţime a mulţimii \displaystyle B , mulţimea tuturor valorilor \displaystyle x din \displaystyle A , care corespund valorilor \displaystyle y din \displaystyle E se numeşte pre-imaginea mulţimii \displaystyle E prin funcţia \displaystyle f şi se notează \displaystyle f^{-1}\left ( E \right ) .

\displaystyle f^{-1}\left ( E \right )=\left \{ x\in A\: |\: f\left ( x \right )\in E \right \}

Graficul unei funcţii

Funcţiile sunt utilizate pentru descrierea matematică a situaţiilor reale în care mărimi de natură fizică, economică, socială etc. depind de alte mărimi.

O funcţie este o regulă care asociază fiecărui element  din mulţimea , numită domeniu de definiţie, un singur element  din mulţimea , numită codomeniu.

Se notează

\displaystyle f:A\rightarrow B,\; f\left ( x \right )=y

Variabila \displaystyle x poate lua orice valoare din mulţimea \displaystyle A , prin urmare este variabila independentă. Variabila \displaystyle y=f\left ( x \right ) se numeşte variabila dependentă, deoarece valoarea ei depinde de valoarea lui \displaystyle x .

Dacă \displaystyle A şi \displaystyle B sunt submulţimi ale lui , funcţia \displaystyle f se numeşte funcţie reală de variabilă reală.

Reprezentarea grafică a funcţiei este extrem de utilă, deoarece astfel se pot obţine informaţii asupra fenomenului studiat care ar fi greu de perceput doar din expresia matematică sau dintr-un tabel de valori.

Graficul funcţiei \displaystyle f este mulţimea tuturor perechilor ordonate \displaystyle \left ( x,\, f\left ( x \right ) \right ) .

\displaystyle G_{f}=\left \{ \left ( x,y \right ) |\: x\in A\; \textrm{\c{s}i}\: y=f\left ( x \right ) \right \}

Reprezentarea mulţimii \displaystyle G_{f} într-un sistem de coordonate se numeşte reprezentarea grafică a funcţiei \displaystyle f .

O curbă reprezentată în sistemul cartezian \displaystyle xOy poate fi graficul unei funcţii dacă orice verticală intersectează curba în cel mult un punct.

Curba din figură poate reprezenta graficul unei funcţii, deoarece valorii \displaystyle x îi corespunde o singură valoare \displaystyle y
Curba NU poate reprezenta graficul unei funcţii, deoarece valorii \displaystyle x îi corespund două valori \displaystyle y_{1} şi \displaystyle y_{2}

 

Ecuaţii logaritmice

Ecuaţia în care necunoscuta este conţinută în baza sau în argumentul unui logaritm se numeşte ecuaţie logaritmică.

Prima etapă a rezolvării unei ecuaţii logaritmice constă în aflarea domeniului de existenţă. Argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv, iar baza trebuie să fie strict pozitivă şi diferită de \displaystyle 1 .

Metoda I. Pentru rezolvarea ecuaţiei exponenţiale se ţine cont de echivalenţa:

\displaystyle \log_{a}x=\log_{a}y\; \Leftrightarrow \; x=y   pentru oricare  \displaystyle a\in \left ( 0,\, +\infty \right )\setminus \left \{ 1 \right \}


Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia:

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=\log_{\sqrt{5}}\left ( x-1 \right )

Se stabileşte, mai întâi, domeniul de existenţă:

\displaystyle \left. \begin{array}{l} x^{2}-1>0\; \Rightarrow\; x\in \left ( -\infty ,\, -1 \right )\cup \left ( 1,\, +\infty \right ) \\ \\ x-1>0\; \Rightarrow \; x\in \left ( 1,\, +\infty \right ) \end{array} \right \}\; \Rightarrow \; D=\left ( 1,\, +\infty \right )

Se aduc logaritmii la aceeaşi bază:

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=\frac{\log_{5}\left ( x-1 \right )}{\log_{5}\sqrt{5}}

Se rescrie ecuaţia, folosind regulile de calcul cu logaritmi:

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=\frac{\log_{5}\left ( x-1 \right )}{\frac{1}{2}}

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=2\cdot \log_{5}\left ( x-1 \right )

\displaystyle \log_{5}\left ( x^{2}-1 \right )=\log_{5}\left ( x-1 \right )^{2}

Prin urmare, se va rezolva ecuaţia:

\displaystyle \left ( x^{2}-1 \right )=\left ( x-1 \right )^{2}

\displaystyle x^{2}-1=x^{2}-2x+1

\displaystyle 2x=2

Se obţine soluţia \displaystyle x=1 care nu convine, deoarece nu aparţine domeniului de definiţie.

În final, \displaystyle S=\varnothing .


Metoda II. Dacă în ecuaţie logaritmul se află la diverse puteri, se poate utiliza substituţia \displaystyle \log_{a}x=t pentru a transforma ecuaţia logaritmică într-o ecuaţie polinomială.


Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia:

\displaystyle \log_{2}^{2}\left ( 2x \right )+3\log_{2}x=37

Se stabileşte domeniul de definiţie

\displaystyle x\in \left ( 0,\, +\infty \right )

Se rescrie ecuaţia, folosind regulile de calcul cu logaritmi, pentru a pune în evidenţă puterile lui \displaystyle \log_{2}x :

\displaystyle \left (\log_{2}2+\log_{2}x \right )^{2}+3\log_{2}x=37

\displaystyle \left (1+\log_{2}x \right )^{2}+3\log_{2}x=37

\displaystyle 1+2\log_{2}x+\log_{2}^{2}x +3\log_{2}x=37

\displaystyle \log_{2}^{2}x +5\log_{2}x-36=0

Notând \displaystyle \log_{2}x =t , se obţine ecuaţia de gradul al doilea:

\displaystyle t^{2}+5t-36=0

cu soluţiile \displaystyle t_{1}=-9 şi \displaystyle t_{2}=4

Apoi se rezolvă:

\displaystyle \begin{array}{l} \log_{2}x=-9\; \Rightarrow \; x_{1}=2^{-9}\; \Rightarrow \; x_{1}=\frac{1}{512}\\ \\ \log_{2}x=4\; \Rightarrow \; x_{2}=2^{4}\; \Rightarrow \; x_{2}=16 \end{array}

În final, mulţimea soluţilor este \displaystyle S=\left \{ \frac{1}{512};\: 16 \right \} .

Ecuaţii exponenţiale

Ecuaţia în care necunoscuta se află la exponent se numeşte ecuaţie exponenţială.

Metoda I. Pentru rezolvarea ecuaţiei exponenţiale se ţine cont de echivalenţa:

\displaystyle a^{x}=a^{y}\; \Leftrightarrow \; x=y ,   pentru oricare  \displaystyle a\in \left ( 0,\, +\infty \right )\setminus \left \{ 1 \right \}


Exemplu:

Pentru a rezolva ecuaţia

\displaystyle \sqrt[3]{\left ( \frac{3}{2} \right )^{\left | x \right |}}=\frac{27}{8}

se rescriu cei doi membri ai ecuaţiei ca puteri ale aceleiaşi baze:

\displaystyle \left ( \frac{3}{2} \right )^{\frac{\left | x \right |}{3}}=\left ( \frac{3}{2} \right )^{3}

Prin urmare,

\displaystyle \frac{\left | x \right |}{3}=3

\displaystyle \left | x \right |=9

\displaystyle x=\pm 9\; \Leftrightarrow \; S=\left \{ -9;\, 9 \right \}


Metoda II. Se poate utiliza substituţia \displaystyle a^{x}=t pentru a transforma ecuaţia exponenţială într-o ecuaţie polinomială. În acest caz, trebuie pusă condiţia de compatibilitate \displaystyle t>0 .


Exemplu:

Pentru a rezolva ecuaţia

\displaystyle 16^{x}+2\cdot 4^{x}-15=0

Se poate observa că

\displaystyle 16^{x}=\left ( 4^{2} \right )^{x}=\left ( 4^{x} \right )^{2}

Notând

\displaystyle 4^{x}=t,\; t>0

se obţine ecuaţia de gradul al doilea:

\displaystyle t^{2}+2t-15=0

cu soluţiile \displaystyle t_{1}=3 şi \displaystyle t_{2}=-5 care nu convine, deoarece este negativă.

Se obţine, în final

\displaystyle 4^{x}=3

din care

\displaystyle x=\log _{4} 3


Metoda III. Pentru a rezolva ecuaţiile de tipul \displaystyle a^{x}+b^{x}=n , cu \displaystyle a\neq b , se poate folosi propoziţia:

„Dacă funcţia \displaystyle f este strict monotonă şi dacă există \displaystyle x_{0}\in \mathbb{R} , astfel încât \displaystyle f\left ( x_{0} \right )=n , atunci \displaystyle x_{0} este unica soluţie a ecuaţiei \displaystyle f\left ( x \right )=n .”


Exemplu:

Pentru a rezolva ecuaţia

\displaystyle 2^{x}+4^{x}=72

se poate observa că \displaystyle x=3 este soluţie a ecuaţiei.

Expresia din stânga egalităţii, şi anume \displaystyle f\left ( x \right )=2^{x}+4^{x} , este o funcţie strict crescătoare, prin urmare, soluţia \displaystyle x=3 este unica soluţie a ecuaţiei \displaystyle 2^{x}+4^{x}=72 .

Ecuaţii polinomiale de grad superior

Ecuaţii binome şi ecuaţii trinome

Ecuaţia binomă are doi termeni, dintre care unul conţine necunoscuta la o anumită putere.

