Etapele reprezentării grafice a funcţiilor

\displaystyle 1^{\circ} Stabilirea domeniului de definiţie al funcţiei

  • Numitorul unei expresii raţionale trebuie să fie diferit de zero
  • Expresia de sub radicalul cu indice par trebuie să fie pozitivă
  • Baza unei funcţii exponenţiale trebuie să fie strict pozitivă
  • Argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv, iar baza logaritmului trebuie să fie strict pozitivă şi diferită de \displaystyle 1 .
  • Funcţiile arcsinus şi arccosinus au ca domeniu de definiţie intervalul \displaystyle \left [ -1;\, 1 \right ]

 

\displaystyle 2^{\circ} Calcularea limitelor funcţiei la capetele domeniului de definiţie.

\displaystyle 3^{\circ} Determinarea asimptotelor la graficul funcţiei

  • Asimptotele verticale trebuie căutate în punctele de discontinuitate ale funcţiei.
  • Apoi trebuie căutate asimptotele orizontale.
  • Dacă funcţia nu are asimptote orizontale, atunci este posibil să aibă asimptote oblice (O funcţie nu poate avea şi asimptote orizontale şi asimptote oblice în acelaşi timp!).

 

\displaystyle 4^{\circ} Determinarea punctelor în care graficul funcţiei intersectează axele de coordonate:

  • Pentru a afla punctele în care graficul funcţiei intersectează axa \displaystyle Ox , şi care au ordonatele egale cu zero, se găsesc soluţiile reale ale ecuaţiei \displaystyle f\left ( x \right )=0 .

\displaystyle y=0\: \Rightarrow \: f\left ( x \right )=0

  • Punctul în care graficul funcţiei intersectează axa \displaystyle Oy are abscisa \displaystyle x=0 şi ordonata egală cu \displaystyle f\left ( 0 \right ) .

\displaystyle x=0\: \Rightarrow \: y=f\left ( 0 \right )

 

\displaystyle 5^{\circ} Calculul primei derivate. Cu ajutorul primei derivate:

  • se determină punctele de extrem, eventual a punctelor de întoarcere sau unghiulare.
  • se stabilesc intervalele de monotonie ale funcţiei

 

\displaystyle 6^{\circ} Calculul celei de-a doua derivate. Cu ajutorul celei de-a doua derivate:

  • se determină punctele de inflexiune
  • se stabilesc intervalele de convexitate / concavitate ele funcţiei

 

\displaystyle 7^{\circ} Se recomandă centralizarea într-un tabel a rezultatelor obţinute în etapele precedente.

\displaystyle 8^{\circ} Reprezentarea grafică a funcţiei într-un sistem cartezian.

Metoda de integrare prin părţi

Formula:

\displaystyle \int {f}'\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right )dx=f\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right )-\int f\left ( x \right )\cdot {g}'\left ( x \right )dx

Etape de lucru:

\displaystyle 1^{\circ} Se identifică funcţiile \displaystyle {f}'\left ( x \right ) şi \displaystyle g\left ( x \right ) .

\displaystyle 2^{\circ} Prin integrare se obţine \displaystyle f\left ( x \right )=\int {f}'\left ( x \right )dx . Prin derivare se determină \displaystyle {g}'\left ( x \right ) .

\displaystyle 3^{\circ} Se aplică formula de integrare prin părţi. Scopul aplicării formulei este obţinerea, în membrul drept al egalităţii, a unei integrale mai simplu de rezolvat.

Dacă este necesar, metoda integrării prin părţi poate fi aplicată de mai multe ori, succesiv.


Exemplu:

Să se calculeze integrala nedefinită

\displaystyle \int x^{2}\cos x\, dx

\displaystyle 1^{\circ} Se identifică funcţiile \displaystyle {f}'\left ( x \right ) şi \displaystyle g\left ( x \right ) .

