Ecuaţii. Noţiuni generale

O ecuaţie este o expresie matematică ce conţine una sau mai multe necunoscute care trebuie determinate.

Mulţimea \displaystyle D , respectiv domeniul în care căutăm soluţiile, se numeşte domeniul de definiţie al ecuaţiei.

Un număr \displaystyle x_{0}\in D se numeşte soluţie, dacă, înlocuind pe \displaystyle x cu \displaystyle x_{0} în expresia ecuaţiei, se obţine o propoziţie adevărată (se spune că \displaystyle x_{0} „verifică” ecuaţia).

Mulţimea soluţiilor ecuaţiei se notează cu \displaystyle S .

Două ecuaţii sunt echivalente dacă au acelaşi domeniu de definiţie şi aceeaşi mulţime a soluţiilor.

Ecuaţii iraţionale

Ecuaţia în care necunoscuta este situată sub cel puţin un radical se numeşte ecuaţie iraţională.

Etape de rezolvare:

\displaystyle 1^{\circ}  Stabilirea domeniului de existenţă.

Expresia de sub radicalul de ordin par trebuie să fie pozitivă, În plus, dacă radicalul de ordin par este situat la numitor, expresia trebuie să fie strict pozitivă.

După stabilirea condiţiilor de existenţă pentru toţi radicalii prezenţi în ecuaţie, se obţine domeniul de existenţă prin intersectarea tuturor intervalelor obţinute.

\displaystyle 2^{\circ} Condiţii de compatibilitate

Un radical de ordin par, care este întotdeauna un număr pozitiv, nu poate fi egal cu un număr negativ.

\displaystyle 3^{\circ} Eliminarea radicalilor

Se ridică ambii membri ai ecuaţiei la puteri convenabile, eventual de mai multe ori succesiv, pentru a transforma ecuaţia iraţională într-o ecuaţie polinomială.

\displaystyle 4^{\circ} Verificarea soluţiilor obţinute

Pentru a fi convenabile, soluţiile obţinute prin rezolvarea ecuaţiei polinomiale trebuie să aparţină domeniului de existenţă al ecuaţiei.

În plus, soluţiile se verifică şi prin înlocuirea în ecuaţia iniţială, pentru a exclude eventualele „soluţii străine”, apărute în urma ridicării la putere.


Exemplu:

\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-1}-1

Se pun condiţiile de existenţă pentru cei trei radicali:

\displaystyle x+1\geq 0\: \Rightarrow \: x\geq -1\: \Rightarrow \: x\in \left [ -1,\, +\infty \right )

\displaystyle x-1\geq 0\: \Rightarrow \: x\geq 1\: \Rightarrow \: x\in \left [ 1,\, +\infty \right )

\displaystyle 2x-1\geq 0\: \Rightarrow \: x\geq \frac{1}{2}\: \Rightarrow \: x\in \left [ \frac{1}{2},\, +\infty \right )

Domeniul de definiţie se obţine intersectând cele trei intervale:

\displaystyle D=\left [ 1,\, +\infty \right )

Se elimină radicalii prin ridicări succesive la puterea a doua:

\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-1}-1\: |\: ^{2}

\displaystyle x+1-2\sqrt{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}+x-1=2x-1-2\sqrt{2x-1}+1

\displaystyle \sqrt{\left ( x^{2}-1 \right )}=\sqrt{2x-1}\: |\: ^{2}

\displaystyle x^{2}-1=2x-1

\displaystyle x^{2}-2x=0

Se obţin soluţiile \displaystyle x_{1}=0\notin D şi \displaystyle x_{2}=2 \in D care, în plus, verifică ecuaţia iniţială.

Prin urmare, mulţimea soluţiilor este \displaystyle S=\left \{ 2 \right \} .

