Mulţimi finite ordonate

O mulţime care are un număr finit de elemente se numeşte mulţime finită. În caz contrar, se numeşte mulţime infinită.

Numărul elementelor unei mulţimi finite \displaystyle A se numeşte cardinalul mulţimii \displaystyle A şi se notează \displaystyle card\left ( A \right ) sau \displaystyle \left | A \right | .

Dacă \displaystyle A este mulţimea vidă, atunci \displaystyle card\left ( A \right )=0 .

Dacă \displaystyle A şi \displaystyle B sunt două mulţimi nevide, atunci sunt îndeplinite relaţiile:

\displaystyle card\left ( A\cup B \right )=card\left ( A \right )+card\left ( B \right )-card\left ( A\cap B \right )

\displaystyle card\left ( A\cup B \right )=card\left ( A\cap B \right )+card\left ( A\setminus B \right )+card\left ( B\setminus A \right )

\displaystyle card\left ( A\times B \right )=card\left ( A \right )\cdot card\left ( B \right )

O mulţime împreună cu o ordine bine stabilită a elementelor sale se numeşte mulţime finită ordonată.

Pentru a stabili ordinea elementelor unei mulţimi finite cu \displaystyle n elemente, fiecărui element i se asociază un număr natural de la \displaystyle 1 la \displaystyle n , astfel încât să se poată spune care este primul element, al doilea element, ş.a.m.d.

Rezolvarea triunghiului dreptunghic

Rezolvarea triunghiului dreptunghic presupune determinarea tuturor elementelor sale (laturi şi unghiuri), atunci când se cunosc minimum două dintre ele.

Fie triunghiul dreptunghic \displaystyle ABC , având \displaystyle m\left ( \measuredangle A \right )=90^{\circ} .

Pentru unghiul notat cu \displaystyle x , se definesc funcţiile trigonometrice:

\displaystyle \sin \left ( x \right )=\frac{\textrm{cateta opus\u{a}}}{\textrm{ipotenuz\u{a}}}=\frac{c_{1}}{ip}

\displaystyle \cos \left ( x \right )=\frac{\textrm{cateta al\u{a}turat\u{a}}}{\textrm{ipotenuz\u{a}}}=\frac{c_{2}}{ip}

\displaystyle \textrm{tg} \left ( x \right )=\frac{\textrm{cateta opus\u{a}}}{\textrm{cateta al\u{a}turat\u{a}}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}

\displaystyle \textrm{ctg} \left ( x \right )=\frac{\textrm{cateta al\u{a}turat\u{a}}}{\textrm{cateta opus\u{a}}}=\frac{c_{2}}{c_{1}}

Valorile funcţiilor trigonometrice pentru unghiurile întâlnite cel mai des:

\displaystyle x

în grade şi radiani

\displaystyle 0^{\circ}=0 \displaystyle 30^{\circ}=\frac{\pi}{6} \displaystyle 45^{\circ}=\frac{\pi}{4} \displaystyle 60^{\circ}=\frac{\pi}{3} \displaystyle 90^{\circ}=\frac{\pi}{2}
\displaystyle \sin \left ( x \right ) \displaystyle 0 \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \displaystyle 1
\displaystyle \cos \left ( x \right ) \displaystyle 1 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle 0
\displaystyle \textrm{tg} \left ( x \right ) \displaystyle 0 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \displaystyle 1 \displaystyle \sqrt{3} \displaystyle -
\displaystyle \textrm{ctg} \left ( x \right ) \displaystyle - \displaystyle \sqrt{3} \displaystyle 1 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \displaystyle 0

În triunghiul dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei

\displaystyle m=\frac{ip}{2}

iar înălţimea corespunzătoare ipotenuzei este egală cu produsul lungimilor catetelor supra lungimea ipotenuzei

\displaystyle h=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ip}

Mijlocul ipotenuzei, \displaystyle M , reprezintă, în acelaşi timp, şi centrul cercului circumscris triunghiului \displaystyle ABC .

Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.

\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=ip^{2}

Reciproca teoremei lui Pitagora: Dacă într-un triunghi suma pătratelor lungimilor a două laturi este egal cu pătratul lungimii celei de-a treia laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.