Forma generală a unei ecuaţii binome este

\displaystyle x^{n}-a=0,\; a\in \mathbb{C},\; n\in \mathbb{N}^{*}

Ecuaţia are \displaystyle n soluţii, reale şi/sau complexe şi se poate rezolva prin descompunere în factori sau prin scrierea lui \displaystyle a sub formă trigonometrică:

\displaystyle x^{n}=a

\displaystyle a=\left | a \right |\left ( \cos{\varphi}+i \sin{\varphi } \right )

unde \displaystyle \varphi \in \left [0,\, 2\pi \right ) .

Soluţiile ecuaţiei binome se pot determina cu relaţia:

\displaystyle x_{k}=\sqrt[n]{\left | a \right |}\left ( \cos{\frac{\varphi +2k\pi }{n}} +i \sin{\frac{\varphi +2k\pi }{n}}\right ),\; k=0,\, 1,\, 2,\, \ldots,\, \left (n-1 \right )

Ecuaţia trinomă are forma

\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c=0,\; a,b,c\in \mathbb{C},\; n\in \mathbb{N}^{*}

şi se rezolvă efectuând substituţia

\displaystyle x^{n}=t\; \Rightarrow \; x^{2n}=t^{2}

Se obţine ecuaţia

\displaystyle at^{2}+bt+c=0

cu soluţiile

\displaystyle t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}

În final, se rezolvă ecuaţiile binome

\displaystyle x^{n}=t_{1}   şi  \displaystyle x^{n}=t_{2}

obţinându-se, astfel, cele \displaystyle 2n soluţii ale ecuaţiei.

Ecuaţii polinomiale de gradul al 3-lea

Ecuaţia de gradul al treilea, de forma

\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\; a\neq 0

se poate rezolva prin factorizare, deoarece are, întotdeauna, cel puţin o soluţie reală.

Dacă ecuaţia are soluţii întregi, ele se află printre divizorii termenului liber.

Dacă ecuaţia are soluţii raţionale, de forma \displaystyle x=\frac{p}{q} , atunci \displaystyle p se află printre divizorii termenului liber \displaystyle d , iar \displaystyle q se află printre divizorii coeficientului dominant \displaystyle a .

Atunci când descompunerea în factori nu este evidentă, se poate găsi, prin încercări, o soluţie întreagă a ecuaţiei, iar factorizarea se face fie prin calcul, fie cu ajutorul Schemei lui Horner, fie utilizând algoritmul de împărţire a polinoamelor.

În cazul în care termenul liber are mulţi divizori, pentru a reduce numărul de încercări se poate utiliza Regula semnelor a lui Descartes:

  • Numărul soluţiilor pozitive, dacă există, este egal sau mai mic cu un număr par decât numărul de schimbări de semn al ecuaţiei date.
  • Numărul soluţiilor negative, dacă există, este egal sau mai mic cu un număr par decât numărul de schimbări de semn al ecuaţiei obţinute după substituirea lui \displaystyle x cu \displaystyle \left (-x \right )

 

Ecuaţii polinomiale de grad mai mare sau egal cu 4

Ecuaţiile de gradul al patrulea sau mai mare se pot rezolva prin descompunere în factori, căutând, prin încercări, o soluţie întreagă printre divizorii termenului liber.

Dacă, de exemplu, soluţia găsită este \displaystyle x_{1} , unul dintre factorii ecuaţiei date este \displaystyle \left (x-x_{1} \right ) , iar celălat factor se poate obţine fie prin calcul, fie cu ajutorul Schemei lui Horner, fie utilizând algoritmul de împărţire a polinoamelor.

Un caz particular îl reprezintă ecuaţiile reciproce.

Se numeşte ecuaţie reciprocă, o ecuaţie în care coeficienţii termenilor egal depărtaţi de extreme sunt fie egali, fie opuşi, de tipul:

\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,\; a\neq 0

sau

\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,\; a\neq 0

În cazul ecuaţiilor reciproce de grad par cu coeficienţi pozitivi, se împarte relaţia cu \displaystyle x^{2} şi se notează

\displaystyle x+\frac{1}{x}=t

Pentru ecuaţia reciprocă de gradul patru, ştiind că

\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2

se obţine ecuaţia

\displaystyle at^{2}+bt+c-2a=0

cu soluţiile \displaystyle t_{1,2} , apoi se rezolvă ecuaţiile de gradul al doilea

\displaystyle x+\frac{1}{x}=t_{1}   şi  \displaystyle x+\frac{1}{x}=t_{2}

În cazul ecuaţiilor reciproce de grad impar, se grupează termenii egal depărtaţi de „centru” şi se dă factor comun „pe perechi”. În plus, orice ecuaţie reciprocă de grad impar are una dintre soluţii \displaystyle x=-1 sau \displaystyle x=1 .