Matematica pentru Bacalaureat – Page 3

Partea întreagă şi partea fracţionară ale unui număr raţional

plusedu / July 12, 2021July 30, 2021 / Matematica pentru Bacalaureat

Se numeşte parte întreagă a unui număr $\displaystyle x\in \mathbb{Q}$ , cel mai mare număr întreg, mai mic sau egal cu numărul considerat.

Se notează $\displaystyle \left [ x \right ]$ .

Dacă $\displaystyle \left [ x \right ]=k,\; k\in \mathbb{Z}$ , atunci $\displaystyle k\leq x< k+1$ .

Partea fracţionară a numărului $\displaystyle x\in \mathbb{Q}$ , notată cu $\displaystyle \left \{ x \right \}$ , este egală cu diferenţa dintre numărul considerat şi partea lui întreagă.

$\displaystyle \left \{ x \right \}=x-\left [ x \right ]$

Proprietăţi:

$\displaystyle 1^{\circ}$ $\displaystyle \left [ x \right ]=x\; \Leftrightarrow \; x\in \mathbb{Z}$

$\displaystyle 2^{\circ}$ $\displaystyle x-1<\left [ x \right ]\leq x<\left [ x \right ]+1,\; \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R}$

$\displaystyle 3^{\circ}$ $\displaystyle \left [ x+n \right ]=\left [ x \right ]+n,\; \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R},\: \left ( \forall \right )n\in \mathbb{Z}$

$\displaystyle 4^{\circ}$ Identitatea lui Hermite:

$\displaystyle \left [ x \right ]+\left [ x+\frac{1}{n} \right ]+\left [ x+\frac{2}{n} \right ]+ \cdots+\left [ x+\frac{n-1}{n} \right ]=\left [ nx \right ]$

$\displaystyle \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R},\; \left ( \forall \right )n\in \mathbb{N}^{*}$

$\displaystyle 5^{\circ}$ $\displaystyle \left [ -x \right ]=\left\{\begin{matrix} -\left [ x \right ],\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\; x\in \mathbb{Z}\\ \\ -\left [ x \right ]-1,\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\; x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

Exemplu:

Să se determine partea întreagă şi partea fracţionară ale numerelor $\displaystyle 3,62$ şi $\displaystyle -11,48$ .

$\displaystyle 3<3,62<4\; \Rightarrow \; \left [ 3,62 \right ]=3$

$\displaystyle \left \{ 3,62 \right \}=3,62-3=0,62$

$\displaystyle -12<-11,48<-11\; \Rightarrow \; \left [ -11,48 \right ]=-12$

$\displaystyle \left \{ -11,48 \right \}=-11,48-\left ( -12 \right )=0,52$

Operaţii cu numere reale

plusedu / July 12, 2021 / Matematica pentru Bacalaureat

Proprietăţile operaţiilor cu numere reale

În mulţimea numerelor reale se consideră două operaţii, adunarea şi înmulţirea.

$\displaystyle \left ( \forall \right )x,y\in \mathbb{R},\; x+y\in \mathbb{R}$

$\displaystyle \left ( \forall \right )x,y\in \mathbb{R},\; x\cdot y\in \mathbb{R}$

Adunarea are următoarele proprietăţi:

$1^{\circ}$ Asociativitate

$\displaystyle \left ( x+y \right )+z=x+\left ( y+z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in \mathbb{R}$

$2^{\circ}$ Comutativitate

$\displaystyle x+y=y+x,\; \left ( \forall \right )x,y\in \mathbb{R}$

$3^{\circ}$ Numărul $0$ este element neutru pentru adunare.

$\displaystyle x+0=0+x=x,\; \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R}$

$4^{\circ}$ Pentru orice număr real $x$ , există un număr opus, notat $\left ( -x \right )$ , astfel încât

$\displaystyle x+\left ( -x \right )=\left ( -x \right )+x=0,\; \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R}$

Se consideră că $\displaystyle -0=0$

Scăderea poate fi definită ca fiind adunarea descăzutului cu opusul scăzătorului:

$\displaystyle x-y=x+\left ( -y \right ),\; \left ( \forall \right )x,y\in \mathbb{R}$

Proprietăţile înmulţirii:

$1^{\circ}$ Asociativitate

$\displaystyle \left ( x\cdot y \right )\cdot z=x\cdot \left ( y\cdot z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in \mathbb{R}$

$2^{\circ}$ Comutativitate

$\displaystyle x\cdot y=y\cdot x,\; \left ( \forall \right )x,y\in \mathbb{R}$

$3^{\circ}$ Numărul $1$ este element neutru pentru înmulţire.