Teorema lui Menelaus. Teorema lui Ceva

Fie triunghiul \displaystyle ABC . O dreaptă \displaystyle d , care nu trece prin vârfuri, intersectează laturile \displaystyle \left [AB \right ] , \displaystyle \left [AC \right ] şi prelungirea laturii \displaystyle \left [BC \right ] în punctele \displaystyle {C}' , \displaystyle {B}' , respectiv \displaystyle {A}' . În acest caz, are loc egalitatea

\displaystyle \frac{{A}'B}{{A}'C} \cdot \frac{{B}'C}{{B}'A} \cdot \frac{{C}'A}{{C}'B}=1

Reciproca Teoremei lui Menelaus

Pe laturile \displaystyle \left ( AB \right ) şi \displaystyle \left ( AC \right ) ale triunghiului \displaystyle ABC se iau punctele \displaystyle {C}' şi \displaystyle {B}' , iar pe dreapta \displaystyle BC se ia punctul \displaystyle {A}' , astfel încât \displaystyle C \in \left ( B{A}' \right ) . Dacă are loc egalitatea

\displaystyle \frac{{A}'B}{{A}'C} \cdot \frac{{B}'C}{{B}'A} \cdot \frac{{C}'A}{{C}'B}=1

atunci punctele \displaystyle {A}' , \displaystyle {B}' şi \displaystyle {C}' sunt coliniare.

Teorema lui Ceva

Se consideră triunghiul \displaystyle ABC şi punctele \displaystyle {A}' \in \left ( BC \right ) , \displaystyle {B}' \in \left ( AC \right ) şi \displaystyle {C}' \in \left ( AB \right ) . Dacă dreptele \displaystyle A{A}' , \displaystyle B{B}' şi \displaystyle C{C}' sunt concurente, atunci are loc egalitatea

\displaystyle \frac{{A}'B}{{A}'C} \cdot \frac{{B}'C}{{B}'A} \cdot \frac{{C}'A}{{C}'B}=1

Reciproca Teoremei lui Ceva

Fie triunghiul \displaystyle ABC şi punctele \displaystyle {A}' \in \left ( BC \right ) , \displaystyle {B}' \in \left ( AC \right ) şi \displaystyle {C}' \in \left ( AB \right ) . Dacă are loc egalitatea

\displaystyle \frac{{A}'B}{{A}'C} \cdot \frac{{B}'C}{{B}'A} \cdot \frac{{C}'A}{{C}'B}=1

atunci dreptele \displaystyle A{A}' , \displaystyle B{B}' şi \displaystyle C{C}' sunt concurente.

Vectori în sistemul cartezian

Exprimarea analitică a unui vector în sistemul ortogonal

În sistemul ortogonal \displaystyle xOy se consideră vectorii de lungime egală cu unitatea, \displaystyle \vec{i} şi \displaystyle \vec{j} , ale căror drepte suport sunt axele \displaystyle Ox , respectiv \displaystyle Oy .

Vectorii \displaystyle \vec{i} şi \displaystyle \vec{j} se numesc versori.

Vectorul \displaystyle \vec{v} din planul \displaystyle xOy se poate descompune după direcţiile axelor \displaystyle Ox şi \displaystyle Oy , astfel încât se poate scrie:

\displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}

Numerele \displaystyle v_{x} şi \displaystyle v_{y} se numesc coordonatele vectorului \displaystyle \vec{v} în sistemul cartezian \displaystyle xOy . Vectorul \displaystyle \vec{v} se mai poate scrie \displaystyle \vec{v}\left ( v_{x},v_{y} \right ) .