\displaystyle {f}'\left ( x \right )=\cos x

\displaystyle g\left ( x \right )=x^{2}

\displaystyle 2^{\circ} Se calculează

\displaystyle {f}'\left ( x \right )=\cos x\: \Rightarrow \: f\left ( x \right )=\int\cos x\, dx=\sin x

\displaystyle g\left ( x \right )=x^{2}\: \Rightarrow \: {g}'\left ( x \right )=2x

\displaystyle 3^{\circ} Se aplică formula de integrare prin părţi:

\displaystyle \int x^{2}\cdot \cos x\, dx=x^{2}\cdot \sin x-2\underset{I_{1}}{\underbrace{\int x\cdot \sin x\, dx}}=x^{2}\cdot \sin x-2I_{1}

Se aplică încă o dată metoda de integrare prin părţi, pentru a calcula integrala  \displaystyle I_{1}

\displaystyle I_{1}=\int x\cdot \sin x\, dx

\displaystyle 1^{\circ} Se identifică funcţiile:

\displaystyle {f}'\left ( x \right )=\sin x

\displaystyle g\left ( x \right )=x

\displaystyle 2^{\circ} Se calculează:

\displaystyle {f}'\left ( x \right )=\sin x\: \Rightarrow \: f\left ( x \right )=\int \sin x\, dx=-\cos x

\displaystyle g\left ( x \right )=x\: \Rightarrow \: {g}'\left ( x \right )=1

\displaystyle 3^{\circ} Se aplică formula de integrare prin părţi:

\displaystyle I_{1}=\int x\cdot \sin x\, dx=-x\cdot \cos x-\int \left ( -\cos x \right )dx=-x\cdot \cos x+\sin x

Se înlocuieşte \displaystyle I_{1} în expresia integralei iniţiale:

\displaystyle \int x^{2}\cdot \cos x\, dx=x^{2}\cdot \sin x-2I_{1}=x^{2}\cdot \sin x-2\left ( -x\cdot \cos x + \sin x\right )

şi se obţine, în final,

\displaystyle \int x^{2}\cdot \cos x\, dx=x^{2}\cdot \sin x+2x\cdot \cos x-2 \sin x+\textsl{C}

Integrale nedefinite

Primitive

Fie funcţiile \displaystyle F,\: f:I\rightarrow \mathbb{R}

Dacă funcţia \displaystyle f:I\rightarrow \mathbb{R} este continuă, atunci admite primitive.

Funcţia \displaystyle F\left ( x \right ) este o primitivă a funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) , dacă \displaystyle F\left ( x \right ) este derivabilă pe \displaystyle I şi \displaystyle {F}'\left ( x \right )=f\left ( x \right ) , pentru orice \displaystyle x\in I .

Primitivele unei funcţii diferă doar printr-o constantă.

Mulţimea primitivelor unei funcţii se numeşte integrala nedefinită a funcţiei \displaystyle f şi se notează \displaystyle \int f\left ( x \right )dx .

Prin urmare,

\displaystyle \int f\left ( x \right )dx=F\left ( x \right )+\textsl{C}

Operaţia de obţinere a primitivelor unei funcţii se numeşte integrare.

Proprietăţile integralei nedefinite

\displaystyle \int \left ( f\left ( x \right )+g\left ( x \right ) \right )dx=\int f\left ( x \right )dx+\int g\left ( x \right )dx

(integrala sumei este egală cu suma integralelor)

\displaystyle \int \alpha \cdot f\left ( x \right )dx=\alpha \cdot \int f\left ( x \right )dx

(constanta iese în faţa integralei)

Tabel de integrale nedefinite

1. \displaystyle \int dx=x+\textsl{C}
2. \displaystyle \int x^{n} dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\textsl{C}
3.

\displaystyle \int \frac{1}{x} dx=\ln \left |x \right |+\textsl{C}

\displaystyle \int \frac{1}{x\pm a} dx=\ln \left |x\pm a \right |+\textsl{C}

4. \displaystyle \int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx=\sqrt{x}+\textsl{C}
5.