$\displaystyle x\cdot 1=1\cdot x=x,\; \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R}$

$4^{\circ}$ Pentru orice număr real nenul $x$ , există numărul invers, notat $x^{-1}$ , astfel încât

$\displaystyle x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1,\; \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R}^{*}$

Se ştie că

$\displaystyle x^{-1}=\frac{1}{x},\; \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R}^{*}$

Împărţirea poate fi definită ca fiind înmulţirea primului factor cu inversul celui de-al doilea factor, cu condiţia ca cel din urmă să fie nenul:

$\displaystyle x:y=x\cdot \frac{1}{y}=x\cdot y^{-1},\; \left ( \forall \right )x,y\in \mathbb{R},\; y\neq 0$

$5^{\circ}$ Înmulţirea este distributivă faţă de adunare:

$\displaystyle x\cdot \left ( y+z \right )=x\cdot y+x\cdot z,\; \left ( \forall \right )x,y,z\in \mathbb{R}$

Ordonarea numerelor reale

Pe mulţimea numerelor reale se introduce o relaţie de ordine astfel:

se consideră $\displaystyle x>y$ dacă şi numai dacă $\displaystyle x-y>0$ .

Proprietăţile relaţiei de ordine:

$1^{\circ}$ Trihotomie

Pentru orice $\displaystyle x,y\in \mathbb{R}$ este adevărată una şi numai una dintre relaţiile:

$\displaystyle x<y;\; x=y;\; x>y$

$2^{\circ}$ Reflexivitate

$\displaystyle x\leq x$

$3^{\circ}$ Antisimetrie

$\displaystyle x\leq y$ şi $\displaystyle y\leq x\; \Rightarrow \; x=y$

$4^{\circ}$ Tranzitivitate

$\displaystyle x\leq y$ şi $\displaystyle y\leq z\; \Rightarrow \; x\leq z$

Metoda inducţiei matematice

plusedu / July 8, 2021 / Matematica pentru Bacalaureat

Metoda inducţiei matematice se utilizează pentru a demonstra, „din aproape în aproape”, că o propoziţie $\displaystyle p\left ( n \right )$ este adevărată pentru orice $\displaystyle n$ număr natural, $\displaystyle n\geq n_{0}$ .

Etape:

$\displaystyle 1^{\circ}$ Se face o verificare pentru cel mai mic $\displaystyle n$ .

Se arată că $\displaystyle p\left ( n_{0} \right )$ este adevărată.

$\displaystyle 2^{\circ}$ Se demonstrează implicaţia $\displaystyle p\left ( k \right )\rightarrow p\left ( k+1 \right )$ .

Se presupune că propoziţia $\displaystyle p\left ( k \right )$ este adevărată şi se arată că, în acest caz, este adevărată şi propoziţia $\displaystyle p\left ( k+1 \right )$ .

$\displaystyle 3^{\circ}$ Concluzie.

Dacă $\displaystyle p\left ( n_{0} \right )$ este adevărată şi $\displaystyle p\left ( k \right )\rightarrow p\left ( k+1 \right )$ , atunci $\displaystyle p\left ( n \right )$ este adevărată pentru orice $\displaystyle n\in \mathbb{N},\; n\geq n_{0}$ .

Exemplu:

Să se arate că $\displaystyle n!> 2^{n}$ , oricare ar fi $\displaystyle n\in \mathbb{N},\; n\geq 4$ .

$\displaystyle 1^{\circ}$ Verificare pentru $\displaystyle n=4$ .

$\displaystyle \left.\begin{matrix} 4!=24\\ \\ 2^{4}=16 \end{matrix}\right\} \; \Rightarrow \; 4!>2^{4}$ Adevărat

$\displaystyle 2^{\circ}$ Implicaţia $\displaystyle p\left ( k \right )\rightarrow p\left ( k+1 \right )$ .