Lungimea vectorului \displaystyle \vec{v} este:

\displaystyle \left | \vec{v}\, \right |=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}

Doi vectori \displaystyle \vec{u}=u_{x}\vec{i}+u_{y}\vec{j} şi \displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j} sunt egali dacă şi numai dacă au coordonatele egale:

\displaystyle \vec{u}=\vec{v}\; \Leftrightarrow \; u_{x}=v_{x} şi \displaystyle u_{y}=v_{y}

Operaţii cu vectori în sistemul cartezian

Fie vectorii:

\displaystyle \vec{u}=u_{x}\vec{i}+u_{y}\vec{j}

\displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}

Suma, respectiv diferenţa vectorilor \displaystyle \vec{u} şi \displaystyle \vec{v} vor fi:

\displaystyle \vec{u}+\vec{v}=\left ( u_{x}+v_{x} \right )\vec{i}+\left ( u_{y}+v_{y} \right )\vec{j}

\displaystyle \vec{u}-\vec{v}=\left ( u_{x}-v_{x} \right )\vec{i}+\left ( u_{y}-v_{y} \right )\vec{j}

Înmulţirea unui vector cu un scalar:

\displaystyle k\cdot \vec{v}=\left ( kv_{x} \right )\vec{i}+\left ( kv_{y} \right )\vec{j}

Produsul scalar al vectorilor \displaystyle \vec{u} şi \displaystyle \vec{v} :

\displaystyle \vec{u}\cdot \vec{v}=u_{x}\cdot v_{x}+u_{y}\cdot v_{y}

În sistemul cartezian, unghiul format de vectorii \displaystyle \vec{u} şi \displaystyle \vec{v} se poate determina cu relaţia:

\displaystyle \cos \left ( \measuredangle \left ( \vec{u},\vec{v} \right ) \right )=\frac{u_{x}\cdot v_{x}+u_{y}\cdot v_{y}}{\sqrt{u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}\cdot \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}

Vectorul de poziţie al unui punct

Vectorul care uneşte originea sistemului cartezian, \displaystyle O\left ( 0,0 \right ) , cu punctul \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) se numeşte vectorul de poziţie al punctului \displaystyle A .

\displaystyle \overrightarrow{OA}=x_{A}\vec{i}+y_{A}\vec{j}

Dacă \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) şi \displaystyle B\left ( x_{B},y_{B} \right ) sunt două puncte în sistemul cartezian\displaystyle xOy , atunci vectorul \displaystyle \overrightarrow{AB} are coordonatele \displaystyle \left ( x_{B}-x_{A} \right ) , respectiv \displaystyle \left ( y_{B}-y_{A} \right ) :

\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}

\displaystyle \overrightarrow{AB}=\left ( x_{B}-x_{A} \right )\vec{i}+\left ( y_{B}-y_{A} \right )\vec{j}

Lungimea vectorului \displaystyle \overrightarrow{AB} este

\displaystyle \left |\overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{\left ( x_{B}-x_{A} \right )^2+\left ( y_{B}-y_{A} \right )^2}

Coliniaritate. Concurenţă. Paralelism

Doi vectori \displaystyle \vec{u}=u_{x}\vec{i}+u_{y}\vec{j} şi \displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j} sunt coliniari sau paraleli dacă există un număr real \displaystyle \lambda , astfel încât:

\displaystyle \vec{u}=\lambda \cdot \vec{v}

Prin urmare, condiţia de coliniaritate a doi vectori este:

\displaystyle \left.\begin{matrix} u_{x}=\lambda\cdot v_{x}\\ u_{y}=\lambda\cdot v_{y} \end{matrix}\right\} \: \Leftrightarrow \; \frac{u_{x}}{v_{x}}=\frac{u_{y}}{v_{y}}

Trei puncte, \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) , \displaystyle B\left ( x_{B},y_{B} \right ) şi \displaystyle C\left ( x_{C},y_{C} \right ) din sistemul cartezian sunt coliniare dacă vectorii \displaystyle \overrightarrow{AB} şi \displaystyle \overrightarrow{AC} sunt coliniari, respectiv:

\displaystyle \frac{x_{B}-x_{A}}{x_{C}-x_{A}}=\frac{y_{B}-y_{A}}{y_{C}-y_{A}}

Două drepte, \displaystyle AB şi \displaystyle CD , sunt paralele dacă şi numai dacă vectorii \displaystyle \overrightarrow{AB} şi \displaystyle \overrightarrow{CD} sunt paraleli, respectiv dacă există \displaystyle \lambda \in \mathbb{R} , astfel încât \displaystyle \overrightarrow{AB}=\lambda \cdot \overrightarrow{CD} .