Asimptote verticale

Dreapta verticală a cărei ecuaţie este \displaystyle x=a este asimptotă verticală la graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) , dacă cel puţin una dintre limitele \displaystyle l_{s}\left ( a \right ) sau \displaystyle l_{d}\left ( a \right ) există şi este egală cu \displaystyle +\infty sau \displaystyle -\infty .

Asimptotele verticale pot fi găsite în punctele care nu sunt incluse în domeniul de definiţie, dar sunt puncte de acumulare ale acestuia.

Exemplul 1:

Se consideră funcţia \displaystyle f:D\rightarrow \mathbb{R},\: f\left ( x \right )=\frac{x}{\left | x-3 \right |} .

Din condiţia \displaystyle \left | x-3 \right |\neq 0 , se obţine domeniul maxim de definiţie al funcţiei \displaystyle D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 3 \right \} .

Căutăm asimptota verticală în \displaystyle x=3 . Se calculează limitele, atât la stânga, cât şi la dreapta:

\displaystyle \lim_{\substack {x \to 3 \\ x < 3}}f\left ( x \right )=\lim_{\substack {x \to 3 \\ x < 3}}\frac{x}{\left | x-3 \right |}=\frac{3}{0_{+}}=+\infty

\displaystyle \lim_{\substack {x \to 3 \\ x > 3}}f\left ( x \right )=\lim_{\substack {x \to 3 \\ x > 3}}\frac{x}{\left | x-3 \right |}=\frac{3}{0_{+}}=+\infty

Rezultă că dreapta de ecuaţie \displaystyle x=3 este asimptotă verticală pentru graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) .

În plus, se poate observa că, atât în stânga asimptotei, cât şi în dreapta acesteia, graficul funcţiei „se duce” către \displaystyle +\infty .

Exemplul 2:

Se consideră funcţia \displaystyle f:D\rightarrow \mathbb{R},\: f\left ( x \right )=\frac{x-1}{\sqrt{x+2}}

Din condiţia \displaystyle x+2>0 , se obţine domeniul maxim de definiţie al funcţiei \displaystyle D=\left ( -2,\: +\infty \right ) .

Căutăm asimptota verticală în \displaystyle x=-2 . Deoarece \displaystyle x>-2 , se calculează numai limita la dreapta:

\displaystyle \lim_{\substack {x \to -2 \\ x>-2}}f\left ( x \right )=\lim_{\substack {x \to -2 \\ x>-2}}\frac{x-1}{\sqrt{x+2}}=\frac{-3}{0_{+}}=-\infty

Dreapta de ecuaţie \displaystyle x=-2 este asimptotă verticală pentru graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) . Graficul, situat în dreapta asimptotei, „se duce” către \displaystyle -\infty .

Etapele reprezentării grafice a funcţiilor

\displaystyle 1^{\circ} Stabilirea domeniului de definiţie al funcţiei

  • Numitorul unei expresii raţionale trebuie să fie diferit de zero
  • Expresia de sub radicalul cu indice par trebuie să fie pozitivă
  • Baza unei funcţii exponenţiale trebuie să fie strict pozitivă
  • Argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv, iar baza logaritmului trebuie să fie strict pozitivă şi diferită de \displaystyle 1 .
  • Funcţiile arcsinus şi arccosinus au ca domeniu de definiţie intervalul \displaystyle \left [ -1;\, 1 \right ]

 

\displaystyle 2^{\circ} Calcularea limitelor funcţiei la capetele domeniului de definiţie.

\displaystyle 3^{\circ} Determinarea asimptotelor la graficul funcţiei

  • Asimptotele verticale trebuie căutate în punctele de discontinuitate ale funcţiei.
  • Apoi trebuie căutate asimptotele orizontale.
  • Dacă funcţia nu are asimptote orizontale, atunci este posibil să aibă asimptote oblice (O funcţie nu poate avea şi asimptote orizontale şi asimptote oblice în acelaşi timp!).