\displaystyle \int a^{x} dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+\textsl{C}

\displaystyle \int e^{x} dx=e^{x}+\textsl{C}

6. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} dx=\frac{1}{a}\textrm{arctg}\frac{x}{a} +\textsl{C},\; a\neq 0
7. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-a^{2}} dx=\frac{1}{2a}\ln \left | \frac{x-a}{x+a} \right | +\textsl{C},\; x\neq \pm a
8. \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx=\arcsin \frac{x}{a} +\textsl{C},\; x\neq \pm a
9. \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} dx=\ln \left ( x+\sqrt{x^{2}+a^{2}} \right ) +\textsl{C},\; a\neq 0
10. \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} dx=\ln \left |x+\sqrt{x^{2}-a^{2}} \right | +\textsl{C},\; a\neq 0
11. \displaystyle \int \sin x\, dx=-\cos x +\textsl{C}
12. \displaystyle \int \cos x\, dx=\sin x +\textsl{C}
13. \displaystyle \int \textrm{tg}\, x\, dx=-\ln \left | \cos x \right | +\textsl{C},\; x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi ,\; k\in \mathbb{Z}
14. \displaystyle \int \textrm{ctg}\, x\, dx=\ln \left | \sin x \right | +\textsl{C},\; x\neq k\pi ,\; k\in \mathbb{Z}
15. \displaystyle \int \frac{1}{\sin ^{2}x} dx=-\textrm{ctg}\, x +\textsl{C},\; x\neq k\pi ,\; k\in \mathbb{Z}
16. \displaystyle \int \frac{1}{\cos ^{2}x} dx=\textrm{tg}\, x +\textsl{C},\; x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi ,\; k\in \mathbb{Z}

 

Permutări

Fie mulţimea finită \displaystyle A=\left \{ 1,\: 2,\: 3,\: \cdots ,\: n \right \} , unde \displaystyle n\in \mathbb{N},\; n\geq 2 .

Se numeşte permutare de ordinul n o funcţie bijectivă \displaystyle \sigma :A\rightarrow A prezentată sub formă de tabel:

\displaystyle \sigma =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n\\ \sigma \left ( 1 \right ) & \sigma \left ( 2 \right ) & \sigma \left ( 3 \right ) & \cdots & \sigma \left ( n \right ) \end{pmatrix}

Mulţimea \displaystyle S_{n} a tuturor permutărilor de ordinul \displaystyle n are \displaystyle n! elemente.

\displaystyle card\: S_{n}=n!

Compunerea permutărilor

Fie permutările \displaystyle \sigma =\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n\\ \sigma \left ( 1 \right ) & \sigma \left ( 2 \right ) & \cdots & \sigma \left ( n \right ) \end{pmatrix} şi \displaystyle \tau =\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n\\ \tau \left ( 1 \right ) & \tau \left ( 2 \right ) & \cdots & \tau \left ( n \right ) \end{pmatrix} .

Compusa permutărilor \displaystyle \sigma şi \displaystyle \tau este permutarea de acelaşi ordin

\displaystyle \sigma \circ \tau =\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n\\ \sigma \left (\tau \left ( 1 \right ) \right ) & \sigma \left (\tau \left ( 2 \right ) \right ) & \cdots & \sigma \left (\tau \left ( n \right ) \right ) \end{pmatrix}


Exemplu:

Dacă \displaystyle \sigma =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} , iar \displaystyle \tau =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} , atunci

\displaystyle \sigma \circ \tau =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}

Reprezentată schematic, compunerea permutărilor se realizează astfel:


Proprietăţi ale compunerii permutărilor

\displaystyle 1^{\circ} Compunerea permutărilor este asociativă, dar nu este comutativă.

\displaystyle 2^{\circ} Compunerea permutărilor admite ca element neutru permutarea identică \displaystyle e=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n\\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n \end{pmatrix} , adică \displaystyle \sigma \circ e=e \circ \sigma =\sigma pentru orice permutare \displaystyle \sigma \in S_{n}

Inversa unei permutări

Pentru orice permutare \displaystyle \sigma \in S_{n} , există o unică permutare \displaystyle \sigma^{-1} \in S_{n} , astfel încât \displaystyle \sigma \circ \sigma ^{-1}=\sigma ^{-1}\circ \sigma =e .

Permutarea \displaystyle \sigma ^{-1} se numeşte inversa permutării \displaystyle \sigma .

Pentru a găsi inversa unei permutări, cele două linii ale permutării se inversează (linia a doua se scrie prima, iar prima linie se scrie dedesubt), apoi se ordonează coloanele astfel încât elementele de pe prima linie să fie în ordine crescătoare.


Exemplu:

Fie \displaystyle \sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} .

Se inversează cele două linii şi se obţine tabelul \displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} .