Trei drepte, \displaystyle AB , \displaystyle CD şi \displaystyle EF sunt concurente dacă punctul \displaystyle P de intersecţie al dreptelor \displaystyle AB şi \displaystyle CD este situat pe dreapta \displaystyle EF , respectiv dacă vectorii \displaystyle \overrightarrow{EP} şi \displaystyle \overrightarrow{FP} sunt coliniari.

Perpendicularitate

Dacă doi vectori \displaystyle \vec{u}=u_{x}\vec{i}+u_{y}\vec{j} şi \displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j} sunt perpendiculari, atunci produsul lor scalar este nul.

\displaystyle \vec{u}\perp \vec{v}\; \Rightarrow \; \vec{u} \cdot \vec{v}=\left | \vec{u}\, \right | \cdot \left | \vec{v}\, \right | \cdot \cos {\frac{\pi}{2}}=0

Prin urmare, condiţia ca doi vectori să fie perpendiculari esta ca produsul lor scalar să fie egal cu zero.

\displaystyle \vec{u}\perp \vec{v}\; \Leftrightarrow \; u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}=0

Vectori liniari independenţi

Vectorii \displaystyle \vec{v}_{1},\: \vec{v}_{2},\: \ldots, \: \vec{v}_{n} se numesc liniar independenţi dacă:

\displaystyle a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+ \ldots + a_{n}\vec{v}_{n}=0 \;\Leftrightarrow \; a_{1}=a_{2}= \cdots =a_{n}=0

Dacă \displaystyle a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+ \ldots + a_{n}\vec{v}_{n}=0 , iar scalarii \displaystyle a_{1}, \, a_{2}, \, \ldots , \, a_{n} nu sunt toţi nuli, atunci vectorii se numesc liniari dependenţi.

Vectori. Operaţii cu vectori

Segment orientat

Se numeşte vector sau segment orientat o pereche ordonată de puncte \displaystyle \left ( A,B \right ) , care se notează \displaystyle \overrightarrow{AB} . \displaystyle A se numeşte originea vectorului, iar \displaystyle B , extremitatea sa.

Un vector este caracterizat de:

  • mărime (lungime sau modul)
  • direcţie
  • sens

Doi vectori care au aceeaşi lungime, aceeaşi direcţie şi acelaşi sens se numesc echipolenţi sau egali.

Doi vectori se numesc opuşi care au aceeaşi lungime şi aceeaşi direcţie, dar au sensuri opuse.

Operaţii cu vectori

Adunarea vectorilor

Regula paralelogramului Regula triunghiului
Regula poligonului Diferenţa a doi vectori

Descompunerea unui vector după două direcţii date

Pentru a descompune un vector după două direcţii date, se duc paralele la ambele direcţii, atât prin originea vectorului, cât şi prin vârful acestuia, formând astfel un paralelogram.

Compunentele vectorului după cele două direcţii sunt vectorii care au aceeaşi origine cu vectorul dat şi care se suprapun peste laturile paralelogramului.

Înmulţirea unui vector cu un scalar

Prin înmulţirea unui vector cu un scalar, \displaystyle k , se obţine un alt vector, care are aceeaşi direcţie şi acelaşi sens cu vectorul dat, dar are lungimea de \displaystyle k ori mai mare (sau mai mică).

În cazul în care \displaystyle k este negativ, sensul vectorului obţinut se schimbă.

Produsul scalar a doi vectori

Produsul scalar a doi vectori care fac între ei unghiul \displaystyle \alpha este un scalar (un număr), care se poate determina cu formula:

\displaystyle \vec{u}\cdot \vec{v}=\left | \vec{u}\, \right |\cdot \left | \vec{v}\, \right |\cdot \cos \alpha

Unghiul format de vectorii \displaystyle \vec{u} şi \displaystyle \vec{v} se poate determina cu relaţia:

\displaystyle \cos \left ( \measuredangle \left ( \vec{u},\vec{v} \right ) \right )=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left | \vec{u}\, \right |\cdot \left | \vec{v}\, \right | }

Produsul vectorial a doi vectori

Produsul vectorial a doi vectori care fac între ei unghiul \displaystyle \alpha este tot un vector, perpendicular pe planul format de vectorii consideraţi.