 

\displaystyle 4^{\circ} Determinarea punctelor în care graficul funcţiei intersectează axele de coordonate:

  • Pentru a afla punctele în care graficul funcţiei intersectează axa \displaystyle Ox , şi care au ordonatele egale cu zero, se găsesc soluţiile reale ale ecuaţiei \displaystyle f\left ( x \right )=0 .

\displaystyle y=0\: \Rightarrow \: f\left ( x \right )=0

  • Punctul în care graficul funcţiei intersectează axa \displaystyle Oy are abscisa \displaystyle x=0 şi ordonata egală cu \displaystyle f\left ( 0 \right ) .

\displaystyle x=0\: \Rightarrow \: y=f\left ( 0 \right )

 

\displaystyle 5^{\circ} Calculul primei derivate. Cu ajutorul primei derivate:

  • se determină punctele de extrem, eventual a punctelor de întoarcere sau unghiulare.
  • se stabilesc intervalele de monotonie ale funcţiei

 

\displaystyle 6^{\circ} Calculul celei de-a doua derivate. Cu ajutorul celei de-a doua derivate:

  • se determină punctele de inflexiune
  • se stabilesc intervalele de convexitate / concavitate ele funcţiei

 

\displaystyle 7^{\circ} Se recomandă centralizarea într-un tabel a rezultatelor obţinute în etapele precedente.

\displaystyle 8^{\circ} Reprezentarea grafică a funcţiei într-un sistem cartezian.

Simplificarea expresiilor algebrice

Pentru calculele cu rapoarte algebrice trebuie respectate aceleaşi reguli ca şi în cazul fracţiilor ordinare.

  • Adunarea rapoartelor algebrice se poate face numai dacă au acelaşi numitor. Dacă rapoartele algebrice au numitori diferiţi, se află numitorul comun, apoi rapoartele se aduc la acelaşi numitor prin amplificare.
  • Produsul a două rapoarte algebrice este egal cu produsul numărătorilor supra produsul numitorilor.
  • Împărţirea la un raport algebric se efectuează prin înmulţirea cu raportul inversat.
  • Pentru a ridica la putere un raport algebric, se ridică la aceeaşi putere, separat, atât numărătorul, cât şi numitorul.
  • Întotdeauna trebuie respectată ordinea efectuării operaţiilor.

 

Exemplu:

Să se aducă la forma cea mai simplă expresia

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( \frac{2x^{2}-7x-17}{x^{2}-10x+21}-\frac{x+1}{x-7} \right ):\frac{1}{x^{2}-9}

Mai întâi se descompun în factori toate elementele expresiei care se pot descompune.

\displaystyle \begin{aligned} x^{2}-10x+21 &=x^{2}-3x-7x+21 \\ &=x\left ( x-3 \right )-7\left ( x-3 \right ) \\ &=\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right ) \end{aligned}

\displaystyle x^{2}-9=\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )

Expresia devine:

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( \frac{2x^{2}-7x-17}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}-\frac{x+1}{x-7} \right ):\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

Se efectuează calculul din paranteză, aducând rapoartele la acelaşi numitor:

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( \frac{2x^{2}-7x-17}{\left ( x-3 \right ) \left ( x-7 \right )} - \begin{matrix} ^{\left . x-3 \right )}\\ { } \end{matrix} \frac{x+1}{x-7} \right ):\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{2x^{2}-7x-17-\left ( x-3 \right )\left ( x+1 \right )}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}:\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

Se efectuează calculele de la numărătorul primului raport şi se reduc termenii asemenea:

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{2x^{2}-7x-17-x^{2}+3x-x+3}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}:\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{x^{2}-5x-14}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}:\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

Se observă că numărătorul primului raport se poate descompune în factori:

\displaystyle \begin{aligned} x^{2}-5x-14 &=x^{2}-7x+2x-14 \\ &=x\left ( x-7 \right )+2\left ( x-7 \right ) \\ &=\left ( x-7 \right ) \left ( x+2 \right ) \end{aligned}

Se înlocuieşte numărătorul primului raport cu descompunerea sa în factori, iar pentru a efectua împărţirea, se înmulţeşte primul raport cu inversul celui de-al doilea:

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{\left ( x-7 \right )\left ( x+2 \right )}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}\cdot \left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )

După efectuarea tuturor simplificărilor, se obţine:

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( x+2 \right )\left ( x+3 \right )

Expresii algebrice raţionale. Domeniul de definiţie

Un raport în care termenii sunt expresii algebrice se numeşte expresie algebrică raţională sau raport algebric.