Apoi se ordonează coloanele astfel încât elementele de pe prima linie să fie în ordine crescătoare şi se obţine

\displaystyle \sigma ^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}


Inversiunile unei permutări

O inversiune în permutarea \displaystyle \sigma este o pereche de numere naturale \displaystyle \left (\sigma\left ( i \right ),\: \sigma \left ( j \right ) \right ) cu proprietatea \displaystyle i<j şi \displaystyle \sigma \left ( i \right )>\sigma \left ( j \right ) .

Numărul de inversiuni al unei permutări se notează \displaystyle m\left ( \sigma \right ) .

Numărul \displaystyle \varepsilon \left ( \sigma \right )=\left ( -1 \right )^{m\left ( \sigma \right )} se numeşte signatura sau semnul permutării \displaystyle \sigma .

Spunem că permutarea este pară dacă \displaystyle m\left (\sigma \right ) este număr par şi \displaystyle \varepsilon \left (\sigma \right )=1 , respectiv permutarea este impară dacă \displaystyle m\left (\sigma \right ) este număr impar şi \displaystyle \varepsilon \left (\sigma \right )=-1 .


Exemplu:

Permutarea \displaystyle \sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} are inversiunile \displaystyle \left ( 3,2 \right );\: \left ( 3,1 \right );\: \left ( 4,2 \right );\: \left ( 4,1 \right );\: \left ( 2,1 \right ) .

Numărul de inversiuni \displaystyle m\left ( \sigma \right )=5 .

Semnul permutării este \displaystyle \varepsilon \left ( \sigma \right )=\left ( -1 \right )^{5}=-1 .

Permutarea \displaystyle \sigma este impară.


Transpoziţii

Se numeşte transpoziţie o permutare, notată \displaystyle \tau _{ij} , în care sunt interschimbate numai elementele \displaystyle i şi \displaystyle j din linia a doua a tabloului, restul elementelor rămânând neschimbate.

\displaystyle \tau _{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n\\ 1 & 2 & 3 & \cdots & j & \cdots & i & \cdots & n \end{pmatrix}

Proprietăţi:

\displaystyle 1^{\circ} Orice transpoziţie este o permutare impară: \displaystyle m\left ( \tau _{ij} \right )=1 , \displaystyle \varepsilon \left ( \tau _{ij} \right )=-1

\displaystyle 2^{\circ} \displaystyle \tau _{ij}^{-1}=\tau _{ij}

\displaystyle 3^{\circ} \displaystyle \tau _{ij}^{2}=e


Aplicaţie:

Să se scrie permutarea \displaystyle \sigma =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} ca produs de transpoziţii.

Se observă, pe prima coloană a permutării \displaystyle \sigma , că lui \displaystyle 1 îi corespunde \displaystyle 3 şi se consideră transpoziţia

\displaystyle \tau _{13}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}

Se efectuează

\displaystyle \tau _{13}\circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}

La rezultatul obţinut se observă, pe coloana a doua, că lui \displaystyle 2 îi corespunde \displaystyle 4 şi se consideră transpoziţia

\displaystyle \tau _{24} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}

Se efectuează

\displaystyle \tau _{24} \circ \tau _{13}\circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}=\tau _{34}

S-a obţinut

\displaystyle \tau _{24} \circ \tau _{13}\circ \sigma =\tau _{34}

Se amplifică egalitatea la stânga cu \displaystyle \tau _{24}^{-1} :

\displaystyle \tau _{24}^{-1}\circ \tau _{24} \circ \tau _{13}\circ \sigma =\tau _{24}^{-1}\circ \tau _{34}

Ţinând seama că \displaystyle \tau _{24}^{-1}\circ \tau _{24}=e , iar \displaystyle \tau _{24}^{-1}=\tau _{24} , se obţine:

\displaystyle \tau _{13}\circ \sigma =\tau _{24}\circ \tau _{34}

Apoi se amplifică şi cu \displaystyle \tau _{13}^{-1} la stânga:

\displaystyle \tau _{13}^{-1}\circ \tau _{13}\circ \sigma =\tau _{13}^{-1}\circ \tau _{24}\circ \tau _{34}

Ţinând seama că\displaystyle \tau _{13}^{-1}\circ \tau _{13}=e , iar \displaystyle \tau _{13}^{-1}=\tau _{13} se obţine, în final:

\displaystyle \sigma =\tau _{13}\circ \tau _{24}\circ \tau _{34}

Funcţia de gradul al doilea

Funcţia de gradul al doilea are forma generală \displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c,\; a\neq 0

Reprezentarea grafică a funcţiei de gradul al doilea se numeşte parabolă.