Se presupune $\displaystyle p\left ( k \right )$ adevărată.

$\displaystyle k!>2^{k}$ Adevărat

Se arată că şi $\displaystyle p\left ( k+1 \right )$ este adevărată.

$\displaystyle \left (k+1 \right )!=k!\left ( k+1 \right )$

dar

$\displaystyle \left.\begin{matrix} k!>2^{k}\\ \\ k\geq 4\: \Rightarrow \: k+1>2 \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: k!\left ( k+1 \right )>2^{k}\cdot 2\: \Rightarrow \: \left ( k+1 \right )!>2^{k+1}$ Adevărat

$\displaystyle 3^{\circ}$ Concluzie.

$\displaystyle p\left ( 4 \right )$ adevărată şi $\displaystyle p\left ( k \right )\rightarrow p\left ( k+1 \right )$ , atunci $\displaystyle p\left ( n \right )$ este adevărată pentru orice $\displaystyle n\in \mathbb{N},\; n\geq 4$ .

$\displaystyle n!> 2^{n}$ , oricare ar fi $\displaystyle n\in \mathbb{N},\; n\geq 4$

Metoda reducerii la absurd

plusedu / July 8, 2021July 30, 2021 / Matematica pentru Bacalaureat

Metoda de demonstraţie prin reducere la absurd se bazează pe echivalenţa:

$\displaystyle \left ( \neg p\rightarrow \neg q \right )\leftrightarrow \left ( q\rightarrow p \right )$

care este o tautologie (este adevărată oricare ar fi valorile de adevăr ale propoziţiilor componente).

Etape:

$\displaystyle 1^{\circ}$ Se presupune că propoziţia contrară celei ce trebuie demonstrate este adevărată $\displaystyle \left (\neg p \right )$ .

$\displaystyle 2^{\circ}$ Prin raţionamente logice se obţine o concluzie ce contrazice ipoteza iniţială sau o teoremă cunoscută $\displaystyle \left ( \neg p\rightarrow \neg q \right )$ .

$\displaystyle 3^{\circ}$ Prin urmare, propoziţia iniţială trebuie să fie adevărată $\displaystyle \left (q \rightarrow p \right )$ .

Exemplu:

Arătaţi că mulţimile $\displaystyle A=\left \{ 3n+1\, |\, n\in \mathbb{N} \right \}$ şi $\displaystyle B=\left \{ 6m-1\, |\, m\in \mathbb{N} \right \}$ sunt disjuncte.

Se presupune că propoziţia iniţială nu este adevărată, iar mulţimile $\displaystyle A$ şi $\displaystyle B$ nu sunt disjuncte.

În acest caz, cele două mulţimi au cel puţin un element comun:

$\displaystyle A\cap B\neq \varnothing$

Deci trebuie să existe un număr natural $\displaystyle t$ , astfel încât

$\displaystyle 3t+1=6t-1$

Prin urmare

$\displaystyle 3t=2\; \Rightarrow \; t=\frac{2}{3}\notin \mathbb{N}$

Numărul $\displaystyle t$ astfel obţinut nu este, însă, număr natural, deci cele două mulţimi nu pot avea nici un element comun, adică este adevărat că $\displaystyle A$ şi $\displaystyle B$ sunt disjuncte.

Propoziţie, predicat, cuantificatori

plusedu / July 8, 2021 / Matematica pentru Bacalaureat

Propoziţii

Se numeşte propoziţie un enunţ despre care ştim că este sau adevărat sau fals.

Dacă o propoziţie $\displaystyle p$ este adevărată spunem că valoarea sa de adevăr este „ $\displaystyle 1$ ”:

$\displaystyle p$ adevărată $\displaystyle \Leftrightarrow \: V\left ( p \right )=1$

Dacă o propoziţie este falsă, valoarea sa de adevă este „”:

$\displaystyle p$ falsă $\displaystyle \Leftrightarrow \: V\left ( p \right )=0$

a) Se numeşte negaţia unei propoziţii $\displaystyle p$ , o propoziţie notată $\displaystyle \neg p$ , care este falsă atunci când $\displaystyle p$ este adevărată şi adevărată atunci când $\displaystyle p$ este falsă.

