Noţiuni de geometrie

Formule de calcul în sistemul cartezian \displaystyle xOy

Lungimea segmentului AB :

\displaystyle AB=\sqrt{\left ( x_{B}-x_{A} \right )^{2}+\left ( y_{B}-y_{A} \right )^{2}}

Coordonatele mijlocului segmentului AB :

\displaystyle x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}

\displaystyle y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}

Coordonatele centrului de greutate al triunghiului \triangle ABC

\displaystyle x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}

\displaystyle y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}

Aria triunghiului \triangle ABC , dacă se cunosc coordonatele vârfurilor:

\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left | \Delta \right |

unde

\displaystyle \Delta =\begin{vmatrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{vmatrix}

Condiţia de coliniaritate a trei puncte A\left ( x_{A},\, y_{A} \right ) , B\left ( x_{B},\, y_{B} \right ) şi C\left ( x_{C},\, y_{C} \right ) :

\displaystyle \begin{vmatrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{vmatrix} = 0

Ecuaţia dreptei

Ecuaţia dreptei are două forme:

  • Forma generală ax+by+c=0
  • Forma redusă y=mx+n , unde m este panta dreptei (tangenta unghiului format de dreaptă cu axa Ox .

Ecuaţia dreptei care trece prin punctele A\left ( x_{A},\, y_{A} \right ) şi B\left ( x_{B},\, y_{B} \right )

\displaystyle \frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}

sau

\displaystyle \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \end{vmatrix} =0

 

Panta dreptei care trece prin punctele A\left ( x_{A},\, y_{A} \right ) şi B\left ( x_{B},\, y_{B} \right )

\displaystyle m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}

Ecuaţia dreptei care trece printr punctul \displaystyle A\left ( x_{A},\, y_{A} \right ) şi a cărei pantă m este cunoscută:

\displaystyle y-y_{A}=m\left ( x-x_{A} \right )

Condiţia ca două drepte să fie paralele

\displaystyle d_{1}\parallel d_{2}\Leftrightarrow m_{1}=m_{2}

Condiţia ca două drepte să fie perpendiculare

\displaystyle d_{1}\perp d_{2}\Leftrightarrow m_{1}\cdot m_{2}=-1

Distanţa de la punctul P\left ( x_{0},y_{0} \right ) la dreapta AB de ecuaţie ax+by+c=0

\displaystyle d\left ( P,\, AB \right )=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

Formule de calcul în triunghiul oarecare

Teorema sinusurilor

\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

unde R este raza cercului circumscris triunghiului \triangle ABC .

 

Teorema cosinusului

\displaystyle \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}

\displaystyle \cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}

\displaystyle \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}

Aria triunghiului oarecare

\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{ab\sin C}{2}=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}

\displaystyle S_{\Delta ABC}=\frac{abc}{4R}

\displaystyle S_{\Delta ABC}=r\cdot p

unde R este raza cercului circumscris, r este raza cercului înscris, iar p este semiperimetrul

\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}

Formula lui Heron:

\displaystyle S_{\triangle ABC}=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}

Şirul lui Rolle

Şirul lui Rolle poate fi utilizat pentru determinarea numărului de rădăcini reale ale unui polinom de gradul al treilea sau mai mare, precum şi pentru separarea rădăcinilor reale pe intervale.

Proprietăţi utilizate:

„Între două zerouri ale derivatei se află un singur zero al funcţiei.”

„O funcţie continuă nu trece de la o valoare la alta fără să treacă prin toate valorile intermediare.”

„O funcţie continuă nu poate să schimbe semnul fără să se anuleze.”

Etapele formării şirului lui Rolle

Fie funcţia \displaystyle f :D\rightarrow \mathbb{R} , continuă şi derivabilă, precum şi ecuaţia \displaystyle f\left ( x \right )=0 .