Coordonatele vârfului parabolei se determină cu formulele:

\displaystyle x_{V}=-\frac{b}{2a},\; y_{V}=-\frac{\Delta }{4a}

unde \displaystyle \Delta =b^{2}-4ac .

Dreapta verticală de ecuaţie \displaystyle x=-\frac{b}{2a} este axă de simetrie pentru graficul funcţiei de gradul al doilea.

Graficul funcţiei de gradul al doilea

Dacă \displaystyle a>0 , punctul \displaystyle V\left ( -\frac{b}{2a},\: -\frac{\Delta }{4a} \right ) este punct de minim absolut al funcţiei, iar parabola este convexă (“ţine apa”).

Valoarea minimă a funcţiei este egală cu \displaystyle -\frac{\Delta }{4a} .

Imaginea funcţiei este \displaystyle \textrm{Im}\, f=\left [-\frac{\Delta }{4a},\, +\infty \right ) .

Funcţia este descrescătoare pentru \displaystyle x\in \left (-\infty ,\, -\frac{b}{2a}\right ) şi crescătoare pentru \displaystyle x\in \left (-\frac{b}{2a},\, +\infty \right ) .

Pentru \displaystyle a>0 şi \displaystyle \Delta <0

graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c este situat deasupra axei \displaystyle Ox

\displaystyle ax^{2}+bx+c>0,\; \left ( \forall \right ) x\in \mathbb{R}

Pentru \displaystyle a>0 şi \displaystyle \Delta =0

graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c este tangent axei \displaystyle Ox

\displaystyle ax^{2}+bx+c \geq 0,\; \left ( \forall \right ) x\in \mathbb{R}

Pentru \displaystyle a>0 şi \displaystyle \Delta >0

graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c taie axa \displaystyle Ox în două puncte distincte

\displaystyle ax^{2}+bx+c \geq 0,\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\: x\in \left ( -\infty ,x_{1} \right ]\cup \left [ x_{2},+\infty \right )

\displaystyle ax^{2}+bx+c<0,\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\: x\in \left ( x_{1},x_{2} \right )

Dacă \displaystyle a<0 , punctul \displaystyle V\left ( -\frac{b}{2a},\: -\frac{\Delta }{4a} \right ) este punct de maxim absolut al funcţiei, iar parabola este concavă (“nu ţine apa”).

Valoarea maximă a funcţiei este egală cu \displaystyle -\frac{\Delta }{4a} .

Imaginea funcţiei este \displaystyle \textrm{Im}\, f=\left ( -\infty ,\, -\frac{\Delta }{4a} \right ]

Funcţia este crescătoare pentru \displaystyle x\in \left (-\infty ,\, -\frac{b}{2a}\right ) şi descrescătoare pentru \displaystyle x\in \left (-\frac{b}{2a},\, +\infty \right ) .

Pentru \displaystyle a<0 şi \displaystyle \Delta <0

graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c este situat dedesubtul axei \displaystyle Ox

\displaystyle ax^{2}+bx+c<0,\; \left ( \forall \right ) x\in \mathbb{R}

Pentru \displaystyle a<0 şi \displaystyle \Delta =0

graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c este tangent axei \displaystyle Ox

\displaystyle ax^{2}+bx+c \leq 0,\; \left ( \forall \right ) x\in \mathbb{R}

Pentru \displaystyle a<0 şi \displaystyle \Delta >0

graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c taie axa \displaystyle Ox în două puncte distincte

\displaystyle ax^{2}+bx+c\geq 0,\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\: x\in \left [ x_{1},x_{2} \right ]

\displaystyle ax^{2}+bx+c<0,\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\: x\in \left ( -\infty ,x_{1} \right )\cup \left ( x_{2},+\infty \right )

Intersecţia graficului cu axele de coordonate

Intersecţia graficului funcţiei cu axa \displaystyle Ox se determină rezolvând ecuaţia \displaystyle f\left ( x \right )=0 , respectiv