Este posibil ca pentru anumite valori ale necunoscutelor numitorul să devină egal cu zero. Se spune ca raportul nu are sens sau nu este bine definit pentru valorile respective.

Se numeşte domeniu de definiţie al expresiei algebrice mulţimea tuturor valorilor necunoscutelor pentru care expresia are sens.

Exemplu:

Fie expresia \displaystyle E\left ( x \right )=\frac{x\left ( x+5 \right )}{x^{3}+5x^{2}+6x} .

Pentru ca expresia \displaystyle E\left ( x \right ) să aibă sens, trebuie ca numitorul acesteia să fie diferit de zero.

\displaystyle x^{3}+5x^{2}+6x\neq 0

Se descompune numitorul în factori ireductibili:

\displaystyle \begin{aligned} x^{3}+5x^{2}+6x &= x\left ( x^{2}+5x+6 \right )\\ &=x\left ( x^{2}+2x+3x+6 \right ) \\ &=x\left [ x\left ( x+2 \right ) +3\left ( x+2 \right ) \right ] \\ &=x\left ( x+2 \right ) \left ( x+3 \right ) \end{aligned}

Pentru ca numitorul să fie diferit de zero, toţi factorii acestuia trebuie să fie diferiţi de zero. Se obţine:

\displaystyle x\neq 0

\displaystyle x+2\neq 0\: \Rightarrow \: x\neq -2

\displaystyle x+3\neq 0\: \Rightarrow \: x\neq -3

Prin urmare, expresia are sens dacă

\displaystyle x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ -3;\: -2;\: 0 \right \}

Cu alte cuvinte, domeniul de definiţie al expresiei \displaystyle E\left ( x \right ) este mulţimea

\displaystyle D= \mathbb{R}\setminus \left \{ -3;\: -2;\: 0 \right \}

Determinarea distanţelor. Teorema celor trei perpendiculare.

Distanţa de la un punct la o dreaptă este egală cu lungimea segmentului care uneşte punctul cu piciorul perpendicularei duse din punct pe dreaptă.

Distanţa de la un punct la un plan este egală cu lungimea segmentului care uneşte punctul cu piciorul perpendicularei duse din punct pe plan.

Determinarea distanţei de la un punct la o dreaptă în spaţiu

Fie dreapta \displaystyle AB inclusă în planul \displaystyle \alpha şi un punct \displaystyle P situat în exteriorul planului \displaystyle \alpha .

Pentru a găsi distanţa de la punctul \displaystyle P la dreapta \displaystyle AB :

\displaystyle 1^{\circ} Ducem perpendiculara din punctul \displaystyle P pe planul \displaystyle \alpha . Fie \displaystyle Q punctul în care prima perpendiculară înţeapă planul.

\displaystyle 2^{\circ} Din punctul \displaystyle Q ducem a doua perpendiculară, pe dreapta \displaystyle AB , în punctul \displaystyle R .

\displaystyle 3^{\circ} Unim punctul \displaystyle P cu punctul \displaystyle R .

Dreapta \displaystyle PR este perpendiculară pe dreapta \displaystyle AB , iar distanţa de la punctul \displaystyle P la dreapta \displaystyle AB este egală cu lungimea segmentului \displaystyle PR .