  1. Se determină \displaystyle {f}'\left ( x \right ) şi se rezolvă \displaystyle {f}'\left ( x \right )=0 .
  2. Într-un tabel se trec extremităţile domeniului de definiţie, precum şi rădăcinile derivatei, în ordine crescătoare.
  3. Se calculează valorile funcţiei, atât în extremităţile domeniului de definiţie, cât şi pentru fiecare dintre rădăcinile derivatei.
  4. Şirul lui Rolle este şirul semnelor valorilor obţinute.
  5. Interpretare:

a) Între două semne consecutive identice nu se află nici o soluţie reală.

b) Între două semne consecutive care alternează, se află o singură soluţie reală a ecuaţiei \displaystyle f\left ( x \right )=0 .

c) Dacă pentru o valoare \displaystyle c , atât \displaystyle {f}'\left ( c \right )=0 , cât şi \displaystyle f\left ( c \right )=0 , atunci \displaystyle c este rădăcină multiplă.


Aplicaţii

1. Se consideră funcţia f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f\left ( x \right )=x^{5}-5x+4.  Arătaţi că, pentru orice m\in \left ( 0,8 \right ) , ecuaţia f\left ( x \right )=m admite exact trei soluţii reale distincte. (Bac 2011, Varianta 2)

Rezolvare:

Se consideră ecuaţia

x^{5}-5x+4=m

respectiv

x^{5}-5x+4-m=0

Cu ajutorul şirului lui Rolle, se determină numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei considerate, cu discuţie după valorile parametrului m.

Fie funcţia

h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\: h\left ( x \right )=x^{5}-5x+4-m

având derivata

h'\left ( x \right )=5x^{4}-5=5\left ( x^{4}-1 \right )=5\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )\left ( x^{2}+1 \right )

Ecuaţia h'\left ( x \right )=0 are  două soluţii reale, x_{1}=1  şi  x_{2}=-1 .

Calculăm:

\displaystyle \lim_{x\to -\infty}h\left ( x \right )=\displaystyle \lim_{x\to -\infty}x^{5}\left ( 1-\frac{5}{x^{4}}+\frac{4-m}{x^{5}} \right )=-\infty

\displaystyle \lim_{x\to \infty}h\left ( x \right )=\displaystyle \lim_{x\to \infty}x^{5}\left ( 1-\frac{5}{x^{4}}+\frac{4-m}{x^{5}} \right )=+\infty

h\left ( -1 \right )=8-m

h\left ( 1 \right )=-m

Se observă că h\left ( -1 \right )=0  dacă m=8 , respectiv h\left ( 1 \right )=0, dacă m=0.

Pentru discuţie, se vor considera situaţiile:

m\in \left ( -\infty,0 \right );\: m=0;\: m\in \left ( 0,8 \right );\: m=8;\: m\in \left ( 8,+\infty \right )

Realizăm tabelul:

În concluzie, ecuaţia are trei soluţii reale distincte dacă m\in \left ( 0,8 \right ) .

Calculul sumelor

Pentru a exprima mai convenabil suma termenilor şirului \displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}^{*}} se utilizează notaţia:

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}

Sume importante:

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots +n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{4}

Reguli de calcul:

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha \cdot a_{k}=\alpha \cdot \sum_{k=1}^{n}a_{k}

Aplicând regulile de calcul, se poate determina uşor, de exemplu, suma primelor n numere impare:

\displaystyle 1+3+5+\cdots +\left ( 2n-1 \right )=\sum_{k=1}^{n}\left ( 2k-1 \right )=

\displaystyle =2\cdot \sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}1=

\displaystyle =2\cdot \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}-n=n^{2}+n-n=n^{2}

Aplicaţii

1. Să se calculeze suma:  \displaystyle 1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+3\cdot 4\cdot 5+\cdots +n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right ).