\displaystyle ax^{2}+bx+c=0

  • Dacă \displaystyle \Delta >0 , ecuaţia are două soluţii reale distincte \displaystyle x_{1}\neq x_{2}, prin urmare graficul funcţiei intersectează axa \displaystyle Ox în două puncte distincte.
  • Dacă \displaystyle \Delta =0 ecuaţia o soluţie reală dublă \displaystyle x_{1}= x_{2}, prin urmare graficul funcţiei este tangent axei \displaystyle Ox .
  • Dacă \displaystyle \Delta <0 , ecuaţia nu are soluţii reale, prin urmare graficul nu intersectează axa \displaystyle Ox .

 

Intersecţia graficului cu axa \displaystyle Oy se obţine pentru \displaystyle x=0 , deci este punctul având coordonatele \displaystyle \left ( 0,\, c \right ) .

Semnul funcţiei de gradul al doilea

  • Dacă \displaystyle \Delta >0 , funcţia \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c are semnul lui \displaystyle a pe intervalele \displaystyle \left ( -\infty ,\, x_{1} \right ) şi \displaystyle \left (x_{2},\, +\infty \right ) şi semn opus lui \displaystyle a pe intervalul \displaystyle \left (x_{1},\, x_{2} \right ) . Se poate spune că funcţia are semnul lui \displaystyle a în afara rădăcinilor şi semn opus lui \displaystyle a între rădăcini.

  • Dacă \displaystyle \Delta =0 , funcţia \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c are semnul lui \displaystyle a pe \displaystyle \mathbb{R}\setminus \left \{ -\frac{b}{2a} \right \} , iar \displaystyle f\left ( -\frac{b}{2a} \right )=0

 

  • Dacă \displaystyle \Delta <0 , funcţia \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c are semnul lui \displaystyle a oricare ar fi \displaystyle x\in \mathbb{R}

Cercul trigonometric. Reducerea la primul cadran

Cercul având raza egală cu unitatea, reprezentat în sistemul de axe ortogonale xOy se numeşte cerc trigonometric.

Unghiului \alpha , măsurat în sens invers rotirii acelor de ceas (în sens trigonometric), având una dintre laturi fixă, suprapusă peste semidreapta Ox , îi corespunde punctul P , având abscisa egală cu \cos \alpha şi ordonata egală cu \sin \alpha .

Formula fundamentală:

\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1

Formulele unghiurilor complementare:

\displaystyle \sin \left ( \frac{\pi }{2} -\alpha \right )=\cos \alpha

\displaystyle \cos \left ( \frac{\pi }{2} -\alpha \right )=\sin \alpha

\displaystyle \textrm{tg} \left ( \frac{\pi }{2} -\alpha \right )=\textrm{ctg} \, \alpha

Reducerea la primul cadran

  • Pentru unghiul situat în cadranul al II-lea:

 

\displaystyle \sin \left ( \pi -\alpha \right )=\sin \alpha

\displaystyle \cos \left ( \pi -\alpha \right )=-\cos \alpha

\displaystyle \textrm{tg} \left ( \pi -\alpha \right )=-\textrm{tg} \, \alpha

 

  • Pentru unghiul situat în cadranul al III-lea:

 

\displaystyle \sin \left ( \pi +\alpha \right )=-\sin \alpha

\displaystyle \cos \left ( \pi +\alpha \right )=-\cos \alpha

\displaystyle \textrm{tg} \left ( \pi +\alpha \right )=\textrm{tg} \, \alpha

 

  • Pentru unghiul situat în cadranul al IV-lea:

 

\displaystyle \sin \left ( 2\pi -\alpha \right )=-\sin \alpha

\displaystyle \cos \left ( 2\pi -\alpha \right )=\cos \alpha

\displaystyle \textrm{tg} \left ( 2\pi -\alpha \right )=-\textrm{tg} \, \alpha

 

Rolul derivatei a doua în studiul funcţiilor

Cu ajutorul derivatei a doua se pot determina punctele de inflexiune ale funcţiei, precum şi intervalele de concavitate / convexitate.