b) Conjuncţia propoziţiilor $\displaystyle p$ şi $\displaystyle q$ , notată $\displaystyle p\wedge q$ („ $\displaystyle p$ şi $\displaystyle q$ ”), este adevărată numai dacă ambele propoziţii sunt adevărate şi falsă dacă cel puţin una dintre ele este falsă.

c) Disjuncţia propoziţiilor $\displaystyle p$ şi $\displaystyle q$ , notată $\displaystyle p\vee q$ („ $\displaystyle p$ sau $\displaystyle q$ ”), este adevărată dacă cel puţin una dintre propoziţii este adevărată şi falsă doar dacă ambele propoziţii sunt false.

d) Implicaţia propoziţiilor $\displaystyle p$ şi $\displaystyle q$ , notată $\displaystyle p\rightarrow q$ („ $\displaystyle p$ implică $\displaystyle q$ ”), este falsă doar dacă $\displaystyle p$ este adevărată şi $\displaystyle q$ falsă şi adevărată în rest.

e) Echivalenţa propoziţiilor $\displaystyle p$ şi $\displaystyle q$ , notată $\displaystyle p\leftrightarrow q$ este propoziţia compusă $\displaystyle \left ( p\rightarrow q \right )\wedge \left ( q\rightarrow p \right )$ care este adevărată dacă ambele propoziţii sunt fie adevărate, fie false şi este falsă dacă cele două propoziţii au valori de adevăr diferite.

Se numeşte tautologie o expresie care este adevărată oricare ar fi valorile de adevăr ale propoziţiilor componente.

Predicate

Se numeşte predicat un enunţ care depinde de una sau mai multe variabile şi care, în funcţie de valorile date variabilelor, se poate transforma fie în propoziţie adevărată, fie în propoziţie falsă.

Mulţimea valorilor pentru care predicatul reprezintă o propoziţie adevărată se numeşte mulţimea de adevăr a predicatului.

Cuantificatori

Cuantificatorul universal $\displaystyle \forall$ („oricare”):

„ $\displaystyle \left (\forall \right ) x\in D,\: p\left ( x \right )$ ” se citeşte „oricare ar fi elementul $\displaystyle x\in D$ , propoziţia $\displaystyle p\left ( x \right )$ este adevărată”.

Dacă există cel puţin un element $\displaystyle x_{0}\in D$ pentru care propoziţia nu este adevărată, atunci $\displaystyle p$ este falsă.

Cuantificatorul existenţial $\displaystyle \exists$ („există”)

„ $\displaystyle \left (\exists \right )x_{0}\in D,\: p\left ( x \right )$ ” se citeşte „există cel puţin un element $\displaystyle x_{0}\in D$ pentru care propoziţia $\displaystyle p\left ( x \right )$ este adevărată”.

Dacă nu există niciun astfel de element, propoziţia $\displaystyle p$ este falsă.

Mulţimi. Operaţii cu mulţimi

plusedu / July 7, 2021 / Matematica pentru Bacalaureat

Se numeşte mulţime o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte, numite elementele mulţimii.

Dacă o mulţime este finită, numărul de elemente al mulţimii se numeşte cardinalul mulţimii.

Mulţimea care nu are nici un element se numeşte mulţimea vidă şi se notează $\displaystyle \varnothing$ .

O mulţime $\displaystyle B$ formată numai cu elemente din mulţimea $\displaystyle A$ se numeşte submulţime a mulţimii $\displaystyle A$ . Se scrie $\displaystyle B\subset A$ .

Mulţimea submulţimilor formate cu $\displaystyle 1,\, 2,\, 3,\, \ldots$ elemente din mulţimea $\displaystyle A$ , inclusiv mulţimea vidă şi mulţimea $\displaystyle A$ însăşi, se numeşte mulţimea părţilor lui $\displaystyle A$ şi are $\displaystyle 2^{card\left ( A \right )}$ elemente.