Sensul vectorului obţinut este dat de regula mâinii drepte, iar modulul acestuia se poate determina cu formula:

\displaystyle \left | \vec{u}\times \vec{v}\, \right |=\left | \vec{u} \, \right |\cdot \left | \vec{v}\, \right |\cdot \sin \alpha

Produsul vectorial a doi vectori Regula mâinii drepte

 

Ecuaţii polinomiale de gradul 1 sau 2. Ecuaţii bipătrate

Ecuaţiile polinomiale au forma generală

\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0,\; a_{n}\neq 0

în care \displaystyle x este variabila, \displaystyle n\in \mathbb{N}^{*} , iar \displaystyle a_{n},\: a_{n-1},\:\dots a_{2},\:a_{1},\:a_{0} se numesc coeficienţii ecuaţiei.

Dintre coeficienţi, \displaystyle a_{n} este coeficientul dominant, iar \displaystyle a_{0} se numeşte termenul liber.

Gradul ecuaţiei este egal cu exponentul cel mai mare.

O ecuaţie de gradul \displaystyle n are \displaystyle n soluţii, reale sau complexe, care pot fi distincte sau nu.

Ecuaţia de gradul întâi

Ecuaţia de gradul întâi are forma

\displaystyle ax+b=0,\; x\in D\subset \mathbb{R}, \; a,b\in \mathbb{R}

Rezolvarea ecuaţiei de gradul întâi:

  • dacă \displaystyle a\neq 0 , ecuaţia are soluţie unică \displaystyle x=-\frac{b}{a} , respectiv \displaystyle S=\left \{ -\frac{b}{a} \right \}
  • dacă \displaystyle a=0,\: b=0 , ecuaţia are o infinitate de soluţii, iar \displaystyle S=\mathbb{R}
  • dacă \displaystyle a=0,\: b\neq 0 , ecuaţia nu are soluţii, prin urmare \displaystyle S=\varnothing

Exemplu:

Determinaţi valorile parametrului \displaystyle m\in \mathbb{R} , astfel încât ecuaţia următoare să aibă o infinitate de soluţii reale.

\displaystyle mx+4=3\left ( x-1 \right )+2m+1

Se trec toţi termenii în membrul din stânga al ecuaţiei şi se ordonează expresia după puterile lui \displaystyle x :

\displaystyle mx+4-3\left ( x-1 \right )-2m-1=0

\displaystyle mx+4-3x+3-2m-1=0

\displaystyle x\left ( m-3 \right )-2m+6=0

Se observă că se poate da factor comun:

\displaystyle x\left ( m-3 \right )-2\left ( m-3 \right )=0

\displaystyle \left ( m-3 \right )\left ( x-2 \right )=0

Ecuaţia are o infinitate de soluţii reale dacă \displaystyle m-3=0 .

Se obţine \displaystyle m=3 .


Ecuaţia de gradul al doilea

Ecuaţia de gradul al doilea are forma

\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\; a\neq 0

Pentru rezolvarea ecuaţiei se calculează, mai întâi, discriminantul \displaystyle \Delta =b^{2}-4ac .

  • dacă \displaystyle \Delta >0 , ecuaţia are două soluţii reale distincte

\displaystyle x_{1},\: x_{2}\in \mathbb{R}, \; x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}

  • dacă \displaystyle \Delta =0 , ecuaţia are două soluţii reale egale între ele

\displaystyle x_{1},\: x_{2}\in \mathbb{R}, \; x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}

  • dacă \displaystyle \Delta <0 , ecuaţia nu are soluţii reale, ci are două soluţii complexe conjugate

\displaystyle z_{1},\: z_{2}\in \mathbb{C}, \; z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{\left |\Delta \right | }}{2a}


Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia

\displaystyle 2x^{2}-5x+2=0

Se identifică cei trei coeficienţi ai ecuaţiei:

\displaystyle a=2;\; b=-5;\; c=2

Se calculează discriminantul

\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=\left ( -5 \right )^{2}-4\cdot 2\cdot 2=9

\displaystyle \sqrt{\Delta} =3>0

Ecuaţia are două soluţii reale distincte:

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5\pm 3}{4}\: \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=2\\ x_{2}=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.

Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este \displaystyle S=\left \{ \frac{1}{2};\: 2 \right \}


Ecuaţii bipătrate

Se numeşte ecuaţie bipătrată ecuaţia de gradul al patrulea având forma:

\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0,\; a\neq 0

Pentru rezolvarea ecuaţiei se notează \displaystyle x^{2}=t , obţinându-se astfel ecuaţia de gradul al doilea

\displaystyle at^{2}+bt+c=0

cu soluţiile

\displaystyle t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a},\; \Delta =b^{2}-4ac

Pentru fiecare valoare a lui \displaystyle t , se rezolvă ecuaţia \displaystyle x^{2}=t şi se obţin soluţiile ecuaţiei bipătrate:

\displaystyle x_{1,2}=\pm \sqrt{t_{1}}

\displaystyle x_{3,4}=\pm \sqrt{t_{2}}


Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia:

\displaystyle x^{4}+4x^{2}-5=0

Se notează \displaystyle x^{2}=t şi se obţine ecuaţia de gradul al doilea

\displaystyle t^{2}+4t-5=0

cu soluţiile \displaystyle t_{1}=1 şi \displaystyle t_{2}=-5 .

În concluzie, ecuaţia dată are două soluţii reale \displaystyle x_{1,2}\in \mathbb{R} ,

\displaystyle x_{1,2}=\pm \sqrt{1}\: \Rightarrow \: x_{1,2}=\pm 1

şi două soluţii complexe \displaystyle x_{3,4}\in \mathbb{C} :

\displaystyle x_{3,4}=\pm \sqrt{-5}\: \Rightarrow \: x_{3,4}=\pm i\sqrt{5} , unde  \displaystyle i=\sqrt{-1}

Ecuaţii. Noţiuni generale

O ecuaţie este o expresie matematică ce conţine una sau mai multe necunoscute care trebuie determinate.

Mulţimea \displaystyle D , respectiv domeniul în care căutăm soluţiile, se numeşte domeniul de definiţie al ecuaţiei.

Un număr \displaystyle x_{0}\in D se numeşte soluţie, dacă, înlocuind pe \displaystyle x cu \displaystyle x_{0} în expresia ecuaţiei, se obţine o propoziţie adevărată (se spune că \displaystyle x_{0} „verifică” ecuaţia).

Mulţimea soluţiilor ecuaţiei se notează cu \displaystyle S .

Două ecuaţii sunt echivalente dacă au acelaşi domeniu de definiţie şi aceeaşi mulţime a soluţiilor.

Ecuaţii iraţionale

Ecuaţia în care necunoscuta este situată sub cel puţin un radical se numeşte ecuaţie iraţională.

Etape de rezolvare:

\displaystyle 1^{\circ}  Stabilirea domeniului de existenţă.

Expresia de sub radicalul de ordin par trebuie să fie pozitivă, În plus, dacă radicalul de ordin par este situat la numitor, expresia trebuie să fie strict pozitivă.

După stabilirea condiţiilor de existenţă pentru toţi radicalii prezenţi în ecuaţie, se obţine domeniul de existenţă prin intersectarea tuturor intervalelor obţinute.

\displaystyle 2^{\circ} Condiţii de compatibilitate

Un radical de ordin par, care este întotdeauna un număr pozitiv, nu poate fi egal cu un număr negativ.

\displaystyle 3^{\circ} Eliminarea radicalilor

Se ridică ambii membri ai ecuaţiei la puteri convenabile, eventual de mai multe ori succesiv, pentru a transforma ecuaţia iraţională într-o ecuaţie polinomială.

\displaystyle 4^{\circ} Verificarea soluţiilor obţinute

Pentru a fi convenabile, soluţiile obţinute prin rezolvarea ecuaţiei polinomiale trebuie să aparţină domeniului de existenţă al ecuaţiei.

În plus, soluţiile se verifică şi prin înlocuirea în ecuaţia iniţială, pentru a exclude eventualele „soluţii străine”, apărute în urma ridicării la putere.