\displaystyle \left.\begin{matrix} AB\subset \alpha \\ PQ\perp \alpha \\ QR\perp AB \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: PR\perp AB\: \Rightarrow \: d\left ( P,\: AB \right )=PR

Determinarea distanţei de la un punct la un plan

Fie planul \displaystyle \left ( PAB \right ) şi planul \displaystyle \alpha , secante, a căror intersecţie este dreapta \displaystyle AB . Punctul \displaystyle Q este inclus în planul \displaystyle \alpha .

Pentru a găsi distanţa de la punctul \displaystyle Q la planul \displaystyle \left ( PAB \right ) :

\displaystyle 1^{\circ} Ducem perpendiculara din \displaystyle Q pe dreapta \displaystyle AB . Fie \displaystyle R piciorul acestei perpendiculare.

\displaystyle 2^{\circ} Din \displaystyle R ridicăm a doua perpendiculară pe dreapta \displaystyle AB , astfel încât aceasta să fie inclusă în planul \displaystyle \left ( PAB \right ) . Presupunem că perpendiculara ridicată este \displaystyle PR .

\displaystyle 3^{\circ} Ducem o perpendiculară din \displaystyle Q pe dreapta \displaystyle PR . Fie \displaystyle T piciorul perpendicularei duse din \displaystyle Q pe dreapta \displaystyle PR .

Dreapta \displaystyle QT este perpendiculară pe planul \displaystyle \left ( PAB \right ) , iar distanţa de la punctul \displaystyle Q la planul \displaystyle \left ( PAB \right ) este egală cu lungimea segmentului \displaystyle QT .

\displaystyle \left.\begin{matrix} AB\subset \alpha \\ QR\perp AB\\ PR\perp AB\\ QT\perp PR \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: QT\perp \left ( PAB \right )\: \Rightarrow \: d\left ( Q,\: \left ( PAB \right ) \right )=QT

Partea întreagă. Partea fracţionară

Partea întreagă a unui număr raţional este cel mai mare număr întreg, mai mic sau egal cu numărul dat.

Partea întreagă a numărului raţional \displaystyle q se notează \displaystyle \left [ q \right ] .

Situând numărul \displaystyle q între două numere întregi consecutive, \displaystyle k\leq q<k+1 , cu \displaystyle k\in \mathbb{Z} , se obţine \displaystyle \left [ q \right ]=k

Partea fracţionară a numărului \displaystyle q este diferenţa dintre numărul dat şi partea lui întreagă. Se notează \displaystyle \left \{ q \right \} .

\displaystyle \left \{ q \right \}=q-\left [ q \right ]

Exemple:

  • Partea întreagă şi partea fracţionară în cazul unui număr pozitiv

  • Partea întreagă şi partea fracţionară în cazul unui număr negativ

Mulţimea numerelor raţionale

Mulţimea tuturor numerelor care pot fi scrise sub formă de fracţie ordinară sau zecimală se numeşte mulţimea numerelor raţionale \displaystyle \mathbb{Q} („fracţie” = „raţie”).

\displaystyle \mathbb{Q}=\left \{ \left.\begin{matrix} \frac{a}{b} \: \end{matrix}\right| \: a,b\in \mathbb{Z},\: b\neq 0 \right \}

Numărul raţional \displaystyle \frac{a}{b} este număr întreg dacă şi numai dacă \displaystyle a este divizibil cu \displaystyle b .

\displaystyle \frac{a}{b}\in \mathbb{Z}\: \Leftrightarrow \: a \: \vdots \: b

Orice număr întreg este număr raţional, deoarece se poate scrie ca fracţie cu numitorul egal cu \displaystyle 1 .

Pentru efectuarea calculelor cu numere raţionale se respectă atât regulile de la calculul cu fracţii, cât şi regulile de la calculul cu numere întregi.

Inversul numărului \displaystyle a este numărul \displaystyle \frac{1}{a} sau \displaystyle a^{-1} .

Fracţii zecimale

Scrierea unei fracţii sub formă zecimală

O fracţie ordinară  \displaystyle \frac{a}{b} se poate scrie sub formă de fracţie zecimală împărţind numărătorul la numitor.