Reuniunea

$\displaystyle A\cup B=\left \{ x\, |\, x\in A\, \textrm{sau}\, x\in B \right \}$

Intersecţia

$\displaystyle A\cap B=\left \{ x\, |\, x\in A\, \textrm{\c{s}i}\, x\in B \right \}$

Diferenţa

$\displaystyle A\setminus B=\left \{ x\, |\, x\in A\, \textrm{\c{s}i}\, x\notin B \right \}$

$\displaystyle B\setminus A=\left \{ x\, |\, x\in B\, \textrm{\c{s}i}\, x\notin A \right \}$

Diferenţa simetrică

$\displaystyle A\triangle B=\left (A\setminus B \right )\cup \left ( B\setminus A \right )$

Complementara

$\displaystyle A\subset E\; \Rightarrow \; \complement_{E}A=E\setminus A=\left \{ x\, |\, x\in E\, \textrm{\c{s}i}\, x\notin A \right \}$

Formulele lui de Morgan

$\displaystyle \complement_{E}\left (A\cup B \right )=\complement_{E}A\cap \complement_{E}B$

$\displaystyle \complement_{E}\left (A\cap B \right )=\complement_{E}A\cup \complement_{E}B$

Produsul cartezian

$\displaystyle A\times B=\left \{ \left ( x,y \right )\, |\, x\in A\, \textrm{\c{s}i} \, y\in B\right \}$

Funcţia de gradul întâi

plusedu / May 20, 2021September 1, 2021 / Matematica pentru Bacalaureat

Funcţia de gradul întâi are forma generală $\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb{R},\: f\left ( x \right )=ax+b,\: a,b\in \mathbb{R},\: a\neq 0$ .

Reprezentarea grafică a funcţiei este o dreaptă dacă $\displaystyle D=\mathbb{R}$ .

În situaţii particulare,

dacă $\displaystyle D=\left \{ x_{1},x_{2},\ldots,x_{n} \right \}$ , graficul este un ansamblu de $\displaystyle n$ puncte coliniare
dacă domeniul de definiţie $\displaystyle D$ este un interval nemărginit, graficul este o semidreaptă.
dacă domeniul de definiţie $\displaystyle D$ este un interval mărginit, graficul este un segment de dreaptă.

Graficul funcţiei intersectează axele de coordonate în punctele:

$\displaystyle G_{f}\cap Ox=A\left ( -\frac{b}{a},0 \right )$

$\displaystyle G_{f}\cap Oy=B\left ( 0,b \right )$

Funcţia de gradul întâi este continuă iar imaginea funcţiei este $\displaystyle \textrm{Im} f=\mathbb{R}$ .

Monotonia funcţiei de gradul întâi:

Pentru $\displaystyle a>0$

funcţia $\displaystyle f\left ( x \right )=ax+b$ este strict crescătoare

Pentru $\displaystyle a<0$

funcţia $\displaystyle f\left ( x \right )=ax+b$ este strict descrescătoare

Semnul funcţiei de gradul întâi:

Probleme de numărare

plusedu / April 27, 2021April 27, 2021 / Matematica pentru Bacalaureat

Problemele de numărare presupun determinarea numărului de mulţimi finite, în care poate conta sau nu ordinea elementelor.

Numărul grupelor de câte $\displaystyle k$ elemente care se pot obţine utilizând cele $\displaystyle n$ elemente ale unei mulţimi finite ( $\displaystyle k\leq n$ ).

În cazul în care cele $\displaystyle k$ elemente ale unei grupe sunt distincte şi contează ordinea în care sunt aşezate în cadrul unei grupe, atunci numărul de grupe care se poate forma este $\displaystyle A_{n}^{k}$ .
În cazul în care cele $\displaystyle k$ elemente ale unei grupe sunt distincte, fără a conta ordinea în care sunt aşezate, atunci numărul de grupe care se poate forma este $\displaystyle C_{n}^{k}$ .
În cazul în care cele $\displaystyle k$ elemente ale unei grupe nu sunt neapărat distincte, numărul grupelor care se poate forma este $\displaystyle n^{k}$ .

Reguli generale ale combinatoricii

Regula sumei: Dacă un anumit obiect $\displaystyle A$ poate fi ales în $\displaystyle m$ moduri, iar un alt obiect $\displaystyle B$ poate fi ales în $\displaystyle n$ moduri, atunci alegerea lui $\displaystyle A$ sau $\displaystyle B$ poate fi realizată în $\displaystyle \left ( m+n \right )$ moduri.