Exemplu:

\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-1}-1

Se pun condiţiile de existenţă pentru cei trei radicali:

\displaystyle x+1\geq 0\: \Rightarrow \: x\geq -1\: \Rightarrow \: x\in \left [ -1,\, +\infty \right )

\displaystyle x-1\geq 0\: \Rightarrow \: x\geq 1\: \Rightarrow \: x\in \left [ 1,\, +\infty \right )

\displaystyle 2x-1\geq 0\: \Rightarrow \: x\geq \frac{1}{2}\: \Rightarrow \: x\in \left [ \frac{1}{2},\, +\infty \right )

Domeniul de definiţie se obţine intersectând cele trei intervale:

\displaystyle D=\left [ 1,\, +\infty \right )

Se elimină radicalii prin ridicări succesive la puterea a doua:

\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-1}-1\: |\: ^{2}

\displaystyle x+1-2\sqrt{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}+x-1=2x-1-2\sqrt{2x-1}+1

\displaystyle \sqrt{\left ( x^{2}-1 \right )}=\sqrt{2x-1}\: |\: ^{2}

\displaystyle x^{2}-1=2x-1

\displaystyle x^{2}-2x=0

Se obţin soluţiile \displaystyle x_{1}=0\notin D şi \displaystyle x_{2}=2 \in D care, în plus, verifică ecuaţia iniţială.

Prin urmare, mulţimea soluţiilor este \displaystyle S=\left \{ 2 \right \} .

Asimptote verticale

Dreapta verticală a cărei ecuaţie este \displaystyle x=a este asimptotă verticală la graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) , dacă cel puţin una dintre limitele \displaystyle l_{s}\left ( a \right ) sau \displaystyle l_{d}\left ( a \right ) există şi este egală cu \displaystyle +\infty sau \displaystyle -\infty .

Asimptotele verticale pot fi găsite în punctele care nu sunt incluse în domeniul de definiţie, dar sunt puncte de acumulare ale acestuia.

Exemplul 1:

Se consideră funcţia \displaystyle f:D\rightarrow \mathbb{R},\: f\left ( x \right )=\frac{x}{\left | x-3 \right |} .

Din condiţia \displaystyle \left | x-3 \right |\neq 0 , se obţine domeniul maxim de definiţie al funcţiei \displaystyle D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 3 \right \} .

Căutăm asimptota verticală în \displaystyle x=3 . Se calculează limitele, atât la stânga, cât şi la dreapta:

\displaystyle \lim_{\substack {x \to 3 \\ x < 3}}f\left ( x \right )=\lim_{\substack {x \to 3 \\ x < 3}}\frac{x}{\left | x-3 \right |}=\frac{3}{0_{+}}=+\infty

\displaystyle \lim_{\substack {x \to 3 \\ x > 3}}f\left ( x \right )=\lim_{\substack {x \to 3 \\ x > 3}}\frac{x}{\left | x-3 \right |}=\frac{3}{0_{+}}=+\infty

Rezultă că dreapta de ecuaţie \displaystyle x=3 este asimptotă verticală pentru graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) .

În plus, se poate observa că, atât în stânga asimptotei, cât şi în dreapta acesteia, graficul funcţiei „se duce” către \displaystyle +\infty .

Exemplul 2:

Se consideră funcţia \displaystyle f:D\rightarrow \mathbb{R},\: f\left ( x \right )=\frac{x-1}{\sqrt{x+2}}

Din condiţia \displaystyle x+2>0 , se obţine domeniul maxim de definiţie al funcţiei \displaystyle D=\left ( -2,\: +\infty \right ) .

Căutăm asimptota verticală în \displaystyle x=-2 . Deoarece \displaystyle x>-2 , se calculează numai limita la dreapta:

\displaystyle \lim_{\substack {x \to -2 \\ x>-2}}f\left ( x \right )=\lim_{\substack {x \to -2 \\ x>-2}}\frac{x-1}{\sqrt{x+2}}=\frac{-3}{0_{+}}=-\infty

Dreapta de ecuaţie \displaystyle x=-2 este asimptotă verticală pentru graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) . Graficul, situat în dreapta asimptotei, „se duce” către \displaystyle -\infty .