Fracţia zecimală este finită dacă numitorul conţine doar factorii \displaystyle 2 şi/sau \displaystyle 5 .

Fracţia zecimală este periodică simplă dacă numitorul conţine alţi factori decât \displaystyle 2 sau \displaystyle 5 .

Fracţia zecimală este periodică mixtă dacă numitorul conţine atât factorii \displaystyle 2 şi/sau \displaystyle 5 , cât şi alţi factori.

Transformarea fracţiilor zecimale finite

Pentru a transforma o fracţie zecimală finită, se scrie la numărător numărul dat, fără virgulă, iar la numitor \displaystyle 10 la o putere egală cu numărul de zecimale al fracţiei date (respectiv \displaystyle 1 urmat de atâtea zerouri câte zecimale are numărul dat).

Exemplu:

\displaystyle 32,\underbrace {437}_{3 \: \textrm{cifre}}=\frac{32437}{10^{3}}=\frac{32437}{\underbrace {1000}_{\substack {1\, \textrm{urmat\, de} \\ 3\, \textrm{zerouri}}}}

Transformarea fracţiilor periodice simple

Pentru a transforma o fracţie zecimală periodică simplă, se scrie la numărător diferenţa dintre numărul dat, scris fără virgulă, şi numărul format din cifrele situate în afara perioadei, iar la numitor atâtea cifre de \displaystyle 9 câte cifre are perioada.

Exemplu:

\displaystyle 7,\underbrace {\left (16 \right )}_{2 \: \textrm{cifre}}=\frac{716-7}{\underbrace {99}_{\substack {2\, \textrm{cifre} \\ \textrm{de}\, 9}}}

Transformarea fracţiilor periodice mixte

Pentru a transforma o fracţie zecimală periodică mixtă, se scrie la numărător diferenţa dintre numărul dat, scris fără virgulă, şi numărul format din cifrele situate în afara perioadei, iar la numitor atâtea cifre de \displaystyle 9 câte cifre are perioada, urmate de atâtea zerouri câte cifre sunt între perioadă şi virgulă.

Exemplu:

\displaystyle 4,\underbrace {521}_{3 \, \textrm{cifre}}\underbrace {\left (16 \right )}_{2 \, \textrm{cifre}}=\frac{452116-4521}{\underbrace {99000}_{\substack {2\, \textrm{cifre de} \, 9\\ \textrm{si} \, 3 \, \textrm{zerouri}}}}

Aproximarea fracţiilor zecimale

O fracţie zecimală se poate scrie, utilizând puterile lui \displaystyle 10 , astfel:

\displaystyle \overline {abcd,efg \ldots}=1000a+100b+10c+d+\frac{e}{10}+\frac{f}{100}+\frac{g}{1000}+\cdots

respectiv

\displaystyle \overline {abcd,efg \ldots}=a\cdot 10^{3}+b\cdot 10^{2}+c\cdot 10+d+e\cdot 10^{-1}+f\cdot 10^{-2}+g\cdot 10^{-3}+\cdots

Pentru a rotunji o fracţie zecimală se observă prima cifră din dreapta celei la care se face rotunjirea:

  • dacă aceasta are valoarea \displaystyle 0,\: 1,\: 2,\: 3,\: 4 , aproximarea se face prin lipsă, iar cifra care se păstrează rămâne nemodificată;
  • dacă aceasta are valoarea \displaystyle 5,\: 6,\: 7,\: 8,\: 9 , aproximarea se face prin adaos, iar cifra care se păstrează se măreşte cu \displaystyle 1 .

 

Compararea fracţiilor zecimale

Pentru a compara două fracţii zecimale, acestea se aliniază, la virgulă, una sub alta. Apoi se parcurg cifrele, poziţie cu poziţie, de la stânga la dreapta. La prima poziţie găsită care prezintă cifre diferite, cifra mai mare aparţine numărului mai mare.