Regula produsului: Dacă un anumit obiect $\displaystyle A$ poate fi ales în $\displaystyle m$ moduri şi dacă, după fiecare alegere a lui $\displaystyle A$ , un alt obiect $\displaystyle B$ poate fi ales în $\displaystyle n$ moduri, atunci numărul de perechi $\displaystyle \left ( A, B \right )$ care poate fi obţinut este egal cu $\displaystyle \left ( m\cdot n \right )$ .

Extinzând ideea, dacă pentru fiecare alegere a unui obiect $\displaystyle A$ dintre cele $\displaystyle m$ obiecte date, există posibilitatea de a alege obiectul $\displaystyle B$ în $\displaystyle n$ moduri, şi pentru fiecare alegere a lui $\displaystyle B$ există posibilitatea de a alege un al treilea obiect $\displaystyle C$ în $\displaystyle q$ moduri, atunci numărul total de triplete $\displaystyle \left ( A,B,C \right )$ care se pot obţine este egal cu $\displaystyle \left ( m\cdot n\cdot q\right )$ .

Numărul de funcţii

Presupunem mulţimile finite $\displaystyle A=\left \{ x_{1},x_{2}, \ldots,x_{k} \right \}$ cu $\displaystyle card\left ( A \right )=k$ şi $\displaystyle B=\left \{ y_{1},y_{2}, \ldots,y_{n} \right \}$ cu $\displaystyle card\left ( B \right )=n$ , $\displaystyle k\leq n$ , şi mulţimea funcţiilor $\displaystyle f:A\rightarrow B$ . Funcţia $\displaystyle f$ asociază setului de valori distincte $\displaystyle x_{1},x_{2}, \ldots,x_{k}$ , setul de valori $\displaystyle y_{1},y_{2}, \ldots,y_{k}$ , distincte sau nu.

Numărul total de funcţii

$\displaystyle f\left ( x_{1} \right )$ poate lua oricare dintre cele $\displaystyle n$ valori $\displaystyle y_{1},y_{2}, \ldots,y_{n}$ posibile. Pentru fiecare dintre valorile luate de $\displaystyle f\left ( x_{1} \right )$ , $\displaystyle f\left ( x_{2} \right )$ poate lua, de asemenea, oricare dintre cele $\displaystyle n$ valori $\displaystyle y_{1},y_{2}, \ldots,y_{n}$ posibile, ş.a.m.d.

Aplicând regula produsului, numărul total de funcţii $\displaystyle f:A\rightarrow B$ este egal cu

$\displaystyle \underset{\textrm{de}\: k\: \textrm{ori}}{\underbrace{n\cdot n\cdot n \cdot \ldots \cdot n}}=n^{k}$

Numărul de funcţii injective

Funcţia $\displaystyle f$ este injectivă dacă pentru orice $\displaystyle x_{i}\neq x_{j}$ , $\displaystyle f\left (x_{i} \right )\neq f\left (x_{j} \right )$ .

Prin urmare, valorile $\displaystyle y_{1},y_{2}, \, \ldots \,, y_{k}$ pe care le poate lua funcţia $\displaystyle f$ trebuie să fie distincte, deci $\displaystyle \left \{ y_{1},y_{2}, \, \ldots \,, y_{k} \right \}$ este o submulţime cu $\displaystyle k$ elemente a mulţimii $\displaystyle B$ . Dacă ordinea valorilor se modifică, se obţine o funcţie diferită.

Astfel, numărul total de funcţii injective este egal cu numărul submulţimilor ordonate cu $\displaystyle k$ elemente ale mulţimii $\displaystyle B$ , respectiv $\displaystyle A_{n}^{k}$ .

Numărul de funcţii bijective

Funcţia $\displaystyle f$ este bijectivă dacă pentru orice $\displaystyle x_{i}\neq x_{j}$ , $\displaystyle f\left (x_{i} \right )\neq f\left (x_{j} \right )$ şi pentru orice $\displaystyle y_{i}\in B$ , există $\displaystyle x_{i}\in A$ , astfel încât $\displaystyle f\left (x_{i} \right )=y_{i}$ .