Etape:

1. Se calculează derivata a doua {f}'' .

2. Se rezolvă ecuaţia {f}''\left ( x \right )=0 .

3. Se stabileşte semnul derivatei a doua pe intervale.

Cea mai simplă metodă este determinarea semnului derivatei a doua pentru o valoare convenabil aleasă din intervalul respectiv. Întrucât derivata are proprietatea lui Darboux, pe intervalul dintre două zerouri consecutive semnul nu se modifică.

4. Dacă derivata a doua este pozitivă pe un interval, funcţia este convexă pe intervalul respectiv („ţine apa”).

Dacă derivata a doua este negativă, funcţia este concavă („nu ţine apa”).

5. Zerourile derivatei a doua reprezintă punctele de inflexiune.

Rolul primei derivate în studiul funcţiilor

Cu ajutorul primei derivate se pot determina punctele de extrem ale funcţiei, precum şi intervalele de monotonie ale acesteia.

Pentru a determina punctele de extrem:

\displaystyle 1^{\circ} Se calculează derivata \displaystyle {f}'\left ( x \right ) .

\displaystyle 2^{\circ} Se rezolvă ecuaţia \displaystyle {f}'\left ( x \right )=0 .

Soluţiile reale ale ecuaţiei \displaystyle {f}'\left ( x \right )=0 se numesc puncte de extrem.

Un punct este de extrem (de minim sau de maxim) numai dacă derivata funcţiei se anulează în acel punct, iar de-o parte şi de alta a punctului semnele derivatei alternează.

Dacă într-un interval \displaystyle I există un singur punct de maxim \displaystyle x_{M} , valoarea \displaystyle f \left (x_{M} \right ) se numeşte valoarea maximă a funcţiei în intervalul respectiv şi se poate scrie:

\displaystyle f\left ( x \right )\leq f\left ( x_{M} \right ),\; \forall x\in I

Dacă într-un interval \displaystyle I există un singur punct de minim \displaystyle x_{m} , valoarea \displaystyle f \left (x_{m} \right ) se numeşte valoarea minimă a funcţiei în intervalul respectiv şi se poate scrie:

\displaystyle f\left ( x \right )\geq f\left ( x_{m} \right ),\; \forall x\in I

Pentru a studia monotonia funcţiei se stabileşte semnul derivatei pe intervale.

Cea mai simplă metodă este determinarea semnului derivatei pentru o valoare convenabil aleasă din intervalul respectiv. Întrucât derivata are proprietatea lui Darboux, pe intervalul dintre două zerouri consecutive semnul nu se modifică.

Dacă derivata este pozitivă pe un interval, funcţia este crescătoare pe intervalul respectiv.

Dacă derivata este negativă, funcţia este descrescătoare.

Exemplu:

Se consideră funcţia \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=-x^{3}+3x+9 . Să se demonstreze că \displaystyle f\left ( x \right )\leq 11 , pentru orice \displaystyle x\in \left [-1;\: \infty \right ) .

Se studiază monotonia funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) .

Derivata funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) este

\displaystyle {f}'\left ( x \right )=-3x^{2}+3

\displaystyle {f}'\left ( x \right )=-3\left (x^{2}-1 \right )

\displaystyle {f}'\left ( x \right )=-3\left (x-1 \right )\left ( x+1 \right )

Rezolvând ecuaţia \displaystyle {f}'\left ( x \right )=0 , se obţin punctele de extrem \displaystyle x_{1}=-1 şi \displaystyle x_{2}=1 .

Se calculează şi valorile extreme ale funcţiei: \displaystyle f\left ( -1 \right )=7 şi \displaystyle f\left ( 1 \right )=11

Este utilă întocmirea unui tabel de monotonie:

Funcţia \displaystyle f\left ( x \right ) este descrescătoare dacă \displaystyle x\in \left ( -\infty ;\: -1 \right )\cup \left ( 1;\: \infty \right ) şi este crescătoare dacă \displaystyle x\in \left ( -1;\: 1 \right ) .

Se poate observa că, în intervalul \displaystyle \left [ -1;\: \infty \right ) graficul funcţiei are un singur punct de extrem, şi anume punctul de maxim \displaystyle x=1 , în care valoarea maximă a funcţiei este \displaystyle f\left ( 1 \right )=11 .

Prin urmare, se poate scrie:

\displaystyle f\left ( x \right )\leq 11 , pentru orice \displaystyle x\in \left [ -1;\: \infty \right )