Rezolvare:

Se scrie suma sub formă restrânsă:

\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+3\cdot 4\cdot 5+\cdots +n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )=\sum_{k=1}^{n}k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )

Se efectuează înmulţirile pentru a schimba forma termenului general:

\displaystyle k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )=k^{3}+3k^{2}+2k

Se aplică regulile de calcul cu sume, utilizând proprietăţile adunării şi factorul comun, apoi se înlocuiesc sumele simple cu formulele cunoscute şi se efectuează calculele pentru a obţine rezultatul final.

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )=\sum_{k=1}^{n}\left (k^{3}+3k^{2}+2k \right )=

\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k^{3}+3\sum_{k=1}^{n}k^{2}+2\sum_{k=1}^{n}k=

\displaystyle =\frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{4}+3\cdot \frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}+2\cdot \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}=

\displaystyle =\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )}{4}

Formula obţinută poate fi verificată cu metoda inducţiei matematice.

Derivata unei funcţii într-un punct. Funcţia derivată

O funcţie f:D\rightarrow \mathbb{R} este derivabilă în x_{0} , dacă există şi este finită limita

f'\left ( x_{0} \right )= \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left ( x \right )-f\left ( x_{0} \right )}{x-x_{0}}

În acest caz, spunem că f'\left ( x_{0} \right ) este derivata funcţiei în x_{0} .

Funcţia \displaystyle f are derivată în \displaystyle x_{0} , dacă şi numai dacă are derivate laterale în \displaystyle x_{0} . În acest caz,

\displaystyle {f}'\left ( x_{0} \right )={f}'_{s}\left ( x_{0} \right )={f}'_{d}\left ( x_{0} \right )

unde

\displaystyle {f}'_{s}\left ( x_{0} \right )=\lim_{\substack {x \to x_{0} \\ x<x_{0}}}\frac{f\left ( x \right )-f\left ( x_{0} \right )}{x-x_{0}}\in \bar{\mathbb{R}}    şi   \displaystyle {f}'_{d}\left ( x_{0} \right )=\lim_{\substack {x \to x_{0} \\ x>x_{0}}}\frac{f\left ( x \right )-f\left ( x_{0} \right )}{x-x_{0}}\in \bar{\mathbb{R}}

Semnificaţia geometrică a derivatei

Valoarea derivatei funcţiei f în punctul de abscisă x_{0} este egală cu panta tangentei duse la graficul funcţiei în punctul A de coordonate \left ( x_{0},\, f\left ( x_{0} \right ) \right ) .

Ecuaţia tangentei la grafic în punctul A are forma generală:

y=mx+n

Panta tangentei la grafic este egală cu valoarea derivatei în x_{0} .

m=tg\alpha =f'\left ( x_{0} \right )

Termenul liber se obţine din condiţia:

\displaystyle P\left ( x_{0},y_{0} \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: y_{0}={f}'\left ( x_{0} \right )\cdot x_{0}+n

\displaystyle n=y_{0}-{f}'\left ( x_{0} \right )\cdot x_{0}

Ecuaţia tangentei se poate obţine, din relaţia

f'\left ( x_{0} \right )=\displaystyle \frac{y-f\left ( x_{0} \right )}{x-x_{0}}

respectiv

y=f'\left ( x_{0} \right )\cdot x+f\left ( x_{0} \right )-f'\left ( x_{0} \right )\cdot x_{0}

Derivabilitatea unei funcţii pe o mulţime. Funcţia derivată

O funcţie este derivabilă pe o mulţime D'\subseteq D , dacă este derivabilă în fiecare punct x\in D' .

În acest caz, funcţia f':D'\rightarrow \mathbb{R} , notată f'\left ( x \right ) , se numeşte derivata funcţiei f\left ( x \right ) , iar D' se numeşte domeniu de derivabilitate.

Derivata \displaystyle {f}'\left ( x \right ) este nouă funcţie, cu ajutorul căreia se poate obţine panta tangentei la graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) în fiecare punct al domeniului de derivabilitate.

Legătura continuitate – derivabilitate

O funcţie derivabilă într-un punct (pe o mulţime) este continuă în acel punct (pe acea mulţime). Reciproca este falsă.