Prin urmare, funcţia $\displaystyle f$ este bijectivă atunci când valorile $\displaystyle y_{1},y_{2}, \, \ldots \,, y_{k}$ sunt distincte şi $\displaystyle card\left ( A \right )=card\left ( B \right )=n$ (respectiv $\displaystyle k=n$ ).

Prin urmare, numărul total de funcţii bijective este egal numărul de submulţimi ordonate cu $\displaystyle n$ elemente ale mulţimii $\displaystyle B$ , adică $\displaystyle P_{n}$ .

Numărul de funcţii strict monotone

Funcţia $\displaystyle f$ este strict crescătoare dacă pentru orice $\displaystyle x_{i}<x_{j}$ , $\displaystyle f\left (x_{i} \right )<f\left (x_{j} \right )$ .

Funcţia $\displaystyle f$ este strict descrescătoare dacă pentru orice $\displaystyle x_{i}<x_{j}$ , $\displaystyle f\left (x_{i} \right )>f\left (x_{j} \right )$ .

Dacă funcţia $\displaystyle f$ este strict monotonă, numărul de funcţii este egal cu numărul submulţimilor cu $\displaystyle k$ elemente ale mulţimii $\displaystyle B$ , deoarece valorile funcţiei nu pot fi aşezate decât într-un singur fel, fie în ordine crescătoare, fie în ordine descrescătoare.

Astfel, numărul de funcţii strict crescătoare este egal cu numărul de funcţii strict descrescătoare şi este egal cu $\displaystyle C_{n}^{k}$ .

Numărul total de funcţii strict monotone (atât crescătoare, cât şi descrescătoare) este $\displaystyle 2C_{n}^{k}$ .

Binomul lui Newton

plusedu / April 27, 2021April 27, 2021 / Matematica pentru Bacalaureat

Formula binomului lui Newton:

$\displaystyle \left ( a+b \right )^{n}=C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\, \ldots\, +C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}$

Numerele $\displaystyle C_{n}^{0},\: C_{n}^{1},\: \ldots\: C_{n}^{n}$ se numesc coeficienţi binomiali. Suma tuturor coeficienţilor binomiali este

$\displaystyle C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+ \ldots +C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}=\left ( 1+1 \right )^{n}=2^{n}$

Suma coeficienţilor binomiali pari este egală cu suma coeficienţilor binomiali impari şi este egală cu $\displaystyle \frac{2^{n}}{2}=2^{n-1}$ .

Dezvoltarea conţine $\displaystyle n+1$ termeni.

Formula termenului general:

$\displaystyle T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$

Permutări. Aranjamente. Combinări

plusedu / April 27, 2021April 27, 2021 / Matematica pentru Bacalaureat

Permutări

Mulţimile ordonate care se formează cu $\displaystyle n$ elemente dintre cele $\displaystyle n$ elemente date se numesc permutări.

Numărul total de permutări care se pot obţine cu cele $\displaystyle n$ elemente date se notează $\displaystyle P_{n}$ .

$\displaystyle P_{n}=n!$

unde

$\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n$ , cu $\displaystyle n\in \mathbb{N}^{*}$

Proprietăţi:

$\displaystyle 0!=1$

$\displaystyle n!=\left ( n-k \right )!\cdot \left ( n-k+1 \right )\cdot \ldots \cdot \left ( n-1 \right )\cdot n$

Aranjamente

Submulţimile ordonate care se formează cu câte $\displaystyle k$ elemente dintre cele $\displaystyle n$ elemente date se numesc aranjamente.

Numărul total de aranjamente care se pot obţine cu câte $\displaystyle k$ elemente dintre cele $\displaystyle n$ elemente date se notează $\displaystyle A_{n}^{k}$ .

$\displaystyle A_{n}^{k}=\frac{n!}{\left ( n-k \right )!}$

Combinări

Submulţimile care se formează cu câte $\displaystyle k$ elemente dintre cele $\displaystyle n$ elemente date se numesc combinări.

Numărul total de combinări care se pot obţine cu câte $\displaystyle k$ elemente dintre cele $\displaystyle n$ elemente date se notează $\displaystyle C_{n}^{k}$ .

$\displaystyle C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left ( n-k \right )!}=\frac{A_{n}^{k}}{P_{k}}$